2.2 數學模型建立的一般步驟
控制系統數學模型建立的一般步驟如下。
1）分解系統各環節，確定自身特性變量及其相互關系因素（即確定環節的形態特征，什么是輸入量，什么是輸出量）。
2）根據物理、化學等機理與定律，列出各環節變量特性的原始數學方程。
3）列寫原始方程組的中間變量及其相互關系。
4）將3）中的各關系式代入2）中的原始方程式，消去中間變量。
5）列寫消去中間變量后的方程式（或方程式組），建立對象系統關于所考慮的輸入量輸出量之間的數學模型。
特別地，若3）中列寫的數學方程不是線性關系，則導出的是非線性數學模型。
例2-1 考慮如圖2-1所示的RLC電路，設電路中R、L、C為常數值，以ur（t）為輸入量，uo（t）為輸出量，試列出ur（t）與uo（t）為輸入輸出關系的方程式。
解：1）確定輸入量和輸出量，顯然，電路中共有三個元件。各元件上電流電壓關系是
圖2-1RLC電路
2）存在中間關系式
3）將2）的中間關系代入1）的各原始方程式，整理后有
4）消去中間變量i（t），電路以ur（t）與uo（t）為輸入輸出關系的微分方程式是
例2-2 圖2-2是電動機轉速反饋控制系統的物理描述。設輸入量為參考電壓ur（t），輸出量為電動機轉速ω（t），試建立ur（t）和ω（t）間的輸入輸出關系的微分方程式。
解：1）系統的輸入量與輸出量分別為ur（t）與ω（t）。
電動機轉速控制系統的框圖如圖2-3所示。
圖2-2 電動機轉速反饋控制系統的物理描述
圖2-3 電動機轉速控制系統的框圖
2）列出各環節及其原始方程，具體如下。
● 放大器假設為線性定常的電路環節，則
式中，K為放大器放大增益。
● 測速電動機的轉速與輸出電壓成線性比例關系，即
式中，K′為測速電動機的轉速/電壓比例系數。
● 被控電動機的電氣方程式為
式中，Ta為電動機電樞回路時間常數；Tm為機電時間常數；ML（t）為電動機軸上的負載轉矩；K?為電勢系統參數。
3）選擇ua（t）、e（t）、uf（t）為中間變量，利用式（2-1）和式（2-2）的關系，代入式（2-3）消去中間變量。
4）移除中間變量后，整理得ur（t）與ω（t）間的微分方程式是
式中，K″＝K·K′/K?。