2.3　傳感器與執(zhí)行器的物質(zhì)效應(yīng)模型

晶體的壓電性質(zhì)反映了晶體宏觀電學(xué)性質(zhì)與力學(xué)性質(zhì)之間的耦合,要比較全面地了解晶體的壓電性質(zhì),需將晶體作為一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)來研究。

2.3.1　六種能量間的物質(zhì)效應(yīng)模型

隨著晶體物理宏觀唯象理論研究的深入,特別是由于光學(xué)與聲學(xué)量測試與控制及其傳感器開發(fā)的需要,經(jīng)過大量調(diào)查研究,筆者導(dǎo)師孫寶元教授等在四種能量集納物性效應(yīng)模型的基礎(chǔ)上又提出機(jī)、電、熱、磁、聲、光等六種能量間物性效應(yīng)新模型,見圖2?6,這是一個(gè)三維立體模型。六種示強(qiáng)變量(即廣義力)分布在通過對角線相互正交的三個(gè)正方形的頂點(diǎn)上,與其相對應(yīng)的示容變量(即廣義位移),則分布在兩正方形的交線上,從而形成12種物理量空間點(diǎn)陣,各參量之間的連線便構(gòu)成6種主效應(yīng)和126種交叉效應(yīng)。如果再考慮二次、三次感生效應(yīng),則各物理量之間的效應(yīng)可達(dá)數(shù)百種以上。值得注意的是,該模型幾乎包含了所有的現(xiàn)有模型,即ETθ為Heckmann模型;ETK為Thurston模型;ETθH為4種能量間的物性效應(yīng)模型。而且根據(jù)需要,可以任意組成新的三角形或多邊形模型。

圖2?6　六種能量間的物質(zhì)效應(yīng)模型

圖2?6中,K為光能的示強(qiáng)變量(廣義力);Λ為光能的示容變量(廣義位移);P為聲能的示強(qiáng)變量(有效聲壓);ν為聲能的示容變量(有效質(zhì)點(diǎn)速度);T為彈性能的示強(qiáng)變量(應(yīng)力);S為彈性能的示容變量(應(yīng)變);E為電能的示強(qiáng)變量(電場強(qiáng)度);D為電能的示容變量(電位移);H為磁能的示強(qiáng)變量(磁場強(qiáng)度);B為磁能的示容變量(磁感應(yīng)強(qiáng)度);θ為熱能的示強(qiáng)變量(溫度);S*為熱能的示容變量(熵)。

(1)晶體六種能量關(guān)系式

如果從晶體熱力學(xué)角度來考慮,該模型全面地反映能量(勢函數(shù))間的內(nèi)在關(guān)系。吉布斯自由能可擴(kuò)展為

G*=U-θS*-TjSj-EkDl-HmBn-KoΛp-PqVr(2?13)

式中　KΛ——光能,K為光能(主要是光子能量的集合)的示強(qiáng)變量(廣義力),Λ為光能的示容變量(廣義位移);o,p=1,2,3;

PV——聲能,P為有效聲壓(示強(qiáng)變量,廣義力),V為有效質(zhì)點(diǎn)速度(示容變量,廣義位移);q,r=1,2,3。

當(dāng)G*=0時(shí),則物質(zhì)內(nèi)能

U=θS*+TiSj+EkDl+HmBn+KoΛp+PqVr(2?14)

當(dāng)晶體受到外界某種擾動時(shí),上式可用微分形式表示出來,即

du=θdS*+S*dθ+TjdSj+Sjdti+Λ+VrdPq

dU=±ΨdΩ±ΩdΨ(2?15)

式中,Ψ與Ω為勢函數(shù)的共軛參量,當(dāng)自變量Ω或Ψ為廣義位移時(shí),Ψ或Ω前的符號取“+”,當(dāng)Ω或Ψ為廣義力時(shí),則取“-”。

由上式可以看出,外界對晶體產(chǎn)生任何擾動,晶體內(nèi)能和可做功的自由能都將發(fā)生變化。同時(shí),相關(guān)參量也將發(fā)生變化,即“牽一發(fā)而動全身”,這也可以從各共軛參量的麥克斯韋關(guān)系式得到進(jìn)一步證明。只不過當(dāng)時(shí)的麥?zhǔn)详P(guān)系式中尚未包括光與聲兩個(gè)勢函數(shù)而已。

(2)晶體物性效應(yīng)的通用表達(dá)式

如果從晶體的主效應(yīng)與交叉效應(yīng)來考慮,將同一能量系統(tǒng)之間的物性關(guān)系稱為主效應(yīng),圖2?6中用粗箭頭表示。構(gòu)成主效應(yīng)的兩個(gè)參量稱為共軛參量,一對共軛參量,兩者之積為勢函數(shù);兩者之比為物性參數(shù)。除主效應(yīng)外,其余統(tǒng)稱為交叉效應(yīng)。經(jīng)分析確認(rèn),利用這個(gè)完備的新模型,通過物性參量的本構(gòu)關(guān)系的廣義表達(dá)式可以將所有的物性效應(yīng)全部表達(dá)出來。

僅以應(yīng)用廣泛的機(jī)電耦合效應(yīng)(即正逆壓電效應(yīng))為例,見圖2?6中的梯形ETSD,該效應(yīng)可以表示為應(yīng)力場T、應(yīng)變場S、電場E,以及電位移場D的耦合關(guān)系。為與前面的熱力學(xué)系統(tǒng)能量方程相區(qū)別,將下列本構(gòu)關(guān)系寫成為機(jī)電耦合方程的矩陣表達(dá)式,實(shí)質(zhì)上也是能量轉(zhuǎn)換關(guān)系式。

Dj=SlkEk+dliTi+eljSj+…(11Item)(2?16)

Sj=rjiTi+djkEk+ejiDl+…(11Item)(2?17)

Ek=ε’klDl+d’kjSj+vkiTi+…(11Item)(2?18)

Tj=r’ijSj+d’ilDl+v’ikEk+…(11Item)(2?19)

由式(2?16)~式(2?19)可知,當(dāng)?shù)忍栍疫叺?項(xiàng)及其自變量矩陣(T,S,E,D,…)分別為零時(shí),則各式分別表示為主效應(yīng)。其系數(shù)矩陣εji、、clk、分別為介電系數(shù)、介電隔離系數(shù)、彈性剛度系數(shù)、彈性柔順系數(shù)。當(dāng)右邊第1項(xiàng)和第3項(xiàng)及以后各項(xiàng)的自變量矩陣為零或恒定時(shí),則式(2?16)~式(2?19)分別表示為正壓電效應(yīng)和逆壓電效應(yīng),以及其反向壓電效應(yīng)。

除機(jī)電耦合關(guān)系式外,其他能量間的耦合關(guān)系式也可以如上式同樣列寫。

為了便于說明,特作如下約定:將圖2?6所示的六種能量模型分為外層結(jié)點(diǎn)(即廣義力)和內(nèi)層結(jié)點(diǎn)(即廣義位移),本圖內(nèi)只表示這兩個(gè)層次,即一次效應(yīng)。如果欲描述等于或大于二次效應(yīng),則內(nèi)層結(jié)點(diǎn)數(shù)也要相應(yīng)增加。不同層面結(jié)點(diǎn)之間的連線(矢量)稱為交叉效應(yīng);同一層面(不管是外層還是內(nèi)層)不同結(jié)點(diǎn)之間的連線稱為平行效應(yīng)。可見,前者為廣義力與廣義位移參量之間的效應(yīng);后者為各廣義力(或廣義位移)參量之間的效應(yīng)。

由麥克斯韋關(guān)系式反映到模型上,則呈現(xiàn)如下的規(guī)律。

任何兩種能量之間的耦合(共有15種耦合),其兩個(gè)交叉效應(yīng)的系數(shù)相等,其兩個(gè)平行效應(yīng)的系數(shù)互為倒數(shù)且符號相反,即麥克斯韋關(guān)系式。交叉效應(yīng)之間的關(guān)系有

(2?20)

平行效應(yīng)之間的關(guān)系有

(2?21)

六種能量間的物性效應(yīng)模型,每一物性參量(包括所有廣義力和廣義位移)與其他參量之間的本構(gòu)關(guān)系,其通用表達(dá)式(唯象方程)在一級近似情況下為

[Xi]j=±[YilZλ]k(2?22)

式中　Xi——被示參量的i維矢量(單列矩陣)。

若X為標(biāo)量,如θ、S等,則i=1;

若X為一階張量,如E、D、H、B、K、P等,則i=1,2,3;

若X為二階張量,并可化為6維矢量,如T、S等,則i=1,2,…,6;

j——所示參量的個(gè)序數(shù),6個(gè)廣義力和6個(gè)廣義位移,故i=1,2,…,12;

Yil——兩種參量之間的耦合系數(shù)矩陣;

Zλ——第k個(gè)與Xi耦合的自變量參量,

當(dāng)Z為標(biāo)量時(shí),λ=1;

當(dāng)Z為一階張量時(shí),λ=1,2,3;

當(dāng)Z為二階張量時(shí),并可轉(zhuǎn)化為6維矢量時(shí),λ=1,2,…,6。

當(dāng)從理論上不只考慮兩種能量、4個(gè)參量之間的耦合,而是同時(shí)考慮多種能量(最多可達(dá)6種)、多個(gè)參量(最多可達(dá)12個(gè))間的相互耦合時(shí),則公式(2?16)~式(2?19)的通用表達(dá)式為

{[Xi]j}n=·{Zl}m(2?23)

表2?4為目前已發(fā)現(xiàn)和在科技中已應(yīng)用的六種能量物性效應(yīng)一覽表,表中空白處為正在開發(fā)和尚未開發(fā)的效應(yīng)。由該表進(jìn)一步說明,光與聲在眾多的物性效應(yīng)中具有重要的地位。只有六種能量間的相互作用,才能全面地反映物性效應(yīng)變化的規(guī)律。

(3)結(jié)論

新模型是在以往的三種能量和四種能量間物性效應(yīng)模型的基礎(chǔ)上建立起來的,它全面形象地描述了力、電、光、聲、熱、磁等六種能量間的物性本構(gòu)關(guān)系。根據(jù)本模型能較容易建立起物性本構(gòu)方程和各種參量間的效應(yīng)方程。同時(shí),從熱力學(xué)的角度也能全面的反映晶體物性參量的宏觀規(guī)律。

該模型為空間層次化結(jié)構(gòu),最外層各結(jié)點(diǎn)為示強(qiáng)變量(廣義力),內(nèi)層結(jié)點(diǎn)為示容變量(廣義位移),可分別構(gòu)成主效應(yīng)、交叉效應(yīng)、平行效應(yīng)等一次效應(yīng),若向內(nèi)層擴(kuò)展也可以描述二次、三次……效應(yīng)。

表2?4　六種能量間的物性效應(yīng)一覽表

以機(jī)電耦合(壓電)效應(yīng)為例,給出了力與電兩種能量間晶體材料本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式,并在同一公式中反映了主效應(yīng)、交叉效應(yīng)、平行效應(yīng),以及其之間的關(guān)系。

根據(jù)該模型不但能描述已知效應(yīng),而且可描述和預(yù)知尚未開發(fā)的效應(yīng)。如光與磁、聲與磁、聲與熱等許多效應(yīng)有待進(jìn)一步開發(fā)。

2.3.2　三種能量間物質(zhì)效應(yīng)G.Heckmann模型

如圖2?7所示的Heckmann模型是在1925年由G.Heckmann提出的三種能量物性效應(yīng)之間的各種關(guān)系,它描述了三種能量(機(jī)械能、電能與熱能)的物理參量間的耦合關(guān)系所反映出的各種物理效應(yīng)。

圖2?7　三種能量間物質(zhì)效應(yīng)G.Heckmann模型

圖2?7中三角形外層各頂點(diǎn)(應(yīng)力T、電場強(qiáng)度E、溫度θ)為示強(qiáng)變量,即自變量、廣義力等;與之相對應(yīng)的內(nèi)層各頂點(diǎn)(應(yīng)變S、電位移D、熵S*)為示容變量,即因變量,亦稱廣延變量、響應(yīng)變量、式量變量、廣義位移等。內(nèi)外三角形對應(yīng)的頂點(diǎn)連線(T?S、E?D、θ?S*)為主效應(yīng),其余各頂點(diǎn)之間的連線稱為交叉效應(yīng),各種主效應(yīng)與交叉效應(yīng)的名稱均標(biāo)注在圖上。

壓電晶體根據(jù)其所處的熱學(xué)條件可以分為等溫狀態(tài)(過程進(jìn)行得極為緩慢)及絕熱過程(過程進(jìn)行得極為迅速)。在多數(shù)實(shí)際應(yīng)用中,壓電晶體的機(jī)械能與電能之間的轉(zhuǎn)換是很快的,以致晶體與周圍環(huán)境來不及熱交換,因而系統(tǒng)近似處于絕熱狀態(tài)。因此在考慮晶體的壓電效應(yīng)時(shí),一般并不關(guān)心晶體所處的熱學(xué)條件,主要考慮電學(xué)量與力學(xué)量之間的耦合。在這種情況下,壓電晶體所構(gòu)成的熱力學(xué)系統(tǒng),其狀態(tài)可用表現(xiàn)系統(tǒng)力學(xué)與電學(xué)性質(zhì)的兩對共軛狀態(tài)參量應(yīng)力Tλ與應(yīng)變Sλ(λ=1,2,…,6)、電場強(qiáng)度Ei與電位移矢量Di(i=1,2,3)來描述,其中應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)槎A對稱張量,電場強(qiáng)度與電位移矢量為一階張量(矢量)。對于二階對稱張量應(yīng)力與應(yīng)變,采用Voigt提出的下標(biāo)縮并法來簡化處理。選取廣義位移(Sλ,Di)為自變量,考慮單位體積的晶體,系統(tǒng)的內(nèi)能變化可表示為:

dU=TλdSλ+EidDi(2?24)

公式(2?24)聯(lián)系自變量與響應(yīng)變量之間關(guān)系式稱為狀態(tài)方程。數(shù)學(xué)上,公式(2?24)表示dU是函數(shù)U關(guān)于自變量的全微分。根據(jù)函數(shù)U(Sλ,Di)的全微分性質(zhì),并與公式(2?13)相比較可以得到自變量的共軛量如下:

Tλ=(2?25a)

Ei=(2?25b)

系統(tǒng)的吉布斯自由能為:

G(T,E)=U-TλSλ-EiDi(2?26)

利用式(2?24)和式(2?26)得出吉布斯自由能的微分形式:

dG=-SλdTλ-DidEi(2?27)

由式(2?27)可知

Sλ=-(2?28a)

Di=-(2?28b)

當(dāng)外界約束參量相對于初態(tài)值(T,E)發(fā)生一個(gè)無窮小的擾動而變?yōu)?T+dT,E+dE)時(shí),這時(shí)系統(tǒng)相對于初態(tài)Φ=(T,E;S,D)將發(fā)生一個(gè)無窮小的偏離,從而達(dá)到新的平衡態(tài)Φ*=(T+dT,E+dE;S+dS,D+dD),因此可以嚴(yán)格地寫出(2?28)式的線性微分形式,即線性微分狀態(tài)方程:

dSλ=dTu+dEj(2?29a)

dDi=dTu+dEj(2?29b)

在方程式(2?29)中,將聯(lián)系約束變量與所對應(yīng)的響應(yīng)參量之間的系數(shù)稱為物性參數(shù)(即表征晶體物理性質(zhì)的參數(shù)),它們提供了狀態(tài)參量之間線性耦合的量度。

由公式(2?28)和方程式(2?29)不難得到:物性參數(shù)為所對應(yīng)約束下的勢函數(shù)對約束變量的二階微商。利用二階微商可以交換求導(dǎo)順序的性質(zhì),可以得出系數(shù)之間存在的關(guān)系——麥克斯韋關(guān)系:

==-(2?30)

以及系數(shù)下標(biāo)的交換對稱性關(guān)系:

==-(2?31)

引入物性參數(shù)。

彈性順度系數(shù):　　　　　　sλu=??Sλ/??Tu(2?32a)

介電系數(shù):　　　　　　　　εij=??Di/??Ej(2?32b)

壓電應(yīng)變系數(shù):　　　　　　diλ=??Sλ/??Ei=??Di/??Tλ(2?32c)

利用物性參數(shù)定義式(2?32a)~式(2?32c),線性狀態(tài)方程式(2?29)可以寫成:

dSλ=dσu+dλjdEj(2?33a)

dDi=diudσu+dEj(2?33b)

上面兩個(gè)方程右邊主對角線各項(xiàng)描述主效應(yīng),非主對角線各項(xiàng)描述耦合效應(yīng),且存在兩種耦合程度相同的耦合效應(yīng),它們分別處在關(guān)于主對角線對稱的位置。

由于任何實(shí)際過程都是有限的,而不是無窮小的變化過程,于是近似描述成為必要。對式(2?33)積分得實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常采用的積分形式的線性狀態(tài)方程:

Sλ=Tu+dλjEj(2?34a)

Di=diuTu+Ej(2?34b)

在推導(dǎo)上式的過程中,實(shí)際上假定了各物性參數(shù)均為常數(shù)且取初態(tài)Φ0=(T0,S0,E0,D0)下的值,并且初態(tài)時(shí)T0=S0=E0=D0=0。物性參數(shù)均為常數(shù)這一假設(shè)只有當(dāng)約束變量相對于平衡態(tài)不太大時(shí)才近似成立。

上面討論了描述晶體壓電效應(yīng)的四種約束類型中的一種,即以廣義力(應(yīng)力Tu、電場強(qiáng)度Ei)作為獨(dú)立變量表示的壓電方程。由于描述力學(xué)行為和電學(xué)行為的獨(dú)立變量可以任意選擇,因此根據(jù)獨(dú)立變量的不同選擇,可得到不同形式的壓電方程。

機(jī)械自由狀態(tài)與電學(xué)自由狀態(tài)(電學(xué)短路):

Sλ=Tu+dλjEj(2?35a)

Di=diuTu+Ej(2?35b)

機(jī)械自由狀態(tài)與電學(xué)受夾狀態(tài)(電學(xué)開路):

Sλ=Tu+gλjDj(2?36a)

Ei=-giuTu+Dj(2?36b)

機(jī)械夾持狀態(tài)與電學(xué)自由狀態(tài)(電學(xué)短路):

Tλ=Su-eλjEj(2?37a)

Ei=eiuSu+εijEj(2?37b)

機(jī)械夾持狀態(tài)與電學(xué)受夾自由狀態(tài):

Tλ=Su-hλjDj(2?38a)

Ei=-hiuSu+βijEj(2?38b)

以上四種壓電方程究竟選用哪一組來描述晶體的壓電效應(yīng),要看所研究的具體問題的性質(zhì)或?qū)嶒?yàn)測量條件而定。一般情況下為了方便,在應(yīng)用中常選廣義力(T,E)為約束變量來描述晶體的壓電效應(yīng)。

上面的四種壓電方程從不同角度反映了壓電晶體的機(jī)電耦合所遵從的規(guī)律,它們之間是相互關(guān)聯(lián)的,從任何一組方程出發(fā)都可以推導(dǎo)出其余方程,也就是說,由任何一種約束類型所得到的四個(gè)不同物性參數(shù)出發(fā),可以推出其他約束下的物性參數(shù)。這些系數(shù)之間有如下聯(lián)系。

主效應(yīng)物性參數(shù)之間的關(guān)系:

=δλv,=δλv(2?39a)

=δik,=δik(2?39b)

耦合效應(yīng)物性參數(shù)之間的關(guān)系:

diu=eiλ=gju(2?40a)

eiu=diλ=hju(2?40b)

giu=hiλ=dju(2?40c)

hiu=giλ=eju(2?40d)

同一物性參數(shù)之間在不同約束條件下的相互關(guān)系:

-=ekλhku(2?41a)

-=-dkλgku(2?41b)

-=dipejp(2?41c)

-=-giqhjq(2?41d)

在上面論述中,并沒有涉及材料的特殊性。事實(shí)上考慮到麥克斯韋關(guān)系式(2?30)和式(2?31)與晶體對稱性(Neumann原理)對這些物性參數(shù)(張量)所施加限制,使得實(shí)際壓電方程中物性參數(shù)的獨(dú)立分量非常有限,從而可簡化計(jì)算。