2.3　形狀導數與靈敏度分析

2.3.1　形狀導數

在拓撲優化設計過程中，靈敏度分析（sensitivity analysis）為推導目標函數和約束條件變分的重要概念，該靈敏度信息主要用于確定水平集即結構邊界的演化方向。在基于水平集方法的優化框架下，優化模型的靈敏度分析通常建立在形狀導數（shape derivative）的基礎上[16]。形狀導數主要研究材料域的形狀變化與目標函數變化間的聯系。在特定的物理和幾何約束下，結構拓撲優化的邊界表示為材料域幾何形狀的隱函數，此時的設計變量亦認為是設計區域的幾何形狀Ω。如圖2-4所示，幾何形狀Ω在微小擾動τ下的演化可視為從x到x(τ)的映射T[13]，[32]：

幾何邊界擾動的速度場定義為

若T-1存在，則速度場將改寫為

幾何形狀Ω的變化可定義為如下初值問題：

由于水平集方程通常采用Eulerian方法驅動結構邊界的演化，邊界的幾何形狀變化又可利用下述等式計算：

由式（2-30）給出的優化模型可知，優化目標J（u，Φ）為位移場u和水平集函數Φ的泛函，可采用物質導數（material derivative）[33]推導優化目標的形狀導數。關于物質導數和形狀導數，可以給出如下定義和引理：

定義　若J(x)為在變形域Ω_τ內的任意光滑函數，則J(x)的物質導數為

若目標泛函在設計域Ω和邊界Γ上可積，則可以定義如下兩則引理[1]：

引理1　若 ，則其物質導數為

其形狀導數為

引理2　若 ，則其物質導數為

其形狀導數為

2.3.2　靈敏度分析

在基于傳統的水平集的結構拓撲優化中，Wang等[11]和Allaire等[12]采用經典的形狀導數理論來獲取結構邊界運動的速度場，從而使得目標函數下降。本章同樣采用形狀導數來推導目標函數和約束條件關于設計變量（擴展系數）的靈敏度。

根據形狀導數的概念可以推導目標函數、能量雙線性形式和載荷線性形式關于時間變量t的微分分別為

由于 ∈U，可得到共軛方程：

彈性平衡條件a(u，v，Φ)=l(v，Φ)對t求偏導：

將式（2-45）~式（2-47）代入式（2-48）可得

考慮到結構柔度最小化問題為自伴隨問題[11]，因此，

由于假設Dirichlet邊界Γ_D在法向上不可移動，即V_n在邊界Γ_D上為零。將式（2-50）代入式（2-44）可得到目標函數的形狀導數為

其中，n為法矢；Γ_f為無牽引力邊界，且有

由于不考慮牽引力，在邊界Γ_N上的積分消失。將速度場式（2-22）代入式（2-51），則目標函數的形狀導數可改寫為

其中γ函數記為

通過鏈式法則對目標函數J(u，Φ)直接求其關于時間變量t的偏導數可以得到：

對比式（2-53）和式（2-55），不難發現目標函數關于設計變量的敏度為

類似地，可以得到約束條件關于設計變量的敏度為

可以看到，式（2-56）和式（2-57）在計算敏度時采用邊界積分（boundary integration），在邊界積分項中，|▽φ（x）α（t）|的計算成本高。此外，如果水平集面較為平坦，|▽φ(x)α(t)|的值相應較小，此時的計算誤差將被進一步放大。更為重要的是，邊界積分策略是導致基于水平集的拓撲優化方法在結構域內無法自由形成新孔洞的重要原因之一。基于以上分析，本章采用更為高效的體積積分（volume integration）策略來計算優化模型的敏度。與邊界積分策略相比，體積積分無需在邊界上計算|▽φ(x)α(t)|，因此不僅不會阻礙結構設計域內的孔洞自由形成，而且會顯著降低計算積分項時的成本[11-20]。通過引入映射關系dΓ=δ(Φ)|▽Φ|dΩ，敏度表達式（2-56）和式（2-57）可進一步表示為