2.2　基于參數(shù)化水平集的拓撲優(yōu)化模型

在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設(shè)計的研究領(lǐng)域，最為常見的優(yōu)化問題為結(jié)構(gòu)剛度最大化拓撲優(yōu)化設(shè)計問題。在工程上，剛度和柔度是用來衡量結(jié)構(gòu)靜態(tài)性能的一對含義完全相反的量，在優(yōu)化建模中，通常需要使目標函數(shù)最小化，因此通常可將結(jié)構(gòu)剛度最大化問題等價為結(jié)構(gòu)柔度最小化問題進行處理。以材料的體積分數(shù)為設(shè)計約束，基于參數(shù)化水平集的結(jié)構(gòu)柔度最小化問題的優(yōu)化模型可以構(gòu)建為

上述模型中，α_i（i=1，2，…，N）為徑向基函數(shù)插值的擴展系數(shù)，在參數(shù)化水平集方法中為優(yōu)化設(shè)計變量。N代表水平集網(wǎng)格中節(jié)點的數(shù)量，亦即徑向基函數(shù)插值點的數(shù)量。α_max和α_min分別為設(shè)計變量的上下限，主要用于增加優(yōu)化迭代的穩(wěn)定性。G為優(yōu)化模型的體積約束，V_max是允許使用的最高材料用量。u和v分別表示實位移場和運動學允許的位移空間U內(nèi)的虛位移場。u₀為Dirichlet邊界Γ_D上的位移。H（Φ）為Heaviside函數(shù)，δ（Φ）為Dirac函數(shù)[11]，用于計算Heaviside函數(shù)的偏導數(shù)。在優(yōu)化模型式（2-30）中，優(yōu)化目標為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，可表達為如下形式：

上述公式中D_pqrs代表材料的彈性張量。彈性平衡條件的弱形式為a(u，v，Φ)=l(v，Φ)，能量雙線性形式a(u，v，Φ)和載荷線性形式l(v，Φ)可分別表示為

其中，ε代表應(yīng)變場；p為結(jié)構(gòu)體積力；τ為Neumann邊界Γ_N上的牽引力；u₀為Dirichlet邊界Γ_D上的位移。