2　黎曼幾何

1．幾何幾何

幾何是一門古老的學科，它的年齡有幾何？可以讓我們一直追溯到兩千多年前的古希臘。實際上，恐怕沒有哪一門學科，像歐幾里得幾何學那樣在公元前就已經被創立成形，而至今都還活躍在許多課堂上和數學競賽試題中。在筆者那一代的中學生中，不乏數學迷和幾何迷，大家在幾何世界中遨游，從中體會到數學的奧妙，也感受到無限的樂趣。

縱觀科學史，牛頓、愛因斯坦都是偉人，歐拉、高斯……偉大的數學家也可以列出不少，但恐怕很難找出像歐幾里得這樣的科學家，從兩千多年前一直到現代，人們還經常提到以他命名的“歐幾里得空間”、“歐幾里得幾何”等名詞，真可謂名垂千古而不朽了。愛因斯坦的理論剛到百年歷史，牛頓時代距現在也還不過四百來年，歐幾里得卻是公元前的人物了。

歐幾里得（Euclid，前325—前265年）的名字來源于希臘文，是“好名聲”的意思，難怪他被譽為幾何之父。歐幾里得的主要著作《幾何原本》^[16]（1607年，有徐光啟的中譯本^[17]），在全世界流傳2000年，的確為他留下了好名聲。

《幾何原本》不僅僅被人譽為有史以來最成功的教科書，而且在幾何學發展的歷史中具有重要意義。其中所闡述的歐氏幾何是建立在5個公理之上的一套自洽而完整的邏輯理論，簡單而容易理解。這點令人驚嘆，它標志著在2000多年前，幾何學就已經成為了一個有嚴密理論系統和科學方法的學科！除了《幾何原本》之外，歐幾里得流傳至今的著作還有另外5本，從中可以看出他對幾何光學及球面天文學等其他領域也頗有研究。

歐幾里得幾何是一個公理系統，主要研究的是二維空間中的平面幾何。所謂“公理系統”的意思是說，只需要設定幾條簡單、符合直覺、大家公認、不證自明的命題（稱為公理，或公設），然后從這幾個命題出發，推導證明其他的命題……再推導證明更多的命題，這樣一直繼續下去，一個數學理論便建立起來了。如上所述建立公理系統的過程頗似建立一座高樓大廈：首先鋪上數塊牢靠的磚頭作為基礎，然后在這基礎上砌上第二層、第三層、第四層磚，一直繼續下去，直到大廈落成。所以，“公理”就是建造房屋時水平放在基底的第一層大“磚塊”。有了牢靠平放的基底，其他的磚塊便能夠一層一層地疊上去，萬丈高樓也就平地而起。基底磚塊破缺了，或者置放得不水平，樓房就可能會倒塌。

歐幾里得平面幾何的公理（磚塊，或稱公設）有5條：

1．從兩個不同的點可以作一條直線；

2．線段能無限延伸成一條直線；

3．以給定線段一端點為圓心，該線段作半徑，可以作一個圓；

4．所有直角都相等；

5．若兩條直線都與第三條直線相交，并且在同一邊的內角之和小于兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

歐幾里得就從這5條簡單的公理，推演出了所有的平面幾何定理，建造出一個歐氏幾何的宏偉大廈。數學邏輯推理創造的奇跡令人吃驚。不過，當人們反復思考這幾個公理時，覺得前面4個都是顯然不言自明的，唯有第5條公理比較復雜，聽起來不像一個簡單而容易被人接受的直覺概念。還有人推測，歐幾里得自己可能也對這條公理持懷疑態度，要么怎么把它放在5條公理的最后呢？并且，歐幾里得在《幾何原本》中，推導前面28個命題都沒有用到第5公設，直到推導第29命題時才開始用它。于是，人們就自然地提出疑問：這第5條是公理嗎？它是否可以由其他4條公理證明出來？大家的意思就是說，歐氏平面幾何的大廈用前面4塊大磚頭可能也就足以支撐了，這第5塊磚頭，恐怕本來就是放置在另外4塊磚頭之上的。

第5條公理也稱為平行公理（平行公設），由這條公理可以導出下述等價的命題：

通過一個不在直線上的點，有且僅有一條不與該直線相交的直線。

因為平行公理并不像其他公理那么一目了然。許多幾何學家嘗試用其他公理來證明這條公理，但都沒有成功，這種努力一直延續到19世紀初。1815年左右，一個年輕的俄羅斯數學家，尼古拉·羅巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky，1792—1856）開始思考這個問題。在試圖證明第5公設而屢次失敗之后，羅巴切夫斯基采取了另外一種思路：如果這第5公設的確是條獨立的公理的話，將它改變一下會產生什么樣的后果呢^[18]？

羅巴切夫斯基巧妙地將上述與第5公設等價的命題改變如下：“過平面上直線外一點，至少可引兩條直線與已知直線不相交”。然后，將這條新的“第5公設”與其他4條公設一起，像歐氏幾何那樣類似地進行邏輯推理、建造大廈，推出新的幾何命題來。羅巴切夫斯基發現，如此建立的一套新幾何體系，雖然與歐氏幾何完全不同，但卻也是一個自身相容的沒有任何邏輯矛盾的體系。因此，羅巴切夫斯基宣稱：這個體系代表了一種新幾何，只不過其中許多命題有點古怪，似乎與常理不合，但它在邏輯上的完整和嚴密卻完全可以與歐氏幾何媲美！

羅氏幾何體系得到古怪而不合常理的命題是必然的，因為被羅巴切夫斯基改變之后的第5公設，本身就與人們的日常生活經驗不相符合。過平面上直線外的一點，怎么可能作出多條不同的直線與已知直線不相交呢？由此而建造出來的數學邏輯大廈，盡管也是穩固而牢靠的，但卻有它的不尋常之處。比如說，羅氏幾何導出的如下幾條古怪命題：同一直線的垂線和斜線不一定相交；不存在矩形，因為四邊形不可能4個角都是直角；不存在相似三角形；過不在同一直線上的三點，不一定能作一個圓；一個三角形的3個內角之和小于180°……。

然而，重要的是，羅巴切夫斯基使用的是一種反證法。因為既然改變第5公設能得到不同的幾何體系，那就說明第5公設是一條不能被證明的公理。所以，從此以后數學家們便打消了企圖證明第5公設的念頭。然而，由于羅氏幾何得出的許多結論和我們所習慣的歐式空間的直觀圖像相違背，羅巴切夫斯基生前并不得意，還遭遇不少的攻擊和嘲笑。

羅巴切夫斯基在1830年發表了他的非歐幾何論文。無獨有偶，匈牙利數學家鮑耶·亞諾什（János Bolyai，1802—1860）在1832年也獨立地得到非歐幾何的結論^[19]。

匈牙利數學家鮑耶的父親，正好是大數學家高斯的大學同學。當父親將鮑耶的文章寄給高斯看后，高斯卻在回信中提及自己在30多年前就已經得到了相同的結果。這給予正年輕氣盛的鮑耶很大的打擊和疑惑，甚至懷疑高斯企圖盜竊他的研究成果。但實際上，從高斯的文章、筆記、書信等可以證實，高斯的確早就進行了非歐幾何的研究，并在羅巴切夫斯基與鮑耶之前，已經得出了相同的結果，不過沒有將它們公開發表而已^[20]。

早在1792年，15歲的高斯就開始了關于平行公理獨立性的證明。他繼而研究曲面（球面或雙曲面）上的三角幾何學，在17歲時就已深刻地認識到：“曲面三角形之外角和不等于360°，而是成比例于曲面的面積”。1820年左右，高斯已經得出了非歐幾何的很多結論，但不知何種原因，高斯沒有發表他的這些關于非歐幾何的思想和結果，只是在1855年他去世后才出現在出版的信件和筆記中。有人認為是因為高斯對自己的工作精益求精、寧缺毋濫的嚴謹態度；有人認為是高斯害怕教會等保守勢力的壓力；也有人認為高斯已經巧妙地將這些思想包含在他1827年的著作中^[21]。

實際上，第5公設還可以用不同的方式進行改造。像羅巴切夫斯基那樣，改成“可以引最少兩條平行線”的話，得到的是一種雙曲幾何。如果將第5公設改成“一條平行線也不能作”的話，便又能得到另一種新幾何，稱為“球面幾何”。見圖2-1-1。

本來，將第5公設改來改去只是數學家做的數學演繹游戲，人們不認為由此而建立的非歐幾何有任何實用價值。何況，得到的幾何完全不符合我們所生活的空間中看到的幾何。但沒想到幾十年之后，非歐幾何出人意料地在物理上找到了它的用途：愛因斯坦的廣義相對論需要它們。