5.2 特征值解法EIGRL/EIGRA

特征值是矩陣的重要特性，在實模態(tài)計算過程中，特征值問題表達式為

式中，矩陣K和M是對稱正定或半正定矩陣，這是一個典型的廣義特征值問題。特征值及特征向量的經(jīng)典算法包括冪法與反冪法、QR變換法、Hessenberg變換法、Lanczos三對角化法等。在有限元計算過程中，一般不需要計算所有的模態(tài)，而僅需少量對結(jié)構(gòu)振動有貢獻的低階模態(tài)。

5.2.1 蘭索士（Lanczos）法

OptiStruct中默認采用Lanczos法計算稀疏矩陣的特征值問題，它是一種結(jié)合矩陣三對角化及迭代過程的經(jīng)典算法。

Lanczos法的優(yōu)點是準確計算特征值和相關(guān)模態(tài)振型，對于計算頻段以內(nèi)模態(tài)數(shù)量較小的模型非常有效。但Lanczos法不太適用于使用具有數(shù)百萬自由度的模型且需要計算數(shù)百或上千階模態(tài)的問題，因為此時計算速度偏慢，運行時間很容易延長到數(shù)天。在這種情況下，推薦使用更為先進的AMSES方法。

在OptiStruct中，Lanczos法使用卡片EIGRL來表示，見表5-1及表5-2。

在使用時，V1、V2、ND三個字段可以由表5-3中的幾種組合來進行求解頻段的定義。V1、V2、ND同時給定時，求解的特征值范圍和個數(shù)為三個參數(shù)決定的最小集合。例如，V1=10、V2=100、ND=3時，最后得到的是10～100Hz內(nèi)前三個模態(tài)頻率及對應振型。如果模型存在剛體模態(tài)，推薦使用V1為空，即V1=-∞，這樣可以防止遺漏因數(shù)值誤差導致的頻率為極小負值的剛體模態(tài)。

5.2.2 AMSES模態(tài)求解加速算法

AMSES英文全稱為Automatic Multi-level Sub-structuring Eigensolver Solution，即自動多層級子結(jié)構(gòu)特征值求解。該方法的優(yōu)點是每個層級只需要計算一部分子結(jié)構(gòu)的特征值問題，而后再進行綜合求解，因此磁盤空間占用大大減少，運行時間得到有效縮短。例如，對于典型的NVH分析，通常可挑選重點關(guān)注的若干（<100）個自由度響應，這樣上百萬網(wǎng)格的上千階模態(tài)可以在幾個小時內(nèi)求解完成。

AMSES方法的缺點是結(jié)果精度略遜于Lanczos法，但計算低階模態(tài)的精度依然非常高，通過提高模態(tài)分析的上限頻率即可得到較完備的模態(tài)空間。對于動力學分析來說，由模態(tài)振型形成較完備的振型空間通常比每個模態(tài)振型都完全精確更重要。若僅要求解算少量模態(tài)構(gòu)成的運動，可以僅使用Lanczos算法。

在OptiStruct中，AMSES法使用卡片EIGRA來表示，見表5-4和表5-5。

在使用上，EIGRA與EIGRL基本是一致的。考慮到模型可能存在剛體模態(tài)，推薦使用V1=blank（為空）。不同之處在于，AMSES中V2必須指定，模態(tài)頻段組合定義見表5-6。

總體而言，AMSES比Lanczos法更適用于自由度規(guī)模超過100萬的模型，以及求解特征值頻率范圍較高或模態(tài)數(shù)較大的情況。如果模態(tài)振型的精度很重要，可以先運行AMSES，然后在一定頻率范圍內(nèi)用Lanczos法驗證檢查AMSES運行的準確性。也可以調(diào)整AMPFFACT，提高各子結(jié)構(gòu)的計算頻率上限，以增加求解精度。大量實際計算表明，AMSES求解的結(jié)果與Lanczos法是高度匹配的。

AMSES可用于所有動力學相關(guān)分析。特別地，對于僅需少量自由度輸出結(jié)果時（典型的NVH分析），AMSES的速度可能比Lanczos法快上100倍。反之，如果需要計算所有節(jié)點的自由度，或模型中存在大量RBE3單元并對非常多的自由度進行連接，那么AMSES效率將大幅降低。因此，使用AMSES進行動力學分析時，應避免不必要的輸出，僅保留少量實際有需求的節(jié)點，并最好減少模型中不必要的RBE3單元。