5.1 實模態分析

模態分析提供了將多自由度系統的動力學方程轉變到模態坐標q_i的方法。在實模態分析中，模態特征值與振型向量均為實數。同時，動力學方程需要滿足一定的阻尼條件才能進行實模態解耦。下面通過一些簡要公式來闡述這些問題。

5.1.1 基本方程

結構動力學響應在模態空間中的分解，可以將模態坐標q_i合并成列向量q={q₁，q₂，q₃，…}^T，q即模態坐標，也稱為廣義坐標。將模態振型向量{φ_i｜i=1，2，3，…}合并成矩陣形式，Φ=[φ₁，φ₂，φ₃，…]，模態振型矩陣Φ為所有特征向量φ_i的集合。

那么位移u的時域及頻域表達式（4-16）可寫成矩陣形式：

將式（5-1）代入頻域動力學方程式（4-14），并在方程兩側同時乘以Φ^T，得到

這是模態空間下的頻域動力學方程。其中：

1），稱為模態/廣義質量矩陣。

2），稱為模態/廣義阻尼矩陣。

3），稱為模態/廣義剛度矩陣。

4），稱為模態/廣義激勵力 （列）向量。

在模態空間中，各個模態坐標q_i的運動是相互獨立的。因此，式 （5-3）中的矩陣_{、、}必須都是對角矩陣，

式中，{i=1，2，…}為模態階次，最大的模態階次與有限元中的自由度總數相等；為模態質量；為模態阻尼；為模態剛度；diag（）表示僅矩陣主對角線元素不為零的對角矩陣。

實模態分析的核心問題是如何獲取滿足式（5-4）的模態矩陣Φ。如果矩陣M、C、K是任意的，并不一定能找到滿足該要求的解。事實上，只有M、C、K為對稱矩陣，且阻尼C滿足一定條件時，才滿足實模態的要求。

5.1.2 模態振型及頻率

實模態振型最初是從無阻尼結構中推導出來的。忽略外激勵的作用，頻域動力學方程簡化為

這是一個典型的廣義矩陣特征值問題，可求得實特征值λ_i和實特征向量φ_i。特征值λ_i對應于結構的固有頻率ω_i，特征向量φ_i對應于結構的模態振型。

由于任意特征向量φ_i在縮放任意倍數后依然滿足式（5-6），因此為保證模態振型數值的唯一性需要規范化特征向量。在OptiStruct中默認采用“廣義質量歸一化”的方式決定模態振型的數值，即

采用質量歸一化標準后，模態質量矩陣變為單位矩陣，模態剛度矩陣變為的對角矩陣。

于是，無阻尼結構的動力學方程簡化成

圖5-1所示為典型模態分析在.fem文件中的工況定義。一般只需要在工況定義中設置模態分析方法卡片METHOD，以及對應的結構邊界條件SPC。如果分析的是自由結構的模態，那么SPC字段也是不需要的。

用OptiStruct進行模態分析后，可在輸出的.out文件中找到圖5-2所示的結果。其中列出了各階模態對應的固有頻率（以Hz為單位）、特征值、廣義剛度、廣義質量。

5.1.3 比例阻尼

除了無阻尼結構以外，比例阻尼結構也滿足實模態解耦。比例阻尼即阻尼矩陣是質量與剛度矩陣的線性組合形式，通常指的是瑞利（Rayleigh）黏性阻尼。在OptiStruct中，比例阻尼是通過參數PARAM,ALPHA1與PARAM,ALPHA2進行定義的。

比例阻尼結構的模態振型矩陣Φ與無阻尼情形的計算結果是完全相同的，這可由比例阻尼的定義得到。此時，模態阻尼矩陣依然為對角矩陣。

因此在模態空間的動力學方程依然是解耦的。時域方程表達為

或

頻域方程表達為

或

代入單自由度簡諧激勵振動的頻域解，，=1，，于是各階模態的阻尼＜para-pc＞比為

各階模態的振動頻率為

這里ω_i＿d的下標d表示damping，意為含阻尼時結構的振動頻率。

需要注意的是，如果在OptiStruct中采用比例阻尼進行仿真，那么各階模態的阻尼比是不相同的。從式（5-14）可知，隨著模態頻率ω_i的數值變化，阻尼比ζ_i是變化的。在模態頻率比較高時，模態阻尼比ζ_i與模態頻率ω_i近似為線性增長的關系。

5.1.4 結構阻尼

采用全局結構阻尼的動力學方程也是滿足實模態解耦的。所謂結構阻尼，是一種因位移產生的能量耗散，有別于因速度產生能量耗散的黏性阻尼。OptiStruct中定義的全局結構阻尼也是一種比例阻尼：

式中，g是一個自定義常數。

將這種形式的阻尼矩陣代入時域及頻域動力學方程，得到

可以看到，時域方程中是一個隨激勵頻率ω變化的矩陣，而在頻域方程中，阻尼合并到剛度項，成為一個復剛度矩陣（1+j·g）K，與激勵頻率ω無關。因此，在OptiStruct中定義結構阻尼有些特殊。在頻率響應分析類型中，只需要采用PARAM,G定義參數g即可；而在瞬態響應分析類型中，需要額外采用PARAM,W3定義式（5-17）中的參數ω。

將式（5-17）與式（5-18）在實模態空間Φ中進行表示。此時，時域方程為

頻域方程為

可求解式（5-20）中每一階模態的復數方程，得到對應的特征值：

其中

式中，ω_i＿d為結構阻尼情形下的振動頻率，ω_i＿d略大于ω_i；g_s為各模態坐標的阻尼系數，該數值在OptiStruct復模態分析輸出的.out文件中表示為“damping”；ζ_i為將結構阻尼等效為黏性阻尼時的阻尼比。在小阻尼情況下，g_s≈g，ζ_i≈g/2。因此，如果采用PARAM，G的全局結構阻尼進行仿真，那么各階模態阻尼或阻尼比是完全相同的。

圖5-3直觀地給出了比例阻尼與結構阻尼兩種形式的模態阻尼比曲線。可以看到，采用Rayleigh阻尼進行計算時，在極低頻和高頻段有很大的振動屏蔽效應，而采用結構阻尼進行計算時，各階模態的阻尼是相等的。

5.1.5 SDAMPING阻尼

除此之外，實模態解耦的情況還存在于SDAMPING阻尼類型，即直接定義各階模態的阻尼比ζ_i。

在OptiStruct中，通過TABDMP1卡片定義阻尼比隨頻率變化的曲線ζ（ω），由工況控制卡片SDAMPING進行選取。這樣第i階模態的阻尼比就可以依靠查表的方式被直接定義為：ζ_i=ζ（ω_i），于是式 （4-17）與式 （4-18）中的廣義模態阻尼為=2ζ_iω_i。

采用SDAMPING阻尼方式時，模態振型矩陣Φ與無阻尼情形完全一致，而阻尼比曲線ζ（ω）可以根據試驗測試進行標定。在OptiStruct仿真應用中，SDAMPING是最靈活的一種阻尼使用方式。相較于比例阻尼或結構阻尼，它可以更準確地表達阻尼效應。在具備試驗測試條件的情況下，推薦采用SDAMPING方式定義有限元模型的阻尼。

5.1.6 剛體模態

有限元方法可求得的模態數目與模型自由度數相等，一般按模態頻率從低到高進行求解。結構不被SPC約束時，最低階模態的頻率為0，即不發生振動，此時，結構模態振型為整體性平動或轉動，稱為剛體模態或零頻模態。剛體模態的特征是結構不發生彈性形變，無彈性勢能產生。除剛體模態以外，其余的模態頻率均大于0，此時結構發生彈性形變，有彈性勢能產生，稱為彈性模態。

依據上面的定義及描述，剛體模態φ₀滿足彈性勢能為0，即

即無須外力作用，結構就能產生靜力位移。剛體模態頻率ω₀=0，剛度矩陣K非滿秩。

一個結構處于無約束的自由狀態時，共有6個獨立的剛體模態振型φ₀，分別對應3個平動和3個轉動狀態。有限元數值計算中，獲取的剛體模態通常為平動和轉動的線性組合，且由于數值精度問題，獲取的剛體模態頻率一般不嚴格為0。如圖5-4所示，剛體模態頻率通常遠低于第一階彈性模態頻率，可認為近似等于0。

在OptiStruct實際應用中，常利用模態分析的剛體模態數目來檢查建模錯誤。建模正確的情況下，對于充分約束的結構，應當確保不存在剛體模態。而對于完全自由的單個結構，應該確保剛體模態僅為6個。例如，如果出現固支位置遺漏SPC、應相連的部件未進行連接、連接單元剛度為0等情況，那么單個結構的剛體模態數目將大于6，應當通過補充必要的連接以及修正SPC等方式修復模型。

5.1.7 模態有效質量

在OptiStruct模態分析中，可以使用PARAM,EFFMAS,YES，輸出模態參與因子、模態有效質量以及模態有效質量百分比到.out文件中。模態有效質量信息可以輔助判斷某一階模態是否為局部模態，模態參與因子被用于沖擊響應譜分析。

OptiStruct中的模態參與因子（Modal Participation Factor，MPF）描述的是各階模態Φ與剛體模態φ₀的近似程度。記MPF的符號為p，定義為

由于Φ^TMΦ=I，式（5-25）有等價定義形式

式中，Φ即模態振型矩陣；p是一個列向量；φ₀特指整體結構的單位剛體位移。這里單位剛體位移φ₀的含義是：不論結構是否被約束，均假定在全局坐標系中進行6個自由度的單位剛體位移，即整體結構沿x、y、z軸平動位移1個單位，或繞x、y、z軸轉動1個單位弧度。

在這種定義下，結構的剛體質量（Rigid Body Mass）定義為

從中可以知道，φ₀取值為平動單位剛體位移時，RBM為一般意義下的結構總質量；當φ₀為轉動單位剛體位移時，RBM為3個繞全局坐標軸的轉動慣量。在OptiStruct中，結構的總質量與繞軸轉動慣量也可以用PARAM, GRDPNT, 0輸出。

在.out文件中輸出的第i階模態有效質量（Modal Effective Mass）的定義為

輸出的第i階模態有效質量百分比（Modal Effective Mass Fraction）的定義為

因此，如果通過模態分析獲取了充足的結構模態階次，那么

在OptiStruct模態分析中使用PARAM,EFFMAS,YES，可在.out文件中看到圖5-5所示的結果，在最后一行SUBCASE TOTAL中記錄了當前所有模態的有效質量疊加百分比。分析沖擊性載荷作用時，該數值可在一定程度上反映當前的模態分析頻段是否足夠寬泛，能否提取充足的結構模態來逼近動力學的分析結果。