4.3 多自由度系統動力學

4.3.1 動力學方程

有限元分析中的結構均為多自由度系統，OptiStruct預處理模型后，生成的是矩陣形式的質量矩陣M、阻尼矩陣C及剛度矩陣K。前述的一些振動相關概念，包括固有頻率、頻率比、動力放大系數、各類阻尼等，在多自由度系統中具有相同的含義。

多自由度系統的時域動力學方程為

對應的頻域動力學方程為

式中，u={u_i｜i=1，2，…}為位移列向量，f={f_i｜i=1，2，…}為外激勵列向量。

在單自由度系統的基礎上，多自由度系統增加了“模態”的概念。所謂模態，可以理解為結構在發生動力學運動時出現的整體協同運動模式。它具備整體性、模式性、協同性、獨立性幾個特點。整體結構的所有自由度是相互關聯的，且有固定的運動模式。各個運動模式之間既具備獨立的運動特征，又通過相互協調作用來滿足外激勵及初始條件。

引入模態振型列向量φ_i及對應的模態坐標q_i，可以將多自由度系統的位移向量u變換到模態坐標q_i。

關于模態振型向量φ_i的具體推導過程將在下一章介紹。在模態空間中，動力學方程變為

式中，q_i為模態坐標；為模態質量；為模態阻尼；為模態剛度；為模態外激勵。

式（4-17）與式（4-18）為實模態解耦的動力學方程，與單自由度系統的動力學方程式（4-3）與式（4-6）是完全一致的。因此，每個模態坐標q_i即為一個單自由度系統，具有各自的固有頻率、阻尼比、動力放大系數等動力學特性參數。

4.3.2 邊界條件SPC/SPCD

動力學分析中外激勵不僅有直接的外力作用，還有強迫位移、強迫速度、強迫加速度形式的激勵，有時也稱作基礎激勵，采用SPC/SPCD定義。在這些動力學邊界條件/基礎激勵的作用下，有限元模型的整體質量矩陣M、整體阻尼矩陣C及整體剛度矩陣K發生了改變，并產生了等效的外激勵載荷。

有限元模型中包含SPC/SPCD邊界條件時，動力學方程按邊界自由度進行分塊。時域動力學方程為

頻域動力學方程為

式中，下標a表示analysis，u_a為分析自由度集；b表示boundary，u_b為邊界自由度集；f_a為非約束邊界上的外載荷；f_b為邊界約束邊界上的外載荷。f_b在OptiStruct中通常被稱為約束反力，用SPCF （ Single Point Constraint Force）表示。

求解有限元動力學問題時，式（4-19）、式（4-20）的第2行將被消去，

式中，為強迫位移引發的內力載荷 （邊界自由度b對分析自由度a）。

因此，SPC/SPCD的邊界約束減少了運動系統的自由度，縮減后的整體質量矩陣M=M_aa，整體阻尼矩陣C=C_aa，整體剛度矩陣K=K_aa。同時，外載荷f變為兩部分，即原外力載荷f_a，以及約束邊界的內力載荷。

為便于說明，不論是動力學約束邊界還是直接的外力作用，在后續動力學章節中將統稱為外激勵而不嚴格區分。而表達式中的質量矩陣M、阻尼矩陣C和剛度矩陣K，一般指代預處理SPC/SPCD完畢后，有限元模型僅包含分析自由度的情況。