4.2 強迫振動

強迫振動指的是結(jié)構(gòu)振動過程中受到外激勵作用，即f（t）≠0。強迫振動的響應(yīng)不僅與結(jié)構(gòu)本身有關(guān)，還與外激勵的形式密切相關(guān)。強迫振動通常依據(jù)外激勵的形式可進一步細化為簡諧激勵振動和一般激勵振動。

簡諧激勵振動對應(yīng)于OptiStruct的頻率響應(yīng)分析類型，包括直接法頻率響應(yīng)分析DFREQ和模態(tài)法頻率響應(yīng)分析MFREQ。一般激勵振動對應(yīng)于OptiStruct的瞬態(tài)響應(yīng)分析類型或頻率響應(yīng)分析類型，這取決于采用激勵的時域曲線還是頻譜曲線。

4.2.1 簡諧激勵振動（時域）

簡諧激勵即正弦或余弦激勵，f（t）=f₀sin（ωt）。通常把簡諧激勵下的結(jié)構(gòu)振動分析稱為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析，此時結(jié)構(gòu)振動的位移解為

式（4-5）是忽略了初始條件（衰減自由振動）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，響應(yīng)頻率與激勵的頻率相等，均為單一頻率成分，而與結(jié)構(gòu)固有頻率無關(guān)。

稱為頻率比，是簡諧激勵頻率ω與結(jié)構(gòu)固有頻率ω_n的比值；f₀k稱為靜力等效變形幅值；，稱為動力放大系數(shù)，響應(yīng)u的幅值是在靜力等效變形幅值f₀k的基礎(chǔ)上疊加一個動力放大系數(shù)β。在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析中，頻率比γ和動力放大系數(shù)β是十分重要的概念。隨著頻率比γ的變化，動力放大系數(shù)β會發(fā)生很大的變化，如圖4-4所示。

1）當(dāng)γ→0，即簡諧激勵遠低于結(jié)構(gòu)固有頻率時，β=1，振動幅值近似為f₀k。

2）當(dāng)γ→∞，即簡諧激勵遠高于結(jié)構(gòu)固有頻率時，β=0，振動幅值幾乎為0。

3）當(dāng)γ=1，即簡諧頻率ω等于結(jié)構(gòu)固有頻率時，稱結(jié)構(gòu)處于共振狀態(tài)。此時，如果阻尼為零，那么共振振幅將無窮大。對于大多數(shù)實際結(jié)構(gòu)，阻尼比0<ζ?1，此時動力放大系數(shù)是一個有限數(shù)值。例如，阻尼比為0.01時，共振幅值是等效靜力變形的50倍。

4.2.2 簡諧激勵振動（頻域）

簡諧激勵振動是一種穩(wěn)態(tài)的振動，通常在頻域內(nèi)進行分析。對微分動力學(xué)方程進行拉普拉斯變換，s=jω，在忽略初始條件后可以得到

位移解u（s）在頻域下有極為簡潔的形式：

將s=jω，，，代入式 （4-7），寫成頻率比γ以及阻尼比ζ的形式：

當(dāng)?shù)刃ъo力變形=1時，位移幅值 ‖u（γ）‖ 同為圖4-4的形式。

可求得式（4-7）分母ms²+cs+k=0時的共軛根s_1,2，它們是單自由度振動系統(tǒng)的特征值。

式中，ω_d表示含黏性阻尼的結(jié)構(gòu)振動頻率，略小于ω_n。小阻尼情形時，ω_d≈ω_n。

4.2.3 一般激勵振動（時域）

一般激勵指的是任意表達形式的外激勵，通常為非單頻成分。例如，可以是多個不同頻率的簡諧激勵疊加，也可以是連續(xù)不間斷的隨機載荷。

時域動力學(xué)分析中有兩種分析方法。

1）使用“Duhamel（杜阿美爾）卷積”進行響應(yīng)的求解。將任意激振力f（t）表示為無限多個瞬時力δ（t-τ）之和，然后通過積分方法疊加每個瞬時激勵的自由響應(yīng)，得到整個時段的響應(yīng)。

式中，h（t）稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)，是零時刻瞬態(tài)激勵δ（t）的位移響應(yīng)；τ為時間滯后量。

2）直接對時域動力學(xué)方程進行等時間步長Δt的離散化，通過逐個時間步的依次求解得到動力學(xué)響應(yīng)。

在OptiStruct中，時域響應(yīng)分析采用的是離散時間步的數(shù)值積分方法計算，對應(yīng)于瞬態(tài)分析序列DTRAN及MTRAN，具體過程請查閱第6章瞬態(tài)響應(yīng)分析。用戶只需要指定積分的離散時間TSTEP（TIME），求解器將從初始時刻開始，逐一完成所有離散時間點的響應(yīng)計算。一般來說，時間間隔Δt需要足夠小來保證計算精度。

4.2.4 一般激勵振動（頻域）

如果外激勵采用頻域表達式f（ω），即時域表達式f（t）的傅里葉變換，那么可以在頻域上求解動力學(xué)響應(yīng)，形式上為

特別的，外激勵頻譜f（ω）=1時

式中，h（ω）稱為單位頻率響應(yīng)函數(shù)，常用來評價結(jié)構(gòu)在頻域的基礎(chǔ)響應(yīng)特性。

在OptiStruct中采用頻率響應(yīng)分析序列DFREQ或MFREQ完成計算。用戶需要通過FREQi卡片來指定離散的頻率列表，求解器將對每一個頻率點計算響應(yīng)曲線。

另外，OptiStruct中還支持采用逆傅里葉變換方法來獲取時域響應(yīng)。采用該算法時，首先計算頻域響應(yīng)u（ω），而后通過逆傅里葉變換得到時域響應(yīng)。求解序列為DTRAN或MTRAN，需同時定義時間步TSTEP（FOURIER）以及頻率點FREQi。