4.1 自由振動

振動即結(jié)構(gòu)在平衡位置附近的往復(fù)運(yùn)動，而自由振動指的是運(yùn)動過程中不受外力作用，這種運(yùn)動通常是由某些因素，如沖擊激勵，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)在初始時(shí)刻即已偏離平衡位置，而后遵循基本的動力學(xué)方程發(fā)生運(yùn)動。

自由振動響應(yīng)通常是一條隨時(shí)間逐步衰減的曲線，對應(yīng)的是OptiStruct中的瞬態(tài)響應(yīng)分析類型，包括直接法瞬態(tài)分析DTRAN、模態(tài)法瞬態(tài)分析MTRAN。

4.1.1 無阻尼系統(tǒng)

彈簧振子模型是一個(gè)典型的無阻尼單自由度振動系統(tǒng)，如圖4-1所示，質(zhì)量為m，彈簧剛度為k，無阻尼作用。質(zhì)量塊m在平衡位置附近發(fā)生微小偏移u（t）時(shí)，運(yùn)動方程為

當(dāng)自由振動不受外激勵作用時(shí)，f（t）=0，此時(shí)方程的解為

式中，u₀與為系統(tǒng)初始時(shí)刻的位移和速度；，稱為系統(tǒng)的固有 （圓）頻率或自然頻率，下標(biāo)n表示“nature”，單位為rad/s；振動位移u（t）為兩個(gè)右端項(xiàng)的線性組合，分別為初始速度引起的自由響應(yīng)項(xiàng)和初始位移u₀引起的自由響應(yīng)項(xiàng)u₀cos（ω_nt）。

無阻尼自由振動如圖4-2所示，它是一條無衰減的往復(fù)運(yùn)動曲線，最顯著的特征是振動的頻率ω_n不隨時(shí)間發(fā)生變化，是系統(tǒng)的固有特性，取決于結(jié)構(gòu)的剛度k和質(zhì)量m。單自由度系統(tǒng)的固有頻率只有一個(gè)ω_n，而多自由度振動系統(tǒng)的固有頻率則為{ω₁,ω₂,ω₃,…}，有若干個(gè)與自由度數(shù)相等的固有頻率。

4.1.2 有阻尼系統(tǒng)

實(shí)際結(jié)構(gòu)的自由振動都是衰減的，這種衰減源于各種能量耗散，如材料彈性形變的耗散、接觸面的摩擦、流體介質(zhì)的阻力等。在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中，將導(dǎo)致能量損耗的因素統(tǒng)稱為阻尼。

阻尼的表現(xiàn)形式非常復(fù)雜，在結(jié)構(gòu)動力學(xué)計(jì)算中需要將其進(jìn)行簡化，其中一種簡化的表達(dá)形式為黏性阻尼。黏性阻尼假定能量耗散由結(jié)構(gòu)內(nèi)部的“阻尼力”引起，阻尼力僅與結(jié)構(gòu)振動速度成比例，且方向相反，即f（t）=-cu（t），c為黏性阻尼系數(shù)。這樣，有阻尼單自由度振動系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

對應(yīng)解的形式為

式中，系數(shù)C₁、C₂由初始條件u₀與決定；，稱為振動系統(tǒng)的 （黏性）阻尼比。

阻尼比是結(jié)構(gòu)振動的關(guān)鍵因素，不同的阻尼比ζ數(shù)值對應(yīng)不同的位移解曲線形式。一般區(qū)分為圖4-3所示的幾類。

1）欠阻尼，0<ζ<1。此時(shí)位移表達(dá)式為或，是隨時(shí)間逐步衰減的振動形式。

2）臨界阻尼，ζ=1。此時(shí)位移表達(dá)式為，為非振動的衰減曲線。

3）過阻尼，ζ>1。此時(shí)結(jié)構(gòu)運(yùn)動也為非振動的衰減曲線。

4）負(fù)阻尼，ζ<0。此時(shí)結(jié)構(gòu)振動的幅值隨時(shí)間逐步放大，稱為振動“發(fā)散”。

工程應(yīng)用中的絕大多數(shù)結(jié)構(gòu)振動為欠阻尼形式，且ζ?1。阻尼比ξ越高，則振動衰減越快。當(dāng)ζ≥1時(shí)，響應(yīng)為非振動形式，運(yùn)動在達(dá)到某一峰值后呈指數(shù)形式衰減。負(fù)阻尼ζ<0只在一些特定的應(yīng)用中出現(xiàn)，例如： 轉(zhuǎn)子動力學(xué)或剎車嘯叫等問題中，結(jié)構(gòu)的某些固有頻率可能對應(yīng)負(fù)阻尼，它是外界能量輸入振動結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)。

在OptiStruct動力學(xué)分析中，支持多種形式的阻尼設(shè)置，包括黏性阻尼單元，整體結(jié)構(gòu)阻尼PARAM,G，單元結(jié)構(gòu)阻尼GE，SDAMPING阻尼，瑞利阻尼PARAM,ALPHA1及PARAM, ALPHA2等。有限元中的阻尼是人為給定的，是實(shí)際結(jié)構(gòu)能量耗散的近似描述，一般需要根據(jù)試驗(yàn)進(jìn)行標(biāo)定。