第二節 時域離散系統

數學上可將一個離散系統描述為一種運算符T[·]，輸入信號用x（n）表示，輸出信號用y（n）表示，它們之間的關系可描述為

時域離散系統可劃分為線性系統和非線性系統，這里主要研究線性系統以及線性系統中的非時變系統，即線性非時變系統。這類系統便于分析、研究和實現。

一、線性系統

若某個系統的輸入信號和輸出信號分別用x₁（n）和y₁（n）來表示，它們之間的關系描述成y₁（n）=T[x₁（n）]。同理，該系統的輸入信號為x₂（n）時，輸出信號可表示成y₂（n）=T[x₂（n）]，輸入信號為ax₁（n）+bx₂（n）時，輸出信號可表示成y（n）=T[ax₁（n）+bx₂（n）]。當y（n）與y₁（n）及y₂（n）滿足等式y（n）=ay₁（n）+by₂（n）時，該系統稱為線性系統。

例2-2 判斷下列系統是否為線性系統：

（1）y（n）=T[x（n）]=2x（n）+3

（2）y（n）=T[x（n）]=x²（n）

（3）y（n）=x（n+1）+x（1-n）

解：（1）y₁（n）=T[x₁（n）]=2x₁（n）+3，y₂（n）=T[x₂（n）]=2x₂（n）+3，而

y（n）=T[a x₁（n）+b x₂（n）]=2[a x₁（n）+b x₂（n）]+3≠a y₁（n）+b y₂（n）

因此，該系統為非線性系統。

（2）y₁（n）=T[x₁（n）]=（n），y₂（n）=T[x₂（n）]=（n），而

y（n）=T[a x₁（n）+b x₂（n）]=[a x₁（n）+b x₂（n）]²≠a y₁（n）+b y₂（n）

因此，該系統為非線性系統。

（3）y₁（n）=T[x₁（n）]=x₁（n+1）+x₁（1-n），y₂（n）=T[x₂（n）]=x₂（n+1）+x₂（1-n），而y（n）=T[a x₁（n）+b x₂（n）]=ax₁（n+1）+ax₁（1-n）+bx₂（n+1）+bx₂（1-n）=a y₁（n）+by₂（n）

因此，該系統為線性系統。

二、非時變系統

當輸入信號為x（n）時，輸出信號用y（n）表示。如果輸入為x（n-n₀），輸出為y（n-n₀），即y（n-n₀）=T[x（n-n₀）]，這時，稱該系統為非時變系統（或稱時不變系統）。

例2-3 判斷下列系統是否為時不變系統：

（1）y（n）=x（n+1）-x（1-n）

（2）y（n）=nx（n）

（3）y（n）=x（n）+x（n-1）

解：（1）T[x（n-n₀）]=x（n+1-n₀）-x（1-n-n₀），而

y（n-n₀）=x（n-n₀+1）-x（1-（n-n₀））=x（n+1-n₀）-x（1-n+n₀）≠T[x（n-n₀）]

因此，該系統不是非時變系統。

（2）T[x（n-n₀）]=nx（n-n₀），而

y（n-n₀）=（n-n₀）x（n-n₀）≠T[x（n-n₀）]

因此，該系統不是非時變系統。

（3）T[x（n-n₀）]=x（n-n₀）+x（n-1-n₀），而

y（n-n₀）=x（n-n₀）+x（n-1-n₀）=T[x（n-n₀）]

因此，該系統是非時變系統。

三、線性時不變系統對任意輸入的響應——線性卷積

任何一個序列都可以用單位取樣序列δ（n）的移位加權和表示，即δ（n-k）。如果將x（n）作為一個線性時不變系統的輸入，那么輸出y（n）為

式中，h（n）為單位取樣序列δ（n）通過線性時不變系統產生的響應，稱為單位沖激響應；*表示線性卷積。

由以上推導可知，任何一個時域離散信號通過一個線性時不變系統，其輸出等于該信號與系統的單位沖激響應的線性卷積。下面舉例說明卷積的求法。

例2-4 求下面三種情況下的卷積：

（1）x（n）={1，2，3，1|n=0，1，2，3}，h（n）={1，2，1，-1|n=0，1，2，3}

（2）x（n）={1，1，1，1|n=0，1，2，3}，h（n）=aⁿu（n）

（3）x（n）=aⁿu（n），h（n）=bⁿu（n）

解：（1）方法一：做圖

由卷積公式（2-13）可繪出圖2-13。首先，將h（m）反轉得到h（-m），然后將h（-m）移位，每移動一個單位，x（m）和h（-m）位置對應的值相乘，所得乘積全部相加，即為卷積的一個數值。h（-m）移動的范圍取決于它與x（-m）是否有位置相對應的樣本點。

方法二：做表2-1。

將卷積計算的每一步做圖用表格的形式表示出來。例如：在表2-1中，h（1-m）表示h（-m）向右平移一個單位，將h（1-m）和x（m）位置對應的數值分別相乘，所得的乘積有2個2，相加得4，即為卷積在n=1時的數值，表示成y（1）=4。

方法三：借助數學中的乘法運算

x（n）和h（n）位置變量的范圍可表示為0≤n₁≤3和0≤n₂≤3。因此，y（n）位置變量的范圍為0≤n=n₁+n₂≤6。y（n）可表示為y（n）={1，4，8，8，3，-2，-1|n=0，1，2，3，4，5，6}。

方法四：借助δ（n）的移位加權和

x（n）=δ（n）+2δ（n-1）+3δ（n-2）+δ（n-3），h（n）=δ（n）+2δ（n-1）+δ（n-2）-δ（n-3），則y（n）=x（n）*h（n）=δ（n）+4δ（n-1）+8δ（n-2）+8δ（n-3）+3δ（n-4）-2δ（n-5）-δ（n-6）

這里運用了卷積性質：任何一個序列與δ（n）的卷積等于它本身，即x（n）=x（n）*δ（n）。

（2）方法一：借助δ（n）的移位加權和

x（n）=δ（n）+δ（n-1）+δ（n-2）+δ（n-3），則

y（n）=x（n）*h（n）=aⁿu（n）+a^n-1u（n-1）+a^n-2u（n-2）+a^n-3u（n-3）

=a⁰δ（n）+a¹δ（n-1）+a²δ（n-2）+aⁿu（n-3）+a⁰δ（n-1）+a¹δ（n-2）+a^n-1u（n-3）+a⁰δ（n-2）+a^n-2u（n-3）+a^n-3u（n-3）

=δ（n）+（1+a）δ（n-1）+（1+a+a²）δ（n-2）+（aⁿ+a^n-1+a^n-2+a^n-3）u（n-3）

方法二：解析法

由

故根據n的取值來確定m的范圍：

當n＜0時，m無取值范圍，y（n）=0；

當0≤n＜3時，0≤m≤n，；

當n≥3時，0≤m≤3，=aⁿ+a^n-1+a^n-2+a^n-3。

綜上所述：

或者可表示為

y（n）=δ（n）+（1+a）δ（n-1）+（1+a+a²）δ（n-2）+（aⁿ+a^n-1+a^n-2+a^n-3）u（n-3）

（3）由于x（n）和h（n）均為無限長序列，用做圖和做表等方法都無法完整準確地將兩個序列表達出來，這里只能用解析法求解它們的線性卷積。

其中，m≥0，n-m≥0，所以有

當n＜0時，y（n）=0；

當n≥0時，。

綜上所述

以下源碼表示用MATLAB信號處理工具箱提供的conv函數計算兩個序列的線性卷積：

腳本中，x（n）和h（n）的位置都是從n=0開始。如果x（n）和h（n）的起點是任意位置，即{x（n）|n_xb≤n≤n_xe}和{h（n）|n_hb≤n≤n_he}，y（n）的起點和終點分別為n_yb=n_xb+n_hb和n_ye=n_xe+n_he。這時，不能直接用conv函數，可用下面的conv_m函數完成任意位置序列的線性卷積。conv_m函數參考代碼如下：

例2-5 計算x（n）={1，2，3，4|n=-1，0，1，2}和h（n）={1，2，3，4|n=-2，-1，0，1}的線性卷積。

解：在MATLAB命令窗口調用conv_m函數：

在求線性卷積的過程中，經常會用到一些性質，包括交換律、結合律、分配律和延時特性，現歸納如下，供讀者參考：

交換律：x（n）*h（n）=h（n）*x（n）

分配律和結合律：x（n）*（h₁（n）+h₂（n））=x（n）*h₁（n）+x（n）*h₂（n）

延時特性：x（n-n₁）*h（n-n₂）=x（n）*h（n-n₁-n₂）=x（n-n₁-n₂）*h（n）

當單位取樣序列δ（n）與其他序列線性卷積時，容易證明得到下面兩個有用的公式：

x（n）=x（n）*δ（n），x（n-n₀）=x（n）*δ（n-n₀）。

四、因果系統

如果系統n時刻的輸出只與n時刻及以前的輸入有關，而與n時刻之后的輸入無關，這樣的系統稱為因果系統。在線性時不變系統中，當n＜0時，單位脈沖響應h（n）=0，該系統是因果系統。同樣，當一個序列在n＜0時，它的數值均為0，則該序列稱為因果序列。

例2-6 判斷下列系統是否為因果系統：

（1）h（n）=aⁿu（n）

（2）y（n）=x（n+1）-x（n）

解：（1）根據h（n）=0，n＜0來判斷其因果性。因為h（n）=aⁿu（n）=0，n＜0，系統是因果系統。

（2）根據定義，y（n）不僅與n時刻的輸入x（n）有關，還與n+1時刻的x（n+1）有關，因此系統是非因果系統。

五、穩定系統

當且僅當每一個有界輸入序列都產生一個有界輸出序列時，系統是穩定的。在線性系統中，單位沖激響應滿足如下條件時，該系統為穩定系統：

例2-7 判斷下列系統是否為穩定系統：

（1）h（n）=aⁿu（n）

（2）

解：（1）

當|a|＜1時，，系統穩定；

當|a|≥1時，系統不穩定。

（2）

由（1）可知，當|a|＜1且|b|＞1時，系統穩定。