第三節(jié) 線性常系數(shù)差分方程

本章第二節(jié)介紹了一個(gè)信號(hào)通過(guò)一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)，產(chǎn)生的輸出可用輸入信號(hào)與系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的線性卷積來(lái)表示。本節(jié)將介紹輸入信號(hào)與輸出信號(hào)之間關(guān)系的另一種表示方法——線性常系數(shù)差分方程。

一、線性常系數(shù)差分方程及其穩(wěn)定性

假設(shè)一個(gè)遞推系統(tǒng)的輸入——輸出方程為

其中，a為常數(shù)，初始條件y（-1）非0，現(xiàn)求解n≥0時(shí)，y（n）的值。推導(dǎo)如下：

式（2-15）給出的系統(tǒng)輸出包括兩部分：第一項(xiàng)稱(chēng)為零輸入響應(yīng)，即對(duì)所有的n，輸入信號(hào)均為0時(shí)的輸出；第二項(xiàng)稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng)，即當(dāng)y（-1）=0時(shí)的輸出，或者解釋為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)的輸出。

由上述可歸納線性常系數(shù)差分方程的一般形式為

或

式中，N為差分方程的階數(shù)或系統(tǒng)的階數(shù)。

本章第二節(jié)介紹了因果穩(wěn)定系統(tǒng)，由此，讀者不難聯(lián)想線性常系數(shù)差分方程是否因果穩(wěn)定。根據(jù)因果系統(tǒng)的定義，很容易證明式（2-16）或式（2-17）的系統(tǒng)是因果的。穩(wěn)定性必須由輸入信號(hào)的有界性和初始值的有界性決定，例如判斷式（2-15）所描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性如下：

如果n有限，|y（-1）|和M_x有限，則系統(tǒng)有界。但是，當(dāng)n→∞時(shí)，只有|a|＜1且|y（-1）|和M_x有限時(shí)，系統(tǒng)才有界。由此可見(jiàn)，線性常系數(shù)差分方程是否穩(wěn)定需細(xì)心觀察推導(dǎo)才能確定。

二、線性常系數(shù)差分方程的求解

線性常系數(shù)差分方程的求解方法可歸納為下面三種：

（1）經(jīng)典解法。這類(lèi)方法類(lèi)似模擬系統(tǒng)中求微分方程的解法，過(guò)程較復(fù)雜，這里不作介紹。

（2）遞推法。此方法簡(jiǎn)單，適用于計(jì)算機(jī)求解，在前面的例子中已有介紹。

（3）變換域法。將時(shí)域轉(zhuǎn)換到z域中求解，方法簡(jiǎn)單易行，第五章將詳細(xì)說(shuō)明。

本節(jié)重點(diǎn)討論MATLAB求解差分方程的方法：

（1）h=impz（b，a，n），impz函數(shù)可計(jì)算出系統(tǒng)在位置變量n處的單位脈沖響應(yīng)h（n）。其中，b=[b₀，b₁，…，b_M]表示差分方程式（2-17）中x（n）的系數(shù)向量，a=[a₀，a₁，…，a_N]表示y（n）的系數(shù)向量。

（2）y=filter（b，a，x），filter函數(shù)可用來(lái)計(jì)算系統(tǒng)在輸入信號(hào)為x時(shí)的輸出信號(hào)y。向量b和a的含義與（1）相同。下面舉例說(shuō)明以上兩個(gè)函數(shù)的用法。

例2-8 已知差分方程y（n）-y（n-1）+0.9y（n-2）=x（n）。

（1）計(jì)算并畫(huà)出n=-10，-9，…，90時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h（n）。

（2）計(jì)算并畫(huà)出n=-10，-9，…，90時(shí)的單位階躍響應(yīng)s（n）。

（3）由（1）中的h（n）確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：（1）MATLAB腳本如下：

（2）使用stepseq函數(shù)，見(jiàn)本章第一節(jié)的內(nèi)容。MATLAB腳本如下：

（3）根據(jù)穩(wěn)定性的定義，當(dāng)所有n處的h（n）都小于∞時(shí)，該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。但當(dāng)n能取到∞時(shí)，無(wú)法計(jì)算出所有的h（n），也就無(wú)法確定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。換一種思路，通過(guò)觀察單位脈沖響應(yīng)h（n）的圖形，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n＞90以后，h（n）逐漸趨于零，說(shuō)明隨著n值的增大，h（n）趨于穩(wěn)定。也可以利用MATLAB軟件編程計(jì)算：

上述求和結(jié)果即為∑h（n），說(shuō)明系統(tǒng)是穩(wěn)定的。（1）、（2）源碼生成的圖形如圖2-14所示。