第一節 時域離散信號

信號是一個值會隨時間和空間變化的物理量。如果信號的值隨連續的時間而變化，則稱為連續時間信號或者模擬信號，用x_a（t）表示，變量t代表時間，一般以秒（s）計。日常生活中連續信號的例子有溫度、壓力、水位、化學濃度、電壓與電流、位置、速度、加速度、力與扭矩等。如果信號僅在離散時間點上取值有效，這樣的信號被稱為時域離散信號，也稱離散時間信號，用x（n）表示，其中變量n是整數值并在時間上代表一些離散時刻。因此，x（n）是一個數值的序列

此處向上的箭頭↑指出n=0時的樣本。

在MATLAB中可用行向量來表示一個有限長序列。其樣本的位置信息可用另一個行向量表示。例如，序列x（n）={x（n）}={-1，2，-2，1↑，2，4，3，5}在MATLAB中表示為

產生離散時間信號的常用方法是對模擬信號進行采樣。例如x_a=sin（t）表示一個正弦信號，它也是一個連續時間信號。如果對這個信號每隔T時間間隔取一個樣點，可表示成

x（n）=x_a（t）|_t=nT=sin（nT）={0，0.1987，0.3894，0.5646，0.7174，0.8415，…}（T=0.2s）

如果x（n）的幅度取值用有限精度的數來表述，則這種幅度有限精度量化取值的序列稱為數字信號。例如將x_a（nT）|_T=0.2的值用四位二進制數表示，便得到相應的數字信號，即

x（n）=x_a（nT）|_T=0.2={0.0000，0.0100，0.0110，0.0111，0.1000，…}

當一個系統或算法的輸入是一個數字信號x（n），它的輸出是另一個數字信號y（n）時，它被稱為數字信號處理器。數字信號處理技術有著廣泛的應用，并且在現代社會中起到了越來越重要的作用。

本章首先介紹數字信號和數字系統的表征和分類，然后闡述一個連續時間信號如何產生一個等效的離散時間信號，這個過程定義為采樣。與采樣處理密切相關的問題是：滿足什么條件的采樣樣本x（n）才能包含恢復重建信號x_a（t）所需的全部信息？這個問題讀者可通過閱讀下文得到答案。

一、基本序列

（一）單位取樣序列δ（n）

單位取樣序列是最簡單也是使用最多的序列之一，僅在n=0時，其值為1，其他各值均為0。它類似于模擬信號中的單位沖激函數δ（t），不同的是δ（t）在t=0時，取值無窮大。單位取樣序列和單位沖激函數如圖2-1所示。

在MATLAB中，函數zeros（1，N）產生一個N個零的行向量，利用它可以產生一個有限區間上的δ（n）。編寫函數impseq（n0，n1，n2）來實現δ（n-n0），其中n1和n2表示序列δ（n-n0）起點和終點的位置。函數impseq（n0，n1，n2）參考程序如下：

在命令窗口輸入MATLAB腳本：

輸出圖形如圖2-2所示。

（二）單位階躍序列u（n）

單位階躍序列如圖2-3所示。

在MATLAB中，函數ones（1，N）產生一個N個1的行向量，利用它可以實現在一個有限區間上的u（n）。編寫函數stepseq（n0，n1，n2）來實現u（n-n0），其中n1和n2表示序列u（n-n0）起點和終點的位置。函數stepseq（n0，n1，n2）的參考程序如下：

在命令窗口輸入MATLAB腳本

輸出圖形如圖2-4所示。

單位階躍序列與單位取樣序列之間具有下列關系：

式（2-3）的含義如圖2-5所示，式（2-4）表示u（n）可由δ（n）向右移動1位、2位……之和表示。

（三）矩形序列R_N（n）

式中，N為矩形序列的長度。

當N=3時，R_N（n）的波形如圖2-6所示。矩形序列也可用單位取樣序列或單位階躍序列表示。

（四）正弦序列

常見到形如

的正弦序列，其中A，ω₀和φ都是實數，分別為x（n）的振幅、頻率和相位（弧度rad）。可用MATLAB函數cos（　）或sin（　）產生余弦序列或正弦序列。例如，要生成序列x（n）=3sin（0.2πn+π/3）+2cos（0.3πn），0≤n≤10，可在MATLAB軟件的命令窗口輸入腳本

圖2-7表示余弦序列x（n）=1.5cos（ω₀n）在ω₀取不同值時的波形圖。ω₀從0逐漸增大到π的過程中，x（n）的波形振動越來越快，在ω₀=π附近，振動最快；然后ω₀從π增加到2π，波形振動越來越慢，在ω₀=2π處，波形與ω₀=0處一樣。因此，在一個周期[0，2π）內，通常稱ω₀=0附近為低頻，ω₀=π附近為高頻。

（五）指數序列和復指數序列

形如

的序列稱為指數序列。其中，A和a可為實數或復數，若為實數，則為實指數序列。在MAT-LAB中，使用算符“.^”實現一實指數序列。例如，要生成序列x（n）=0.9ⁿ，0≤n≤20，可在MATLAB軟件的命令窗口輸入腳本

繼續輸入腳本

生成的圖形如圖2-8所示。

當a為復數時，可表示成，系數A也可表示成A=|A|e^jφ，則

式中，是復指數序列x（n）的振幅。

其實部和虛部分別為

可用MATLAB函數exp()產生指數序列。例如，要生成序列x（n）=e^（3+j5）n，0≤n≤20，可在MATLAB命令窗口輸入腳本

（六）周期序列

滿足等式x（n）=x（n+N）（N為正整數）的序列稱為周期序列。用這個條件來檢驗離散時間余弦（或正弦）序列的周期性，即Acos（ω₀n+φ）=Acos[ω₀（n+N）+φ]，不難求出ω₀N=2πk，式中k為整數，也可寫成，下面討論N的幾種可能情況：

1）當為整數時，k=1，則即為正弦序列的周期。

2）當為非整數，但它是一個有理數時，設，其中P和Q是互為素數的整數，這時，取k=Q，則N=P為正弦序列的周期。

3）當為無理數時，此正弦序列為非周期序列。

由于復指數序列可表示成余弦（或正弦）序列的形式，因此，其周期性的討論與上述完全相同。下面舉例分析幾個序列的周期性。

例2-1 計算以下序列的周期：

（1）

（2）

（3）

解：（1），該序列為周期序列，且周期為3。

（2）序列的周期為4，序列cos（πn）的周期為2，均為整數，因此該序列一定為周期序列，且兩個周期的最小公倍數4即為該序列的周期。

（3），是無理數，因此，該指數序列是非周期序列。

二、序列的運算

（一）信號相加

兩個信號相加要求長度必須相同。如果兩個序列長度不同或者長度相同，但是樣本位置不同，也不能相加。可將序列增加若干零值延長，使得序列長度相等且樣本位置一致。

例如：有這樣兩個序列x₁（n）={1，2，3，4n=0，1，2，3}和x₂（n）={1，2，3，4|n=-1，0，1，2}，它們長度相等，但是位置不一致（即n的取值不一致）。若要將兩個序列相加，必須對它們進行延長，將兩個序列n的取值范圍都擴展成-1≤n≤3，擴展位置的序列值取零，此時，這兩個序列分別為x₁（n）={0，1，2，3，4|n=-1，0，1，2，3}和x₂（n）={1，2，3，4，0|n=-1，0，1，2，3}，如圖2-9所示。

（二）信號相乘

信號相乘即兩個信號位置相同處的數值相乘，原理與信號相加類似，這里不再舉例說明。

（三）信號移位

序列y（n）與x（n）的關系表示為y（n）=x（n-k），其中k為整數。當k＞0時，表示序列y（n）是將x（n）向右平移k個單位的結果；當k＜0時，表示序列y（n）是將x（n）向左平移k個單位的結果。例如：x（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}，當y（n）=x（n+2）時，y（n）={1，2，3，4|n=-2，-1，0，1}，如圖2-10所示。

（四）信號反轉

序列y（n）與x（n）的關系表示為y（n）=x（-n），稱y（n）是x（n）的信號反轉，即y（n）是將原信號x（n）以y軸為對稱軸鏡像得到的。例如，序列x（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}的反轉，如圖2-11所示。

（五）信號尺度變換

信號y（n）與x（n）的關系用公式y（n）=x（mn）表示，其中m取整數，表示每隔m單位取一個樣本。例如，已知x（n）={1，2，3，4|n=0，1，2，3}，y（n）=x（2n）表示將原序列每隔2個單位取一個點，如圖2-12所示。