4.4　帶通帶阻濾波器

帶通濾波器和帶阻濾波器是兩種密切相關(guān)、互相補(bǔ)充的濾波器。

4.4.1　帶通濾波器

顧名思義，帶通濾波器是允許一定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過(guò)而阻止其他頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過(guò)的濾波器。帶通濾波器可看作低通濾波器或高通濾波器的擴(kuò)展?？紤]一個(gè)低通濾波器，其允許通過(guò)的頻率范圍為[0,D0]，其中D0是截止頻率。如果將上述頻率范圍的下限從0提高到小于D0的D1，則該濾波器成為允許頻率范圍[D1, D0]內(nèi)信號(hào)通過(guò)的帶通濾波器。類(lèi)似地，考慮一個(gè)高通濾波器，其允許通過(guò)的頻率范圍為[D0，∞]，其中D0是截止頻率。如果將上述頻率范圍的上限從∞下降到大于D0的D2，則該濾波器成為允許頻率范圍[D0,D2]內(nèi)信號(hào)通過(guò)的帶通濾波器。

在實(shí)際應(yīng)用中，允許以頻率原點(diǎn)為中心的圓環(huán)帶內(nèi)信號(hào)通過(guò)的帶通濾波器是放射對(duì)稱的。一個(gè)放射對(duì)稱的理想帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

其中，W為圓環(huán)帶的寬度，D0為圓環(huán)帶中心的頻率。

一個(gè)n階放射對(duì)稱的巴特沃斯帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

其中，W和D0同式（4-19）。

4.4.2　帶阻濾波器

顧名思義，帶阻濾波器是阻止一定頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過(guò)而允許其他頻率范圍內(nèi)的信號(hào)通過(guò)的濾波器。帶阻濾波器也可看作低通濾波器或高通濾波器的擴(kuò)展?？紤]一個(gè)低通濾波器，其允許通過(guò)的頻率范圍為[0, D0]，其中D0是截止頻率。如果還允許從D1（大于D0的頻率）到∞的信號(hào)通過(guò)，則該濾波器成為阻止頻率范圍[D0, D1]內(nèi)信號(hào)通過(guò)的帶阻濾波器。類(lèi)似地，考慮一個(gè)高通濾波器，其允許通過(guò)的頻率范圍為[D0, ∞]，其中D0是截止頻率。如果還允許從0到D2（小于D0的頻率）的信號(hào)通過(guò)，則該濾波器成為阻止頻率范圍[D2, D0]內(nèi)信號(hào)通過(guò)的帶阻濾波器。

在實(shí)際應(yīng)用中，阻止以頻率原點(diǎn)為中心的圓環(huán)帶內(nèi)信號(hào)通過(guò)的帶阻濾波器是放射對(duì)稱的。一個(gè)放射對(duì)稱的理想帶阻濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

其中，W為圓環(huán)帶的寬度；D0為圓環(huán)帶中心的頻率。

一個(gè)n階放射對(duì)稱的巴特沃斯帶阻濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

其中，W和D0同式（4-21）。

4.4.3　帶通濾波器和帶阻濾波器的聯(lián)系

帶通濾波器和帶阻濾波器是互補(bǔ)的。如果設(shè)HR(u, v)為帶阻濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)，則對(duì)應(yīng)的帶通濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)HP(u, v)只需將HR(u, v)翻轉(zhuǎn)即可：

進(jìn)一步的分析可以通過(guò)比較式（4-19）、式（4-21）及式（4-20）、式（4-22）來(lái)進(jìn)行。

由式（4-23）可見(jiàn)，如果利用帶通濾波器把某個(gè)帶中頻率分量提取出來(lái)，然后將其從圖像中去除，也可獲得消除或削弱圖像中某個(gè)頻率范圍內(nèi)的分量的效果。

4.4.4　陷波濾波器

陷波濾波器可以阻止或允許以某個(gè)頻率為中心的鄰域里的頻率通過(guò)，所以其在本質(zhì)上仍然是帶阻濾波器或帶通濾波器，并且可分別稱為帶阻陷波濾波器和帶通陷波濾波器。

在2D圖像中，一個(gè)用于消除以(u0, v0)為中心、以D0為半徑的區(qū)域內(nèi)所有頻率的理想帶阻陷波濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

其中，

傅里葉變換有對(duì)稱性，為了消除并不以原點(diǎn)為中心的給定區(qū)域內(nèi)的頻率，帶阻陷波濾波器必須兩兩對(duì)稱地工作，即式（4-24）和式（4-25）需要改成

其中，

類(lèi)似于帶通濾波器和帶阻濾波器的互補(bǔ)關(guān)系，帶通陷波濾波器和帶阻陷波濾波器也是互補(bǔ)的。由理想帶阻陷波濾波器可得到理想帶通陷波濾波器。

一個(gè)n階巴特沃斯帶阻陷波濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

一個(gè)高斯帶阻陷波濾波器的轉(zhuǎn)移函數(shù)為

巴特沃斯帶阻陷波濾波器和高斯帶阻陷波濾波器在u0=v0=0時(shí)都成為高通濾波器?？紤]到帶通濾波器和帶阻濾波器的互補(bǔ)關(guān)系，當(dāng)u0=v0=0時(shí)，各種帶通陷波濾波器都會(huì)成為低通濾波器。

4.4.5　交互消除周期噪聲

借助陷波濾波器，可以消除周期噪聲，但這需要噪聲頻率的先驗(yàn)知識(shí)。如果事先知道周期噪聲的頻率，可以設(shè)計(jì)相應(yīng)的濾波器自動(dòng)進(jìn)行噪聲消除。如果事先不知道周期噪聲的頻率，可以將退化圖像的頻譜幅度圖G(u, v)顯示出來(lái)。由于單頻率的噪聲會(huì)在頻譜幅度圖上產(chǎn)生兩個(gè)離坐標(biāo)原點(diǎn)較遠(yuǎn)的亮點(diǎn)，這樣很容易依靠視覺(jué)觀察在頻域中交互地確定出脈沖分量的位置并在該位置利用帶阻濾波器消除它們。這種人機(jī)交互能提高圖像恢復(fù)的靈活性和效率。

在實(shí)際應(yīng)用中，周期噪聲常有多個(gè)頻率分量，為此需要提取其中的主要頻率。這需要在頻域里在對(duì)應(yīng)每個(gè)亮點(diǎn)的位置上放一個(gè)帶通濾波器H(u, v)。如果構(gòu)造的H(u, v)僅允許通過(guò)與干擾模式相關(guān)的分量，那么這種結(jié)構(gòu)模式的傅里葉變換為

為構(gòu)造這樣一個(gè)H(u, v)，需要進(jìn)行許多判斷以確定每個(gè)亮點(diǎn)是否是干擾亮點(diǎn)。所以這項(xiàng)工作常需要通過(guò)觀察G(u, v)的頻譜顯示來(lái)交互地完成。在一個(gè)濾波器確定后，周期噪聲可由式（4-32）得到：

如果能完全確定p(x, y)，那么從g(x, y)中減去p(x, y)就可得到f(x, y)。在實(shí)際應(yīng)用中，只能得到這個(gè)模式的某種近似。為減少在對(duì)p(x, y)的估計(jì)中未顧及的分量的影響，可從g(x, y)中減去加權(quán)的p(x, y)以得到f(x, y)的近似fe(x, y)。即

其中，w(x, y)為權(quán)函數(shù)，通過(guò)改變它可以獲得在某種意義下最優(yōu)的結(jié)果。