4.5　同態濾波器

同態濾波是一種在頻域中同時壓縮圖像亮度范圍、增強圖像對比度的方法。同態濾波也可用于消除圖像中的乘性噪聲。

4.5.1　同態濾波流程

同態濾波基于2.2節介紹的亮度成像模型。在2.2節中提到，可以將一幅圖像f(x, y)表示成它的照度分量i(x, y)與反射分量r(x, y)的乘積。根據該模型，可用下列方法把這兩個分量分離開來并分別進行濾波，整個流程如圖4-17所示。

（1）先對式（2-3）的兩邊同時取對數，即

（2）對式（4-35）兩邊進行傅里葉變換，得

（3）用函數H(u, v)處理F(u, v)，得

（4）將處理結果反變換到空域中，得

可見增強后的圖像是由分別對應照度分量與反射分量的兩個部分疊加而成的。

（5）再將式（4-38）的兩邊取指數，得

這里，H(u, v)稱為同態濾波函數，它可以分別作用于照度分量和反射分量。因為一般來說照度分量在空間變化比較緩慢，而反射分量（由物體表面性質決定）在不同物體的交界處會急劇變化，所以圖像對數的傅里葉變換結果中的低頻部分主要對應照度分量，而高頻部分主要對應反射分量。以上特性表明，可以設計一個對傅里葉變換結果中高頻分量和低頻分量影響不同的H(u, v)。

同態濾波函數剖面圖如圖4-18所示，將它繞縱軸轉360°就得到完整的2D的H(u, v)。如果選擇HL<1，HH>1，那么H(u, v)就會在削弱圖像中的低頻分量的同時加強圖像中的高頻分量，最終結果是壓縮了圖像整體的動態范圍（低頻分量減少了）并增加了圖像相鄰各部分之間的對比度（高頻分量增加了）。

通過觀察圖4-18可以發現，同態濾波函數與4.3節的高通濾波器的轉移函數有類似的形狀。事實上，可以用高通濾波器的轉移函數來逼近同態濾波函數，只要將原來在[0, 1]中定義的高通濾波器轉移函數映射到[HL, HH]中，然后再加上HL就可以了。如果高通濾波器的轉移函數用Hhigh(u, v)表示，同態濾波函數用Hhomo(u, v)表示，則由Hhigh(u, v)到Hhomo(u, v)的映射為

4.5.2　同態濾波消噪

4.2～4.4節介紹的低通、高通、帶通和帶阻等線性濾波器可以較好地消除線性疊加在圖像上的加性噪聲，但實際應用中的噪聲和圖像也常以非線性的方式結合。一個典型的例子就是光源照明成像，其中光的入射和物體的反射以相乘的形式對成像做出貢獻，這樣一來成像中的噪聲與物體也是相乘的關系，這也正是本節介紹的同態濾波使用的亮度成像模式。在同態濾波消噪中，先利用非線性的對數變換將乘性噪聲轉化為加性噪聲，然后就可用線性濾波器來進行消除，最后可進行非線性的指數反變換以獲得原始的“無噪聲”圖像。

關于同態濾波消噪，可做如下分析。

考慮獲得的帶有噪聲的圖像為

其中，f(x, y)是無噪聲圖像；n(x, y)是噪聲且滿足|n(x, y)|<<1。對兩邊同取對數得到

如果能將n(x, y)完全從ln[g(x, y)]中消除，那么就可獲得對f(x, y)的比較準確的逼近。

同態濾波原理可在任何噪聲模型能化為式（4-43）的情況下工作：

其中，g(x, y)是采集到的圖像；H代表非線性可逆變換；N(u, v)是對應的噪聲頻譜。