2.4 數(shù)據(jù)的離中趨勢

對一組數(shù)據(jù)特征的概括包括兩個方面，一方面是數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，另一方面是表明該數(shù)據(jù)組的分布偏離中心值的程度，說明集中趨勢測度值對所概括的數(shù)據(jù)的代表性大小。因此，在運用集中趨勢測度值反映數(shù)據(jù)集中趨勢的同時，還要觀察數(shù)據(jù)的離中程度，即離中趨勢。

離中趨勢在統(tǒng)計學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)在某一中心值分散的程度，它反映了各個數(shù)據(jù)遠離其中心點的程度，并且從另一個方面說明了集中趨勢測度值的代表程度。描述數(shù)據(jù)離散程度采用的測度值，根據(jù)所依據(jù)數(shù)據(jù)類型的不同主要有極差、分位距、平均差、方差、標準差和離散系數(shù)。

2.4.1 極差

極差（也叫全距）是一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差距。用公式表示為：

根據(jù)所掌握的資料不同，極差有兩種計算方法。

如果由未分組或單項分組資料計算極差，則只要用其中的最大值減去最小值即可求得。

如果統(tǒng)計數(shù)據(jù)已經(jīng)整理過，并形成組距數(shù)列，則極差的近似值為：

極差是測定離中趨勢的一種簡便方法，它能說明數(shù)據(jù)組中各數(shù)據(jù)值的最大變動范圍，但由于它是根據(jù)數(shù)據(jù)組的兩個極端值進行計算的，沒有考慮到中間變量值的變動情況，所以不能充分反映數(shù)據(jù)組所有各項數(shù)據(jù)的離中趨勢，只是一個比較粗糙的測定數(shù)據(jù)離中趨勢的指標。

在實際的應(yīng)用中，極差可用于粗略檢查產(chǎn)品質(zhì)量的穩(wěn)定性和進行質(zhì)量控制。因為在正常生產(chǎn)的條件下，產(chǎn)品質(zhì)量比較穩(wěn)定，誤差總是在一定范圍內(nèi)波動。如果有不正常情況，則誤差將會超出一定范圍。這樣，利用極差有助于及時發(fā)現(xiàn)問題，以便采取措施，保證產(chǎn)品質(zhì)量。

2.4.2 分位距

分位距是對全距的一種改進，它是從一組數(shù)據(jù)中剔除了一部分極端值之后重新計算的類似于全距的指標。常用的分位距有四分位距、八分位距和十分位距等，本書只介紹四分位距。四分位距是第三個四分位數(shù)減去第一個四分位數(shù)的差，即：

四分位距排除了數(shù)列兩端各25%單位標志值的影響，反映了數(shù)列中間部分各變量值的最大值與最小值的差距。

例2.3 已知有八個數(shù)字7，6，8，9，8，4，8，6，求這組數(shù)的四分位距。

首先，將其按從小到大的順序排列，即4，6，6，7，8，8，8，9，然后分成四等份，第一個四分位數(shù)位于第二、三個數(shù)字之間，取其平均數(shù)為（6+6）÷2=6，第二個四分位數(shù)為（7+8）÷2=7.5，第三個四分位數(shù)為（8+8）÷2=8，則這組數(shù)據(jù)的四分位距為8-6=2。

2.4.3 平均差

平均差是數(shù)據(jù)組中各數(shù)據(jù)值與其算術(shù)平均數(shù)離差絕對值的算術(shù)平均數(shù)，常用符號“M.D”表示：

當變量數(shù)列是由沒有分組的數(shù)據(jù)組成或分組后每組的次數(shù)相等的數(shù)據(jù)組成時采用。

例2.4 設(shè)某車間有兩個班組，各有10名工人，其日產(chǎn)量如表2-3所示。

甲組的平均值為：

乙組的平均值為：

則兩組工人日產(chǎn)量的平均差計算過程如表2-4所示。

兩組工人日產(chǎn)量的平均差為：

也就是說，在甲、乙兩組工人平均日產(chǎn)量相等（都是16件）的情況下，甲組的平均差（6件）大于乙組的平均差（3.6件），因而其變量值的離散程度比乙組大。

由于平均差是根據(jù)數(shù)列中所有數(shù)值計算出來的，受極端值影響較小，所以對整個統(tǒng)計數(shù)列的離中趨勢有較充分的代表性。

2.4.4 方差與標準差

方差是數(shù)據(jù)組中各數(shù)據(jù)值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用符號s²表示。方差的平方根就是標準差，用符號“s”表示。設(shè)有x_i，x₂，…，x_n共n個數(shù)組成一個數(shù)列，為數(shù)列的平均值，則該組數(shù)據(jù)的標準差公式為：

例2.5 繼續(xù)以例2.4的數(shù)據(jù)為例，則兩組工人日產(chǎn)量標準差計算如下（計算過程見表2-5）。

兩組工人日產(chǎn)量的標準差為：

也就是說，在甲、乙兩組工人平均日產(chǎn)量相等（都是16件）的情況下，甲組的標準差（7.40件）大于乙組（4.63件），因而其平均數(shù)的代表性比乙組小。

標準差的本質(zhì)與平均差基本相同，只是在數(shù)學(xué)處理方法上與平均差不同，平均差是用取絕對值的方法消除離差的正負號然后用算術(shù)平均的方法求出平均離差；而標準差是用平方的方法消除離差的正負號，然后對離差的平方計算算術(shù)平均數(shù)，并開方求出標準差，這既克服了平均差計算中用絕對值取消離差正負號帶來的弊病，又增加了指標本身的“靈敏度”，這些優(yōu)點使它成為各種離中趨勢指標中最重要的一種。

標準差的性質(zhì)：

（1）標準差度量了偏離平均數(shù)的大小。

（2）標準差是一類平均偏差。

（3）標準差指出了數(shù)列中的數(shù)離它們的平均數(shù)有多遠。數(shù)列大多數(shù)項離開平均數(shù)少于1個σ（標準差）范圍內(nèi)，極少數(shù)項將離開2個或3個σ以上。一般來講，一個數(shù)列中約68%（）的項在離平均數(shù)的1個σ范圍內(nèi)，其余的32%離得較遠。約95%（）的數(shù)據(jù)在距平均數(shù)的2個σ范圍內(nèi)，其余的5%則遠離之，如圖2.14所示。

2.4.5 離散系數(shù)

極差、平均差、標準差都是對數(shù)據(jù)的離中趨勢進行絕對或平均差異的測定。在通常情況下，它們都帶有計量單位，而且其離中趨勢大小與變量平均水平的高低有關(guān)。因此，要比較數(shù)據(jù)平均水平不同的兩組數(shù)據(jù)的離中程度的大小，就有必要計算它們的相對離中程度指標，即離散系數(shù)。常用的離散系數(shù)指標是標準差系數(shù)。

標準差系數(shù)是將一組數(shù)據(jù)的標準差與其算術(shù)平均數(shù)對比的結(jié)果，以測定其相對離中程度，常用符號“V_s”表示，其公式為：

例2.6 有甲、乙兩班同時參加統(tǒng)計學(xué)原理課程的測試，甲班的平均成績?yōu)?0分，標準差為9.0分，乙班的成績分組資料如下。

比較甲、乙兩班哪個班的平均成績更有代表性？

解：計算如下所示。

由于甲、乙兩班成績的平均值和標準差都不一樣，無法使用標準差來比較哪個班的成績波動大，因此必須使用離散系數(shù)來判斷。從計算中可以看出：V_乙＜V_甲，所以乙班的成績波動小一些，則其班級的平均成績更有代表性。