2.3 數(shù)據(jù)的集中趨勢

集中趨勢在統(tǒng)計(jì)學(xué)中是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的程度，它反映了一組數(shù)據(jù)中心點(diǎn)所在的位置。集中趨勢測度就是尋找數(shù)據(jù)水平的代表值或中心值。在數(shù)據(jù)量大的情況下，就需要有一些確切的指標(biāo)來表明其整體狀態(tài)。這些指標(biāo)最常見的就是平均數(shù)、分位數(shù)和眾數(shù)。本節(jié)從各種指標(biāo)適用的數(shù)據(jù)類型角度，介紹幾種常用的數(shù)據(jù)集中趨勢的度量指標(biāo)。

2.3.1 平均數(shù)

平均數(shù)是描述定量數(shù)據(jù)的集中趨勢，是最常用的一種測度值。它主要適用于定量數(shù)據(jù)，而不適用于定性數(shù)據(jù)。根據(jù)所掌握數(shù)據(jù)的不同，平均數(shù)有不同的計(jì)算形式和計(jì)算公式，主要包括簡單算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)算法平均數(shù)和幾何算法平均數(shù)等。在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，簡單算術(shù)平均數(shù)使用較為廣泛，本書著重介紹簡單算術(shù)平均數(shù)，以下簡稱平均數(shù)。

一個(gè)數(shù)列的平均數(shù)等于它們的和除以它們所含個(gè)數(shù)，記為。公式如下：

例如，數(shù)據(jù)9，1，2，2，0共有5項(xiàng)，首項(xiàng)為9，其平均數(shù)是。

平均數(shù)是概括數(shù)據(jù)的一個(gè)強(qiáng)有力的指標(biāo)，它通過消除極端數(shù)據(jù)的差異將大量的數(shù)據(jù)濃縮成一個(gè)數(shù)來概括，可以較好地實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)集中趨勢的度量，但這種過度的濃縮使其存在容易受極端值影響的缺點(diǎn)。

下面我們通過一個(gè)例子來進(jìn)一步深入了解平均數(shù)。設(shè)有一個(gè)數(shù)列：1，2，2，3，這個(gè)數(shù)列的直方圖（見圖2.10）關(guān)于平均數(shù)2對(duì)稱，直方圖面積的50%在平均數(shù)2的左邊，50%在平均數(shù)2的右邊。

改變數(shù)列中最后一個(gè)數(shù)的值，假設(shè)由3變?yōu)?或7，下面觀察平均數(shù)的變化情況，如圖2.11所示。

由于每個(gè)數(shù)的頻率為0.25，因此最后一個(gè)數(shù)的改變，不會(huì)改變?cè)摂?shù)的頻率，但由于數(shù)據(jù)的取值變化了，使得平均數(shù)也發(fā)生了變化。從圖2.11中可以看出，平均數(shù)隨著極端值的變化而變化，而且有向極端值靠近的趨勢，因此平均數(shù)容易受極端值影響。為了消除極端值對(duì)平均數(shù)的影響也可根據(jù)實(shí)際情況去掉極端值，例如在歌手大獎(jiǎng)賽中，去掉評(píng)委的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其平均數(shù)，就是為了消除極端值對(duì)歌手得分的影響。

2.3.2 分位數(shù)

分位數(shù)是一種比較常用的數(shù)據(jù)探索性分析的指標(biāo)，它的適用范圍較廣，既適合順序數(shù)據(jù)，也適合定量數(shù)據(jù)。它是指介于最大值和最小值之間的一個(gè)數(shù)值，它使得數(shù)據(jù)的一部分觀察值小于或等于它，另一部分觀察值大于或等于它。常見的分位數(shù)有百分位數(shù)、四分位數(shù)和中位數(shù)等。

百分位數(shù)是一個(gè)位置指標(biāo)，用X_p%表示。對(duì)一列數(shù)據(jù)來說，它表示在按照升序排列的數(shù)列中，其左側(cè)（即小于X_p%側(cè)）的觀察個(gè)數(shù)在整個(gè)樣本中所占的百分比為p%，其右側(cè)（即大于X_p%側(cè)）的觀察個(gè)數(shù)在整個(gè)樣本中所占的百分比為（100-p）%。

四分位數(shù)，是一種特殊的百分位數(shù)，它不受極端值的影響。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個(gè)分割點(diǎn)位置的數(shù)字就是四分位數(shù)。第一四分位數(shù)（Q1），又稱“較小四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第25%的數(shù)字。第二四分位數(shù)（Q2），又稱“中位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第50%的數(shù)字。第三四分位數(shù)（Q3），又稱“較大四分位數(shù)”，等于該樣本中所有數(shù)值由小到大排列后第75%的數(shù)字，如圖2.12所示。

中位數(shù)，是一種特殊的四分位數(shù)，一組數(shù)據(jù)按大小順序排列后，處在數(shù)列中點(diǎn)位置的數(shù)值，則被稱為中位數(shù)。中位數(shù)從中間的一個(gè)點(diǎn)將全部數(shù)據(jù)分為兩個(gè)部分。它不受極端值的影響，既適合順序數(shù)據(jù)，也適合定量數(shù)據(jù)。

中位數(shù)將全部數(shù)據(jù)等分成兩部分，每部分包含50%的數(shù)據(jù)，一部分?jǐn)?shù)據(jù)比中位數(shù)大，另一部分則比中位數(shù)小。中位數(shù)主要用于測試順序數(shù)據(jù)的集中趨勢，當(dāng)然也適用于作為定量數(shù)據(jù)的集中趨勢，但不適用于分類數(shù)據(jù)。和平均數(shù)一樣，一個(gè)數(shù)列中只有一個(gè)中位數(shù)。將一組n個(gè)數(shù)據(jù)從小到大排序后，可以計(jì)算中位數(shù)，中位數(shù)的計(jì)算分兩種情況：

（1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中位數(shù)等于第（n+1）/2個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的值。

（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中位數(shù)等于第n/2個(gè)和第（n/2）+1個(gè)數(shù)的平均值。

例2.1 在某城市中隨機(jī)抽取5個(gè)家庭，調(diào)查得到每個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)（單位：元）如下，計(jì)算人均月收入的中位數(shù)。

3000 1500 3400 2400 4500

解：先將上面的數(shù)據(jù)排序，結(jié)果如下。

1500 2400 3000 3400 4500

n=5為奇數(shù)，中位數(shù)位置=（5+1）÷2=3，即中位數(shù)為序列中第三個(gè)位置的數(shù)的取值，即中位數(shù)=3000（元）。

下面再看一看當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為偶數(shù)時(shí)又該怎樣計(jì)算中位數(shù)。假定我們抽取了6個(gè)家庭，每個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù)排序后為：

1500 2400 3000 3200 4000 4500

中位數(shù)第3個(gè)和第4個(gè)數(shù)的平均值，即為中位數(shù)。

Me=(3000+3200)÷2=3100

中位數(shù)是一個(gè)位置代表值，其特點(diǎn)是不受極端值的影響，在分析收入分配的數(shù)據(jù)時(shí)很有用。

2.3.3 眾數(shù)

眾數(shù)是描述分類數(shù)據(jù)的集中趨勢最常用的一種測度值，它主要適用于分類數(shù)據(jù)，當(dāng)然也適用于順序數(shù)據(jù)及定量數(shù)據(jù)。一般只有在數(shù)據(jù)量較大的情況下，眾數(shù)才有意義。

眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值。其主要特點(diǎn)是不受極端值影響，但在一組數(shù)據(jù)中不是只有一個(gè)眾數(shù)，有可能有多個(gè)眾數(shù)或者沒有眾數(shù)。眾數(shù)的不唯一性在分布圖上表現(xiàn)為三種形態(tài)，如圖2.13所示。

例2.2 在某高校中隨機(jī)抽取9個(gè)男生，得到每個(gè)人的身高數(shù)據(jù)（cm）如下，計(jì)算男生身高的眾數(shù)。

180 175 171 171 171 162 178 170 170

解：身高出現(xiàn)次數(shù)最多的是171（cm），因此，眾數(shù)為171（cm）。