2.用硬幣做的一些游戲

“昨天你說要教我一些以硬幣為主的魔術。”吃早點時，我有意說給我的兄長聽。

“一大早就玩魔術？好，那你找個空碗。”

我拿來了碗，兄長向里面擲入一枚硬幣（圖71）。

“你瞧瞧碗里，記住別挪動，更別將身子往前探。看得見硬幣嗎？”

“看得見。”

兄長將那個碗移動了一點點。

“還看得見嗎？”

“只能看見硬幣的邊緣了。”

“坐好別亂晃。瞧好了，我向碗里加水。現在硬幣發生了什么變化？”

“我又完整地看到它了（圖72）！為何我覺得它和碗底的位置向上移了呢？”

我的兄長用繪圖的筆繪制出了盛有硬幣的那只碗。看完圖，我突然反應過來。硬幣在碗底的時候，它散發出的光束中的任意一道都進入不了我的視線，因為光是直線傳播的，碗壁又正好擋在我的眼睛與硬幣中間。但是一旦碗里有了水，狀況就大不相同了：在光束離開水面進入空氣的當口，它的運行軌跡發生了改變——也就是說光束改了道（用專業術語講叫折射），順著碗沿進入我的視線內。在一般人的意識里只記得“光走直線”這個常識，于是便一廂情愿地以為硬幣的位置升高了。簡而言之，我們一般是由光束轉彎后的位置朝它發生折射前的位置看過去的。于是我們便會在潛意識里認為碗底也會隨硬幣位置的變動而發生改變。

“這個游戲也適用于你游泳時，”兄長接著講，“你游到水位比較低的地方時，所見的水底一般都高過真實的水底，關于這點你到什么時候都不要忘記。水底升高的距離大約是真實深度的四分之一。比方說，真實的水深是1米，可是我們人類卻認為它只有75厘米。這也是有些愛玩水的孩子們在游泳遭遇不幸的緣由：他們在對水深的判斷出現了差錯（圖73）。

“我以前觀察到，我們劃著小船在水不深的地方玩時，有種深水區就在船的下方的想法，似乎方圓之外的水都沒有船下的水深。而在我們將船劃到別的地方后，似乎此時船底的水又是最深的，感覺船周圍的水位很低，就好像船還在深水區。這是什么原因呢？

“其實這個緣由對我們大家來講很好懂。人們自水面正上方看到的光線是垂直的，方向改變很小甚至沒有改變，也就是說這個地方相比其他地方光線轉彎的角度小一些。這就是自己看到的正下方水深改變幅度比別處小的原因。于是，人們就覺著水深的地方正對著船底，但實質上所有水域基本都是一樣深的……好了，眼下我出個題目：請將11枚硬幣擱進10個盤子里，要每枚硬幣僅能放在一只盤子里。”

“它是物理實驗題目嗎？”

“當然不是，只是道心理測試題。開始吧。”

“把那11枚硬幣扔進10只盤子，而且一個盤子只允許放一枚硬幣……這哪里行啊？我做不出來。”我還沒行動就承認自己不行。

“先別說不行，沒試怎么就知道自己不行？你開始吧，我會幫助你的。首先把第一枚硬幣放進一號盤子，并把第十一枚硬幣也放進去。”

我在兄長的指揮下，同時在一號盤子里放了2枚硬幣，我困惑不已，而且不清楚后面還會發生些什么事。

“放好這兩枚之后，把第三枚硬幣放進二號盤子，把第四枚硬幣放進三號盤子，把第五枚硬幣放進四號盤子……依序進行下去。”

我聽從兄長的話一一做著，在我將硬幣擱到九號盤子內之后，卻猛然看見，還空著一只盤子——十號盤子內一枚硬幣也沒有。

“下面咱們就將投進一號盤子里面的第十一枚硬幣取出來擱進空盤子里好了。”

說著，兄長順手就拿出擱在一號盤子的那枚硬幣投進了空盤子。

我發現11枚硬幣都靜靜地躺在10個盤子里，更奇的是每只盤子里不多不少正好只有一枚硬幣。這種情況真讓人難以想象。

很快兄長一言不發地撿起了所有硬幣，似乎沒打算告訴我這其中的奧秘。

“自己想想吧，這恐怕比我直接告訴你更有意義。”

他不顧我的反對，又給我出了新的題目：“現在給你6枚硬幣，你把它們以豎著排成3列，每列只允許有3枚硬幣。”

“那得有9枚硬幣。”我反駁道。

“用9枚硬幣誰不會？就給你6枚，就是讓你用6枚硬幣排列。”

“該不會是在拿我開涮吧？”

“你就會沒上陣自己先把自己打敗！瞧好吧，就是這么容易！把你嚇成了那樣。”

話音剛落，我的兄長就按圖74和圖75的辦法擺好了所有硬幣。

“是不是每列三枚硬幣，共排了三列呀？”兄長反問道。

“但是它們有個共同的交叉點，這樣也行？”

“相交怎么了？我沒要求不準相交是不是？”

“若是我知道允許出現交叉點的話，沒準我自己也能排列出來呢。”

“成，你考慮一下這道題其他的解法吧。不過不是現在，等你有空閑了再說。當下你來解答三道同類型的題：其一，一列3枚，把9枚硬幣擺成10列；其二，一列4枚，把10枚硬幣擺放5列；其三，我繪制一幅圖，而這張圖是由36個小正方形構成的大正方形（圖76），要求你將18枚硬幣投進小正方形之內，記住我的要求，每個小正方形都僅允許投擲一枚硬幣，最后的結果要是各行和各列都是3枚硬幣……在你解答完這道題后，我會用硬幣表演一個節目犒賞你的。”

說完后，我的兄長就在一邊放了3個盤子，并在首個盤子里放了一摞硬幣：最底下的是面值為1盧布的硬幣，接下來依次是50戈比、20戈比的硬幣，后面就是15戈比的與10戈比的硬幣。

“要求以如下的法則把那些硬幣移動到順次排列的盤三內：法則一，一次僅挪動一枚硬幣；法則二，不可把幣值大些的擱在面值小的硬幣之上；法則三，可先依照前兩項法則將硬幣移入盤二中，最后再把所有硬幣按照其在盤一中的次序轉移進盤三之中（圖77）。你都不是聽見了嗎？我規定的法則并不繁復。你就拿出你的聰明勁兒一展身手吧。”

于是我趕忙進入狀態開始搬移硬幣：我先將面值為10戈比的硬幣挪入盤三，盤二被我投入了面值是15戈比的硬幣，然而接下來我就不知怎么辦了，我的思維似乎短路了。我該將面值為20戈比的硬幣擱置在什么地方呢？它可是要比面值為15戈比和10戈比的硬幣面額都要大呀。

“怎么了？”兄長見我不知所措，上前說道：“你可將10戈比的硬幣投放到15戈比的上面，然后把20戈比放到盤三。”

我依照兄長的指點完成了前面的游戲，不曾想沒多久又卡殼了。我不知道該把面值為50戈比的硬幣投進哪只盤子，不過我的大腦很快就告訴我該怎么做了：第一步把面值為10戈比的硬幣移進了盤一，繼而把面值為15戈比的硬幣放進了盤三，接著把面額為10戈比的硬幣也放到了盤三。這下我就可以把面額為50戈比的硬幣搬進盤二了。后面經我頻頻移動，終將面額為一盧布的硬幣自盤一轉入了盤三，到了最后我大功告成了——將那摞硬幣順利地挪進了盤三。

“你還記得你總共移動了多少次嗎？”兄長以贊許的口吻問道。

“不記得了。”

“那好吧，我們來回想一下。因為能想到并以較少的頻率移動來完成這道題目才有價值。倘若這些硬幣的數目并非5枚，比如是2枚——幣值分別是10戈比與15戈比，又需要挪動幾次？”

“那樣的話僅需移動3遍：第一步，先把面額為10戈比的硬幣擱進盤二；第二步，將幣值為15戈比的硬幣放進盤三；第三步，就是將盤二中的面值為10戈比的硬幣轉移至盤三。”

“看來你的思路很清晰，你說得對。那我再給你一枚幣值為20戈比的硬幣。你來數數這次需要挪動多少次好嗎？我們先在腦子里過一遍：咱們依照前面的法則把兩枚幣值較小的硬幣移動至盤二，咱們事先都清楚這得挪動多少次。接著將面額是20戈比的硬幣擱到盤三——動一次就可達到目的。咱們再從盤二將那兩枚硬幣移入盤三——得挪動3遍。總共挪動了3+1+3=7次。”

“你就給我一次機會，讓我來試試看挪動4枚硬幣需要幾次。第一步，就是先把幣值較小的3枚硬幣挪進盤二——得動7次；第二步，將面額為50戈比的硬幣轉移至盤三——移動一次就可以了；第三步，就是把那三枚硬幣移動至盤三——得經過7次轉移。一共得移動7+1+7=15次。”

“行啊！還不錯。那你再想想5枚硬幣得移動多少次呢？”

“15+1+15=31次。”

“恭喜你，看來你已經較為熟練地掌握了該類題型的計算訣竅。但我要教給你一些較為簡易的算法。你看，以上運算時所得結果為3、7、15、31——都是拿2做2次甚至更多次的乘法運算后減掉1對不對？那你看下面我給你所展示的一些運算。”

兄長很會就繪就了一個表格：

3是2乘以2再減去1；

7是3個2連乘再減1；

15是4個2連乘后再減去1；

31則是5個2相乘之后減去1。

“我懂了：挪動幾枚硬幣就是幾個2連乘，接著減掉1。這下我就能算出移動任何一摞隨意構成的硬幣所需的次數了。舉個例子，假若說現在有7枚硬幣，于是就有7個2相乘，結果為128，那么減去1不就是127嗎？”

“看來你已經將這個遠古時代流傳下來的題目的解法了然于胸了。然而你還得記住一條規律：若硬幣的數量為奇數，就可先將首枚硬幣挪到盤三；若給出的硬幣數為偶數——就將其挪到盤二中。”

“你說這是‘遠古時代流傳下來的題目’？那么就是說這些題不是你自創的了？”

“不，當然不是了，我就是動了點腦筋，將它應用到了硬幣上而已。那些題目歷史非常久遠，大概發源于古老的印度。關于那些題目還有個頗為古老而且有意思的說法。大致是說以前在巴納拉斯有一座古寺，傳說中的印度婆羅門神于創建世界之時，在這座寺中精心加工了3根鑲有鉆石的棍子，并在它們之中的一根上套上了64個金環。該寺的祭司得晝夜不歇地將這根木頭上的金環移至另一根，而那名祭司在挪動金環的過程中需借助第三根棍子，而且該祭司慢慢地也發現要順利移動金環還得遵循以下的一些規律：一次僅能挪動一個金環且不可將大的金環擱到小金環之上。那個印度故事在最后寫道：要是祭司成功移動了64個金環，也就是世界末日來臨之際。”

“喔，那么就是說，倘若那個印度故事里講的是真的，我們所生存的這個世界就該消失掉了，是吧？”

“你認為轉移64個金環用不了多長時間，是嗎？”

“是的。比方說一秒鐘挪動一個金環，那轉移3 600次不就是一個小時的事兒嗎？”

“即使是這樣，也改變不了什么。”

“一天一夜大致可移動10 000次，10個晝夜就該是1 000 000次。挪動10×105次，移動的金環恐怕是64個金環的許多倍，怎么也有1 000多天了吧？”

“你大錯特錯！移動64個金環怎么也得花掉5×1 012年時間！”

“不會吧！你是怎么算出來的了？挪動的次數就是64個2連乘，求得的值不就是……”

“大約是1.8×1019。”

“別急，讓我試著算算并驗證完了再說。”

“也行。在你計算這個值的這段時間，我正好也有點自己的私事要做。”

兄長說完便離開了，我一個人開始算起來。我先是求得了64個2連乘的值65 536，再求出了這個值的2次方，接著再為求出的新結果2次方。雖然這項工作枯燥乏味，可是我的耐力很好，于是我還是求得了最終的結果，通過我的認真計算，得到了18 446 744 073 709 551 616。

也就是說，兄長說的是對的。

這個值求出后，我的信心更足了，我一鼓作氣解答起了兄長布置給我的另一些題。那些題不是很難，有些甚至異常容易。比方說把11枚硬幣投進10只盤子里的題也太小兒科了點：首先，我把硬幣一和硬幣十一擱進了盤一，后面投放硬幣三，一直依序進行著。硬幣二不知上什么地方逍遙去了？咱們并沒擺放它是不是？這就是里邊的奧秘。

根據我的經驗在求解硬幣的排列類題目時，就先瞧瞧繪制的排列圖就一清二楚了，如同圖78和圖79。

最后，制作結果圖，給小正方形投入硬幣的題的結果是（圖80）：大正方形中的36個小小正方形里擱置了18枚銀幣，而且每行每列都是3枚。