3.吃早點時的猜猜看

“昨日有人給我出了道頗有趣的題，”吃早點的時候，兄長的同學說，“就是在紙上裁出10戈比大小的洞，要求將面值為50戈比的硬幣從這個洞投擲過去。而且出題的人還信誓旦旦，這個游戲可以玩成功。”

“那我們一起來試試看，這個游戲到底可不可以玩成功好不好？”兄長提議。接著他查了筆記本，又做了一番運算，才講道：“他說得沒錯，這個游戲可行。”

“這個游戲能玩嗎？我越發糊涂了。”兄長的這位同學不明就里嚷嚷開了。

“我有點懂了，”我見縫插針地說，“一共投擲5個10戈比硬幣不就好了嗎？”

“我要申明的是面額為50戈比的硬幣，并要將它從10戈比硬幣大小的洞投擲過去。”兄長嚴肅地糾正著我說法上的錯誤。

然后兄長自衣兜里取出2枚硬幣，并把面額為10戈比的硬幣放到了一張紙上，接著拿制圖筆按該硬幣的輪廓勾勒出了草圖（圖81），然后他借助削筆的小剪刀依圖裁出了洞。

“現在我們來讓面值為50戈比的硬幣從這個洞中穿過。”

我和兄長的同窗睜大眼睛，莫名其妙地看著兄長手中的紙。兄長把紙對折，讓所裁的洞頃刻間變成了一道狹長而窄小的縫。你們怎么也想不出，在看到面額為50戈比的硬幣自這樣的小縫鉆過去時，我們是怎樣地驚愕（圖82）！

“盡管我目睹了整個過程，可是我還是沒弄懂。所裁剪的那個洞的周長短于面值為50戈比的硬幣的周長！”兄長的同窗好友萬分不解地說。

“先看著，后面你自然會弄懂。根據我的經驗，面額為10戈比的硬幣的直線長度為毫米。但是這個洞的周長除以硬幣的直線長度等于，換個說法，洞的周長超過54毫米。請小伙伴動腦筋考慮一下：在我對折裁出的這個洞時，它長幾毫米？該長度近似于洞周長的，簡而言之，它的長度較之27毫米多一點兒。面額為50戈比的硬幣直線長度近似于27毫米，于是毫無懸念地50戈比的硬幣不管怎么樣都能從那個洞過去。不過，在具體操作時還要想到它的厚度。可是經過我的實際操作，也就是我沿著面額為10戈比的硬幣在紙上臨摹時，發現草圖上的10戈比硬幣的周長超出了硬幣本身的周長。這就意味著其厚度可以不予以考慮。”

“我總算搞懂了。”兄長的同窗好友激動地喊道，“倘若我用線套把一枚面額為50戈比的硬幣固定好，接著把線套整成線圈并加固好。很明顯，到時候面值為50戈比的硬幣僅能從線套穿進穿出，而不能自如地進出線圈。”

“我感覺你掌握了所有硬幣的尺碼。”小妹突然對兄長說。

“其實我不是牢記所有硬幣的尺寸，而僅熟記了其中較為容易記住的，其他的我都記在了本子上。”

“哪里有易于記下的？我看都很難。”

“那是因為你沒找到竅門，所以才認為太難，把3枚面額為50戈比的硬幣擺在一條線上量一量（圖83），你就會發現它們長8厘米，這個總該好記吧？”

“這個辦法我怎么就沒想出來呢。”兄長的同窗好友喃喃自語道，“掌握了這個方法，不就可把硬幣當測量工具使了嗎？如果是魯濱孫那樣的人，無意間從口袋里摸索出一枚50戈比硬幣，真的是很有用處的。”

“有位著名小說家儒勒·凡爾納所創作的小說里的主人公也用硬幣幫助自己，因為法國的硬幣與度量工具米尺間有某種聯系（比例關系）。你們還記不記得魯濱孫借助硬幣稱重的事？我們國家面額為1盧布的硬幣的重量為20克，面值為50戈比的硬幣重10克。”

“這么說面額為50戈比的硬幣的體積僅為幣值是1盧布的硬幣的？”小妹突然想到這么一個問題。

“沒錯。”

“可是幣值為1盧布的硬幣高度并非為面額是50戈比的硬幣高度的2倍，直線長度更不是它的2倍。”小妹說道。

“幣值為1盧布的硬幣并不能像你所想象地那么制造出來，否則面額為50戈比的硬幣的體積就不是它的，會變成……”

“就會是，這點我懂。”

“不對的，應該是。小妹，你想想假如50戈比的直線長度為一枚1盧布硬幣的，那不用想，它的周長也會是它的，高當然也為它的，那么50戈比硬幣的體積就該是那枚1盧布硬幣的對不對？”

“若想50戈比的硬幣體積為1盧布硬幣的，1盧布硬幣和50戈比的硬幣間的計算體積的參數就存在如下的聯系：把比例關系數字相乘3遍結果為2。”兄長的那位同窗好友講道。

“是的，他說的沒錯，50戈比和1盧布硬幣的比例為。計算結果為。”

“那么真實的情形又會是什么樣的呢？”

“實質上也如同上面的計算結果，50戈比硬幣的直徑為1盧布硬幣的。”

“今天的事突然讓我想起了一個典故，說是某人在睡夢中，看見了一枚1 000盧布的硬幣，漸漸地這枚硬幣站起來了，站穩后同4層樓一樣齊。假若真的造出了那樣的硬幣，那它也比人的個頭矮。”兄長的同學說。

“沒錯，1盧布硬幣的直線長度僅為其，由于，那就意味著，那枚硬幣豎起，人的個頭將是它的6倍——它僅有33厘米的高度，絕不可能是所講述的那個人夢中所看見的33米（圖84）。”兄長解釋道。

“自此我們可總結出如下的規律：若是有人比別人矮8倍，而且也比別人瘦8倍的話，那么我們據此可以推斷出他的重量為別人的。”

“這個結論沒問題。”

“侏儒的體重是巨人的幾分之幾呢？”小妹又提出了這么一個問題。“大概是吧？”

“不對，應該是幾百分之一！”兄長反駁道，“依照我所了解到的信息，世界上最高的人是一位阿爾薩斯人，他個頭高達275厘米。”

“而世界上最矮的人？”

“根據相關統計，成人中最矮的個子不足40厘米，簡而言之，最高的人是最矮的人個頭的7倍。換句話說，若同時將最高的人與最矮的人擱到秤盤上來稱重，就得在秤的另一頭的秤盤站343（7×7×7）個世界上最矮的人——這可是一大群。”

“說到這里，我想起了最近我所遇到的一道題，我把它告訴諸位還請大家幫忙。”小妹追述道，“市場的瓜攤上擺放著兩個個頭不一樣大的西瓜，其中一個的大小是另一個的，它的價錢是另一個的。你們幾個說說買那個劃算（圖85）？”

“你來求解吧。”兄長對我說道。

“假若真的是小西瓜僅比大西瓜便宜，而大西瓜的個頭只是小西瓜的，那么，當然是買小西瓜實惠些。”

“你沒明白我的意思！咱們眼下探討的話題為：倘若一件東西的長、厚、高都僅為另一物品的，則它的體積將是另一物品的。換句話來說，要大西瓜合算些，小西瓜的價碼為大西瓜的，但是它可以吃的地方只為大西瓜的。”

“但是有個問題我還是沒弄明白，小西瓜售價為何是大西瓜的，而不是？”兄長的同學不解地問。

“這緣于賣西瓜的不懂幾何。當然了，顧客也不清楚，因此才會做這些不合算的買賣。我要說明的是，買大西瓜一直就比買小西瓜合算，買主往往會錯誤地估計大西瓜的實用價值，而多數顧客顯然也沒發現存在這一問題。”

“那可以此類推，個頭大的雞蛋就比個頭小的雞蛋實用價值大？”

“自然是個頭大的雞蛋要價低。但是，德國的賣主往往要比我國的賣主聰明：他們依雞蛋的重量確定價碼。那樣的話，就不存在錯誤地估計價格的問題，是不是？”

“喔，我忽然聯想到了別人給我講的一道題，當時我沒有解答出來。”兄長的同學冷不丁地冒出這么一句，“題目是：有人碰到一個捕魚的人，就問他捉了幾條魚，只聽那位捕魚人說：‘所有魚體重的另加千克。’那么，所有魚的體重為多少？”

“啊，這題不繁復。”兄長自信滿滿地講道，“很明顯，所有魚體重的恰好為千克。千克乘以4便為所有魚的體重，即3千克。我給你們幾個出道有些難度的題目好不好？你們幾個說說在世上生活的眾人當中，有沒有頭發數量相同的人？”

“我先來回答，我要說的是這個世界上所有禿頂的人，他們的頭發一樣多。”我忙不迭地說道。

“那么那些不是禿頂的人的情況又如何呢？”

“不是禿頂的人的頭發數量是不是相同，這可就很難說了。”

“我的問題不但包括那些謝頂的人，而且我更想知道在我們國家的首都存在不存在頭發一樣多的人？”兄長進一步闡述道。

“我要說的是，就算這樣的人存在，那也是很偶然的事。從理論上而言有存在的可能，可是我能拿出1000盧布跟別人較勁兒，別說在我們的首都呢，就算尋遍整個人間恐怕未必會找到頭發數量一樣的兩個人。”

“若換作我，我掏1戈比跟人較勁兒都覺著不劃算，你花錢給自己買失敗。我雖不敢說很容易地就找到頭發數量相同的兩個人，可是我能肯定地說在我們所在的城市（莫斯科）有上萬甚至數十萬頭發一樣多的人存在。”

“這怎么會呢？光莫斯科就有幾十萬頭發數量一樣多的人？這太難以置信了。”

“我不是在跟你們講笑話。拜托你們好好動動自己的腦子，想想看，在我們生活的這座城市的人和人頭上的頭發多到底哪個多？”

“這還用說嗎？肯定是人多。可是這兩者之間又有什么關聯呢？”

“想知道它們間的聯系，就聽我一一道來。若要說是莫斯科的人比每個人的頭發多，這么一來難免會多算頭發。一般人們以為，一個人大概有20萬根發絲，可這個數量僅為人口數量的。比如說前20萬本城人的頭發數量不一致，那么第二十萬零一個人的頭發數又如何呢？無論你相信不相信，不可否認的是，此人的頭發數同前面的那20萬人的頭發數確實一致，不管怎樣，他的頭發數目都超不過20萬根對不對？整體而言，第二批的20萬人中，每個人的頭發數難免會和前面那20萬人的相一致。打個比方說，就算我們的城市僅有40萬人，那也會有20萬組人的頭發數一模一樣。”

“我現在才清楚自己究竟錯在了何處，我疏忽大意了。”小妹感慨道。

“我們繼續。”兄長接著說，“有條河的兩岸分別矗立著一座城市，它們之間的距離有如下的關系：輪船順流而下需4個小時，逆流就得花6個小時。那么，一塊木材漂到對岸費時多少？我看還是由你來解答較為合適。”兄長對我說道，“你不是學過分數了嗎？這也就意味著這道題你是可以求的。下面大家一起來玩數字游戲，我來當分析判斷的人。你們盡可能地展開你們豐富的想象，想到什么數字就是什么數字，然后用該數字與9相乘，再由結果中去掉0與9之外的任何一位數字，接著把其余的數字以任意順序誦讀出來，我便可知道你們去掉的數字為幾。”

我們一一將我們保留的數字誦讀給兄長，每次我們一讀完，他都能迅速講出我們去掉的數字。

“好了，我們來玩點其他的。說出一個數字，接著在該數字末尾加上0，然后減該數字后加63。一切就緒了沒有？下面的游戲規則同上，在求得的值內去掉任意一個數字，把其余的數字讀給我。”兄長并未詳細講解其中所包含的原理，就接著說下去了。

大家依照他的提議開始了游戲——兄長無一差錯地講出了大家去掉的數字。

“隨便你們誰，就拿你來說吧，”兄長沖著我講，“隨便寫一個我不清楚的3位數，再在其后增加剛寫的3位數，接著拿那個6位數去除7。”

“你說得輕巧：用它們去除7……除不盡怎么辦？”

“你就把心放到肚子里面吧，這個除法運算產生不了余數。得出求解的值后告訴小妹。”

經過我們的計算，用那個6位數去除7還真的沒有余數。我將列有運算過程的紙遞給了小妹。

“你嘛，就用運算的值去除11。”兄長給小妹布置了新的任務。

“也是能除盡而沒有余數？”

“當然，你瞧，是不是可以除盡？別把數字遞給我，傳遞下去。”

兄長請自己的同窗好友用該數字去除13。

“怎么？又是可以除盡？”

“是的，預備，開始！”

兄長自好友那里取來了運算結果，連一眼都不瞧，就把那頁紙放到了我的手里，接著說：“它就是你說出來的數字。”

我手忙腳亂地打開那頁紙，發現果真是我最初說的那個數字。

“你好厲害！”小妹叫道。

“這是一個非常神奇的算術游戲。可是真相就如同令人眼花繚亂的魔術表演一樣得平淡無奇。下面我們來玩這么一個游戲，題目是讓你們寫下3個多位數，可是我能在你們寫出前2個之前就告訴你們其和為幾。不信就隨便寫個5位數試試。”兄長沖著我說道。

我也不甘示弱，大筆一揮就寫了67 834。兄長接過紙留出另兩個加數的位置，畫了道橫杠，一揮而就寫好了3個多位數的和。

（本人）67 834

——

（兄長）167 833

“你們3個隨便出來個人書寫另一個多位數，剩下的那個我自己寫。”

兄長的同學拿過那頁紙寫下了下面的那個數字：

（本人）67 834

（兄長的同窗）39 458

——

（兄長）167 833

兄長立馬上前書下了如下的數字：

（本人）67 834

（兄長的同學）39 458

（兄長）60 541

——

（兄長）167 833

經過我們的驗算，沒問題！

“你是很快求得前2個數之和，并從最終的結果中減掉它們而算出第三個多位數的嗎？”

“非也，我還沒掌握速算的技能。但是，我可以用5位數玩這樣的游戲。假如你們有興趣，別說5位數，就是8位數也行。”

兄長說到做到。下面就是有關這個游戲的運算值，我們為了便于讀者閱讀用數字標明了順序：

（本人）23 479 853

（兄長的同窗）72 342 186

（小妹）58 667 783

（兄長）41 332 216

（兄長）27 657 813

——

（兄長）223 479 851

我在紙片上寫上了第一個8位數，兄長就寫下了幾個數之和。

“你們會不會覺得，我算出了這么龐大的和，就是減去已有的多位數，然后拆分成空缺的多位數對吧？其實，你們想得過于復雜了，我堅信，你們閑暇時仔細琢磨一番，就不難發現其中的玄機。”

“明日我將要去我國的首都，在車上我可以通過玩這些數字游戲來消磨時光。”兄長的好友道。

“我再給你說幾個數字游戲題，幫你排遣旅途中的寂寞。比如說諸位見過這樣的數字游戲嗎？將數字7用5個2表達出來。”

“有這樣的題？變魔術才可能變出來吧？”

“你說錯了，這不是魔術而是數字游戲。簡而言之，在算式右側2出現的次數僅限于5次，組合抑或單獨運用均可，用加減乘除符號將它們連接起來，最終左邊的值要為7。我就給你們透露一下答案，如此一來你們就不會再對這樣的題手足無措了。其余的就看你們自己的了。拿5個2完成結果為7的式子，你們可以這樣寫：。”

“噢，我明白了。它還可以用如下的式子表示：。”

“是的，看來你已經掌握了解決這類問題的秘訣。那么就請計算以下的這些題目：用5個2表示28；用5個3表示100；用5個5表示100；用4個2表示23；用5個1表示100；用4個10表示100。”

“聽說你能用火柴棍做一些游戲，能否露一手讓我一飽眼福？”兄長的同學提議。

“沒問題，我記得前一陣子在你家玩過，對不對？”

兄長拿了8根火柴順勢排開，如圖86。而后說他待會兒去相鄰的房間，回來后便可判斷出他離開后我和他的同窗及小妹選出的火柴。唯一要留意的是挑選火柴者得用手觸碰該火柴棒。同時，誰也不能亂動火柴，讓其他火柴保持原狀。

待兄長離開后，大家用心關好了門，我甚至不忘拿張紙堵上鎖孔。小妹用手指碰了其中一根，接著我們便沖著墻那邊的兄長叫：“好了，可以過來了！”

我和小妹甚是納悶，兄長的同窗時而詫異，時而大笑，可是我們幾個都迫切想知道這個游戲的奧秘。

“是時候告訴你們這個游戲的秘密了，”兄長看出了我們的心思，“首先我要隆重地向大家介紹幫助我完成此魔術的朋友，”兄長對著同窗自豪地說，“這是一幅以火柴棒搭出的他的形象。盡管只是相像，可是還是能夠分辨出來：這兩根火柴是眼睛，那里是前額，兩只耳朵在這里，那是鼻子、嘴、下頜、頭發（圖87）。回到房間，我首先要瞧瞧幫助我的朋友，他不是輕撫下頜就是眨巴眼睛，要么就是抓鼻子……盡管他提供給我的信息非常有限，但已經幫了我大忙。據此我便可輕而易舉地推斷出，你們幾位挑選的是那根火柴棒。”

“哇！你們倆居然串通一氣！”小妹笑著對那位朋友說，“要是我早點兒知道你是內奸的話，我準會防著你的。”

“若果真如此，我可就推斷不出嘍。”兄長坦言道，“是時候結束了，這頓飯吃得太久了。”

大家是否很好奇兄長預留的那些題目的解法？

那道輪船與木板的題是這樣的。若是輪船順流而下費時4小時，于是每小時的航程便為此間距的。而若是逆行，則船速便是間距的。很明顯，若以間距的與間距的相減，所得結果的便為河水的流速，間距的就意味著其為船速與水速之和，另外，間距乘以等于船速與水速之差；船速大于水速的部分為2倍的水速。大家都清楚與的差為，而的為。也就是，水速等于兩城間距乘以，換而言之，流完全程需用時一晝夜（24小時）。其也是木板順流而下所需的工夫。

還記得那道撇開數字的題目嗎？那道題以這樣的事實為基礎：任意一個能被9整除的數所包含的數字相加后的結果也是能被9整除的。首先我們用自己想到的數與9相乘，顯然，此數中含有的數字相加后也可被9整除。明白了這個道理后，我們可不費吹灰之力地判斷出，已給的數里添加了怎樣的數字，方可使所得到的數中的各個數字相加后能被9整除。假如撇去數字9與0，一點也不干涉所剩數字相加的后能被9整除，這就是不舍棄這兩個數字的理由。

另外，如果先給我們想到的數字10倍（多了一個0），接著我們從所求值中刨去那個數字。那樣一來就等于是給那個數字與9相乘了。加上的數63也能被9整除，所以沒有影響。其他的也無須我多言了。

還有一個數字游戲，即除以7，11與13的數字游戲，似乎很難，其實并非如此也。如果大家于一個三位數后續上這個數，就是將該數與1 001相乘了。大家一起來看個具體的例子吧：

但是7×11×13=1 001對不對？那么，大家一一求初始數字與7、11及13的商，就是求與1 001的商，所得到的值便是原先的那個數字。

大家也不會忘了那道判斷總和的題目，其實那道題目也并不是那么神秘的，可是我得提醒諸位：首先，兄長寫的總和減去我選擇的那個數字等于99 999（167 833-67 834），也就是說得加上99 999，其實就是100 000減去1。在兄長的同窗大筆一揮寫下39 458后，兄長選的那個數與他同窗選的數之和便為99 999。其實這里面也沒有什么奧秘，僅需以9與各個數字求差即可。

另外，我要說的是這種被兄長采用的方法與前一種辦法相似，只不過是最后的結果多了2與99 999相乘，即僅需每一個加數求和后多2個999 999 999就行了。

最后我將那道題目的求解過程告訴大家：