26.麥克斯韋滾擺

【題目】有一種玩具名叫“悠悠球”，它由線軸和活動的帶子組成。當“悠悠球”落下后會再次返回。這并非什么新鮮事，很久以前，《荷馬史詩》中的名人們就曾嘗試過。

按照力學的角度，“悠悠球”只不過是麥克斯韋滾擺的變體（圖12）。飛輪下落，帶動著連接它的線，獲得了一個比較大的旋轉力。當飛輪到底時，連接線還會繼續旋轉，將飛輪再次帶上去。飛輪上升時動能轉化為重力勢能，飛輪的速度慢慢放緩，之后為0，繼續下落。由于連接線和飛輪的摩擦，導致一部分能量轉化成了熱能而消散，所以這個上升下落的過程持續幾次后就會停止。

現在提出一個問題：

若將麥克斯韋滾擺的軸線掛在彈簧秤上，當小飛輪運動時，彈簧秤的示數怎樣變化？

【題解】計算而得的結果讓人驚訝：飛輪向下時，連接線并未全部承受飛輪重力，彈簧秤示數不會上升，僅僅是稍微有一點翹起。這一過程將持續到飛輪到達最高點。當然，在飛輪位于最低點時，那一瞬間彈簧秤示數減小，但之后便恢復。

飛輪向下為勻加速運動，其受到的加速度恒定（由于摩擦力的關系其加速度小于重力加速度）現在根據能量守恒定律推論一下。設飛輪質量m，重力加速度g，飛輪下落高度h。漸進運動速度v，旋轉運動角速度ω，飛輪慣性力矩K。此時重力勢能將轉化為轉動動能以及平動動能：

因轉動動能是平動動能的幾分之一，我們可將等式右邊用qmv2表示。q由慣性力矩K決定，不會在飛輪的運動中改變。如此：

則：

自由落體的公式為：

和上邊的式子對比，發現飛輪在每個點的速度恒等于自由落體的一部分：

由于，那么。飛輪勻加速向下，其加速度為a，即。由于q＞1，則a必然小于g。同理，飛輪向上的勻減速運動中的加速度同樣為a，方向大小一致。

根據此加速度可以求得飛輪在上升、下落兩個階段所受的拉力。由于a＜g，那么此時，F即為連接線對飛輪的拉力。

由于飛輪向上向下是加速度都為a，則不論上升還是下降其受到的拉力均為F，彈簧秤示數不變。這個式子在飛輪上升到最高點時同樣適用，只有在飛輪降到最低點時不適用。此時，連接線不僅支持著飛輪的重量，同樣有飛輪軸的離心力。