第二節 彈性力學的基本假定

彈性力學在處理問題方面比材料力學更廣泛、更嚴密，但彈性力學仍必須作一些基本的假定，具體如下。

（1）假設物體是線性彈性的。即物體在引起形變的外力被除去以后，能夠完全恢復其原來的形狀，這種關系被稱為正比關系，這種彈性就叫做“線性彈性”。在這一假定下的物體只能發生線性彈性變形，稱其為“線性彈性體”。這樣的物體在任一瞬時的變形，完全取決于它在這一瞬時所受的外力，而與它前一刻的受力情況無關。由此，也就是假定了彈性體內沒有初始應力。

（2）假設物體是連續的。這假設認為整個物體的體積都被組成這個物體的物質所填滿，而不留下任何空隙。這樣物體中應力、應變和位移等物理量就可看成是連續的，因而我們就可用坐標的連續函數來表示它們的變化規律。實際上，一切物體都是微粒組成的，嚴格來說都不符合上述假定，但是，只要微粒尺寸和微粒之間的距離都比實際物體的尺寸小得很多時，這個物體連續的假定就不會引起顯著的誤差。

（3）假設物體是均勻的，各向同性的。均勻假設是認為整個物體是由同一種材料組成的，在這種情況下物體內部各點的物理性質都是相同的，反映這些物理性質的彈性常數，如彈性模量、泊松比等都不隨位置坐標而變化。因此，可以取出物體中的任意一小部分來加以研究，然后把研究的結果用于整個物體。物體各向同性的假設是認為物體的彈性在所有各個方向都相同，各個彈性常數不隨方向而變化。

凡是符合以上三個假定的物體被稱為理想彈性體。

（4）假設物體的位移和應變是微小的。該假設認為物體在外力作用下，整個物體所有各點的位移都遠遠小于物體的原來尺寸，而且應變與轉角都遠小于1。經過這樣假定以后，有以下好處：

1）在考察物體的應變和位移時，可以將它的二次冪或乘積略去不計。因此彈性力學中的微分方程都可簡化為線性的微分方程，從而可以應用疊加原理。

2）建立物體變形以后的平衡方程時，可用變形以前的尺寸來代替變形以后的尺寸，而不至引起顯著的誤差。

按照以上四個基本假定，來研究物體中應力、應變問題的彈性力學，稱為線性彈性力學。本書所討論的有關有限元的問題，都是建立在線性彈性力學的基礎上。