第三節 外力、應力、應變和位移

在材料力學中的外力、應力、應變和位移這些物理量已經作過介紹，但在彈性力學不完全相同，因此這里仍需作一些必要的說明。

一、外力

作用于物體上的外力，按其作用方式的不同，可以分為體積力和表面力兩類，分別簡稱為體力和面力。

體力是分布在物體內部的力，例如物體的自重、慣性力等。一般在物體內部各點的體力是不相同的，將任一點P處的單位體積內所作用的體力，沿著直角坐標軸x、y、z三個方向的投影，分別記為f_x、f_y、f_z，這三個量稱為物體在該點的體力分量，并規定它們以坐標軸的正方向為正向，體力的量綱是［力］/［長度］³。

面力是作用在物體表面上的力，例如作用在墻梁上的均布荷載、水壩上游表面的靜水壓力、擋土墻的土壓力等。作用在物體表面上的各點力的大小和方向一般也是不相同的。將作用在物體表面上任一點P處單位面積上的面力，沿著直角坐標軸x、y、z三個方向上的投影，分別記為f_x、f_y、f_z，這三個量稱為P點的面力分量，它們也以沿坐標軸的正方向為正向，面力的量綱是［力］/［長度］²。

二、應力

物體受外力作用以后，在其內部將要產生應力，是作用在物體切割面上，不同截面之間相互的作用與反作用力。在物體內的同一點上切割不同截面，這些截面上的應力是不相同的。為了研究物體在其某一點P處的應力狀態，即各個截面上應力的大小和方向，可以圍繞該點取出一個無窮小的正六面體，如圖1-1所示。取PA=dx，PB=dy，PC=dz，此六面體稱為單元體。將單元體每一個面上的應力分解成為一個正應力和兩個剪應力，分別與三個坐標軸平行，并稱為該面的三個應力分量。

正應力用σ表示。作用在垂直于x軸的面上級，并沿著x軸方向的應力記為σ_x。因作用面的外法線方向與應力方面一致，為了簡化起見，只需加一個x下標就足夠了。

剪應力用τ表示，并加上兩個下標：如τ_xy，前一個下標表示作用面的外法線方向，后一個下標表示應力沿著哪一個坐標軸方向。如剪應力τ_xy是作用在外法線平行于x軸的面上，其作用方向與y軸平行。其余類推。

應力的符號是這樣規定的：如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的正方向，這個截面就稱為正面（例如圖1-1中的右方、前方、上方這三個面），正面上的應力分量以沿坐標軸正方向為正，沿坐標軸負方向則為負；相反，如果某一個截面上的外法線是沿著坐標軸的負方向，這個截面就稱為負面（例如圖1-1中的左方、后方、下方這三個面），而負面上的應力分量是以沿坐標軸負方向為正向，沿坐標軸正方向為負。圖1-1中所表示的應力分量全部是正向的。

上述符號的規定，對于正應力是以拉應力為正，而以壓應力為負，這與材料力學中的符號規定是相同的。但是對于剪應力，結果和材料力學中的規定不一致。

在下節里將可以證明六個剪應力之間具有互等關系，即

τ_xy=τ_yx；τ_yz=τ_zy；τ_zx=τ_xz

由此可見，單元體上的九個應力中只有六個是獨立的，它們是三個正應力σ_x、σ_y、σ_z和三個剪應力τ_xy、τ_yz、τ_zx。這個六個應力統稱為該點的應力分量，它們的量綱是［力］/［長度］²。

三、應變

單元體受力之后，要發生形狀的改變，這種改變可以歸結為長度的改變和角度的改變。按照定義：任一線段（例如圖1-1中的三個棱邊PA、PB、PC）每單位長度的伸長或縮短，稱為正應變（或稱線應變）；任意兩個線段之間（例如圖1-1中的棱邊PA和PB）夾角（直角）的改變，稱為剪應變（或稱為角應變）。

正應變用字母ε表示，例如ε_x表示x方向的線段PA的正應變，其余類推。正應變以伸長為正，縮短為負，與正應力的正負號規定相對應。

剪應變用字母γ表示，例如γ_yz表示y與z兩個方向的線段（即PB與PC）之間的夾角的改變，其余類推。剪應變以使夾角變小時為正，反之為負，與剪應力的正負號規定相對應。

因為正應變和剪應變都是表示相對變形，所以，它們都是無量綱的量。我們將三個正應變ε_x、ε_y、ε_z和三個剪應變γ_xy、γ_yz、γ_zx統稱為一點的應變分量。

四、位移

所謂位移就是位置的移動。物體在受力之后或其他原因（如溫度改變），其內部各點將發生位移。物體內任一點的位移，在x、y、z三個坐標軸方向的投影，用u、v、w來表示，這種三個量統稱為一點的位移分量，它們以沿坐標軸正方向為正，反之為負。位移的量綱是［長度］。

在一般情況下，彈性體內任一點的體力分量、面力分量、應力分量、應變分量以及位移分量，都是隨點的位置不同而不同，因而它們都是點的位置坐標的連續函數。