第一章 緒論

第一節 彈性力學及有限元的內容

彈性力學是固體力學的一個分支，研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發生的應力、形變和位移，從而解決結構或機械設計中所提出的強度和剛度問題。它是材料力學、結構力學、塑性力學和某些交叉學科的基礎，廣泛應用于建筑、機械、化工、航天等工程領域。

對工科各專業說來，彈性力學的任務和材料力學、結構力學的任務是一樣，但在研究對象上有所分工，在研究方法上有所不同。在材料力學里，基本上只研究所謂桿構件，也就是長度遠大于高度和寬度的構件。這種構件在拉壓、剪切、彎曲、扭轉作用下的應力和位移，是材料力學的主要研究內容。在結構力學里，主要是材料力學的基礎上研究桿狀構件所組成的結構，也就是所謂桿件系統，例如桁架、剛架等。至于非桿狀的結構，例如板和殼，以及擋土墻、堤壩、地基等實體結構，則在彈性力學里加以研究。對于桿狀構件作進一步的、較精確的分析，也須用到彈性力學。

雖然在材料力學和彈性力學里都研究桿狀構件，然而研究的方法卻不完全相同。在材料力學里研究桿狀構件，除了從靜力學、幾何學、物理學三方面進行分析以外，大都還引用一些關于構件的形變狀態或應力分布的假定，這就大大簡化了數學推演，但是，得出的解答往往只是近似的。在彈性力學里研究桿狀構件，一般都不必引用那些假定，因而得出的結果就比較精確，并且可以用來校核材料力學里得出了近似解答。例如，在材料力學里研究直梁在橫向荷載作用下的彎曲，就引用了平面截面的假定，得出的結果是：橫截面上的正應力（彎曲正應力）按直線分布。在彈性力學里研究這同一問題，就無須引用平面截面的假定。相反地，還可以用彈性力學里的分析結果來校核這個假定是否正確，并且由此判明：如果梁的深度并不遠小于梁的跨度，而是同等大小的，那么，橫截面上的正應力并不按直線分布，而是按曲線變化的，并且材料力學里給出的最大的應力將具有很大的誤差。又例如，在材料力學里計算有孔的拉伸構件，通常就假定拉應力在凈截面上均勻分布。彈性力學里的計算結果表明：凈截面上的拉應力原不是均勻分布，而在孔的附近發生高度的應力集中，孔邊的最大拉應力會比平均拉應力大出幾倍。

彈性力學吸收了結構力學中的超靜定結構分析法，大大擴展了它的應用范圍，使得某些比較復雜的本來是無法求解的問題，得到了解答。在20世紀50年代中葉發展起來的有限單元法中，把連續彈性體劃分成有限大小的單元構件，然后用結構力學里的位移法、力法或混合法求解，更加顯示了彈性力學與結構力學綜合應用的良好效果。

有限單元法（FEM，Finite Element Method）的基本概念是用較簡單的問題代替復雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對每一單元假定一個合適的近似解，然后推導求解這個域的滿足條件，從而得到問題的解。這個解不是準確解，而是近似解，因為實際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數實際問題難以得到準確解，而有限元不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。它廣泛地應用于求解熱傳導、電磁場、流體力學等問題，且已經應用于水工、土建、橋梁、機械、電機、冶金、造船、飛機等，幾乎所有的科學研究和工程技術領域。基于有限元分析（FEA）算法編制的軟件，即有限元分析軟件，通常根據軟件的適用范圍，可以將之區分為 專業有限元軟件和大型通用有限元軟件。實際上，經過了幾十年的發展和完善，各種專用的和通用的有限元軟件已經使有限元方法轉化為社會生產力。常見通用有限元軟件包括Ansys、Abaqus、Algor、Femap／NX Nastran、Hypermesh、COMSOL Multiphysics、FEPG等。