第四節 物理方程——應力與應變的關系

上面已經導出了平面問題的平衡方程和幾何方程。但是，僅有這兩組方程，還不能求解問題。這是因為式（2-1）、式（2-3）只含應力分量，而式（2-6）只含應變分量。我們必須將它們聯系起來，表示應力分量與應變分量的關系式，稱為物理方程。

在完全彈性的各向同性體內，應變分量與應力分量之間的關系已在材料力學中根據廣義胡克（R·hooke）定律導出如下：

式中 E——拉壓彈性模量，又簡稱為彈性模量；

μ——側向收縮系數，又稱為泊松系數；

G——剪切彈性模量，又稱為剛度模量。

這三個彈性常數之間有如下的關系：

因此，只要知道這三個彈性常數中的任何兩個，我們就可以根據式（2-9）求出第三個。

因為假定物體是線性彈性的、均勻的、各向同性的，所以，這些彈性常數不隨應力或應變的大小而變，不隨位置坐標而變，也不隨方向而變。

在平面問題中，式（2-9）所示的應力與應變關系可以得到簡化，下面分兩種情況來討論。

一、平面應力問題

在平面應力問題中，σ_z=τ_zy=τ_zx=0。在式（2-8）的第一式及第二式中刪去σ_z，并將式（2-9）代入式（2-8）中的第三式，得

這就是平面應力問題的物理方程。

此外，式（2-8）中的第三式成為

由式（2-11）可見，只要求出了σ_x和σ_y，也就可以求得ε_z，因此，ε_z不是獨立的量。在以后的討論中，我們不把它看作基本未知量，但可以由式（2-11）的ε_z求得薄板厚度的改變。

最后，由式（2-8）的第五、第六式可得γ_zy=γ_zx=0。

式（2-10）是由應力求應變的物理方程。反之，可由式（2-10）解出應力，即可得出由應變求應力的物理方程，可表示為

為了便于以后的應用，式（2-12）可寫成矩陣形式：

其中

［D］矩陣的元素只與彈性常數E及μ有關，故稱為平面應力問題的彈性矩陣，它是一個對稱矩陣。

二、平面應變問題

在平面應變問題中，因為物本的所有各點都不沿z方向移動（即ω=0），所以z方向的線段都沒有伸縮，因而得ε_z=0。于是由式（2-8）中的第三式，得

此式說明只要求出了σ_x和σ_y，也就隨之確定了σ_z，因此，σ_z也不作為基本未知量。所以，在分析平面應變問題時，只有σ_x、σ_y和τ_xy三個獨立的應力分量。將式（2-15）代入式（2-8）中的第一式及第二式，并注意式（2-10）中的第三式仍然適用，得

式（2-16）就是平面應變問題的物理方程。此外，在平面應變問題中，因τ_zy=0，τ_zx=0，所以也有γ_zy=0，γ_zx=0。

如將兩類平面問題的物理方程式（2-11）和式（2-16）加以比較，則可看出兩者雖不一樣，但是，若把平面應力問題的物理方程式（2-11）中的E換成E₁、μ換成μ₁，即

就得到平面應變問題的物理方程式（2-16）。其中的第三式也并不例外，讀者由E₁和μ₁的定義不難證明

應用式（2-17）的關系，將式（2-16）改寫成

由式（2-19）看出，兩類平面問題可以按照同樣的方式進行分析，只要利用轉換關系式（2-17），就可將平面應力問題的物理方程轉換成平面應變問題的物理方程。為了便于以后的應用，平面應當變問題的物理方程也可寫成式（2-13）的矩陣形式{σ}=［D］{ε}，只是其中的彈性矩陣［D］，應由式（2-17），將式（2-14）轉換成如下形式

兩類平面問題的物理方程雖用統一的式（2-13），但應用時需注意：平面應力問題的彈性矩陣使用式（2-14）；平面應變問題的彈性矩陣使用式（2-20）。