第三節 幾何方程——應變與位移的關系

再來討論平面問題中應變分量與位移分量之間的幾何關系式，即平面問題中的幾何方程。

物體在平面內的變形狀態有兩類物理量：一是給出各點在x方向的位移u和在y方向的位移v；二是給出各點微小矩形單元體的應變ε_x、ε_y、γ_xy，其中ε_x和ε_y分別表示沿x方向和y方向的線應變，γ_xy表示剪應變。

一、分析各點的位移

過彈性能體內的任意一點P，沿x軸和y軸的方向，取兩個微小長度的線段PA=dx，PB=dy，如圖2-11所示。假定彈性體受力以后，P、A、B三點分別移到P′、A′、B′。P點移到P′點之后，它沿x方向的位移分量用u表示，沿y方向的位移分量用v表示。由于A點經P點有一個dx坐標增量，因而A點相對于P點沿x、y方向的位移分量也應該有一個微小的增量，所以，A點沿x、y方向的位移，應分別為和。同理，由于B點比P點有一個dy坐標增量，故B點沿x、y方向的位移，應分別為和。

二、求正應變ε_x、ε_y

在彈性力學的基本假定中，位移是微小的。因此，線段PA在變形后，它沿y方向的位稱v，所引起的線段PA的伸縮是高一階的微量，可以略去不計。于是，線段P′A′的長度可用P′A₂的長度來代替。同理，P′B′的長度用P′B₂來代替。見圖2-11。

由正應變的定義可得

同理，由圖2-11可得

三、求剪應變γ_xy

根據剪應變的定義，線段PA與PB之間的直角的改變稱為P點的剪應變，并用γ_xy來表示。由圖2-11可見，這個剪應變是由兩部分組成的：一部分是由y方向的位移v引起的，即x方向的線段PA的轉角α；另一部分是由x方向的位移u引起的，即y方向的線段PB的轉角β。于是得γ_xy=α+β。

設P點在y方向的位移分量是v，則A點在y方向的位移分量將是。由圖2-11可知，線段PA的轉角是。

上式中，因α角很小，故可近似地取α≈tanα；又因與1相比很小，亦可能略去不計。

同理，可得線段PB的轉角于是可見到，PA與PB之間直角的改變為

規定γ_xy以直角的角度減小時為正。

綜合式（2-3）、式（2-4）、式（2-5），平面問題中三個應變分量ε_x、ε_y、γ_xy也就完全確定。得到平面問題中的幾何方程：

但反過來，當三個應變分量確定時，位移分量卻不能完全確定。為了說明這一概念，試令三個應變分量為零，即

先求出相應的位移分量。將式（a）代入幾何方程式（2-6），得

將式（b）的前兩式分別對x及y積分，可得

其中f（y）、g（x）為任意函數。式（c）代入式（b）中的第三式，得

式（d）右邊是y的函數，而右邊是x的函數，因而，只可能兩邊都等于同一常數，于是得

積分式（e），得

其中u₀、v₀、ω都為任意常數。將式（f）代入式（c），得

式（g）即為三個應變分量為零時的位移，當然也就是剛體平移。可以證明u₀及v₀分別為物體沿x軸及y軸方向的剛體平移，而ω為物體繞z軸的剛體轉動。應變為零存在剛體位移的概念，也可直接從物理意義上進行解釋。人們熟知，引起物體位移的原因有兩個：一個是由于彈性體受力或別的原因（如溫度改變，材料膨脹、收縮等）產生變形引起的；另一個是由于物體做剛體運動引起的。例如，簡支的伸臂梁，由于A支座沉陷ΔA，C點移到C′點，如圖2-12所示。顯然可見，此時AC桿并不產生應變（變形），但在C點去產生了位移ΔC。這就是清楚地說明，桿子應變為零，各點也可以生發位移。因此，雖然彈性體的應變已確定，但它仍可以做各種不同的剛體位移。在平面問題中，常數u₀、v₀、ω是任意的，反映位移是不確定的。為了確定這三個常數，消除剛體位移，就必須設有三個適當的約束條件，由此求出的位移才是完全確定的。

為了以后應用的方便，平面問題的幾何方程式（2-6）可用列陣表示為