第五節 邊界條件

邊界條件表示在邊界上位移與約束，或應力與面力之間的關系式。它可以分為應力邊界條件，位移邊界條件和混合邊界條件。

（1）應力邊界條件。

在圖2-13中，彈性體的邊界周線為S，其中自由邊界為S₁，其上作用給定的表面為、。另一部分固定邊界為S₂，其上位移u和v都為零。

在自由邊S₁上仍應滿足平衡條件。為了推導自由邊界處表面力、與單元體應力之間的平衡方程，我們在自由邊界處割取一個單元體。一般來說，這時所取勝的單元體不再是一個正六面體，而是一個微小的三角形或三棱柱體，如圖2-13中的ABD陰影部分所示。為了清楚起見，取隔離體受力圖（圖2-14），它的斜面AB與物體的邊界面重合，沿S方向的厚度取為t₀用n代表邊界面AB的外法線方向，它的方向余弦為cos（n，x）=l，cos（n，y）=m。

設邊界面AB的長度為ds，則截面DB及DA的長度分別為l·ds及m·ds。

由平衡條件∑F_x=0，得略去上式中包含ds平方的微量項，并兩邊除以tds，得

式（2-21）就是在邊界S₁上應力與表面力之間的平衡方程，稱為平面問題靜力邊界條件。

若彈性體處于平衡狀態，則在其內部應滿足平衡微分方程式（2-1），同時，在自由邊界S₁上應滿足應力邊界條件式（2-21）。

應注意：在應力邊界條件式（2-21）中，應力分量和面力分量分別作用于不同的面上，且各有不同的正負號規定。由于微分體是微小的，所以式（2-21）表示在邊界點，坐標面上的應力分量與邊界面（一般為斜面）上的面力分量之間的關系式。應力邊界條件是在邊界上建立的，因此，必須把邊界s的坐標表達式代入到左邊的應力分量中，式（2-21）才成立。

當邊界面為坐標面時，應力邊界條件可以化為簡單的形式。例如，若邊界面x=a為正x面（其外法線指向正x方向），l=1，m=0，則在此面上應力邊界條件式（2-21）簡化為

若邊界面x=b為負x面（其外法線指向負x方向），l=-1，m=0，則在此面上應力邊界條件式（2-21）簡化為

在式（a）和式（b）中，正、負x面上的面力分量一般為隨y而變化的函數。由式（a）和式（b）可見，由于應力分量和面力分量的正負號規定的不同，在正坐標面上，應力分量與面力分量同號；在負坐標面上，應力分量與面力分量異號。

從上還可見，應力邊界條件可以有兩種表達方式：一是在邊界點取出一個微分體，考慮其平衡條件，得出應力邊界條件。另一種表達方式是，在同一界面上，應力分量的邊界值就等于對應的面力分量。由于面力分量是給定的，因此，應力分量的絕對值等于面力分量的絕對值；而面力分量的方向就是應力分量的方向，并可按照應力分量的正負號規定來確定應力分量的正負號。

例如，若邊界面y=c，d分別為正、負y坐標面，按照這種表達方式，就同樣有

在平面問題中，每邊都有表示x向和y向的兩個邊界條件。并且，在邊界面為正、負x面時，應力邊界條件中并沒有σ_y；在邊界面為正、負y面時，應力邊界條件中并沒有σ_x。這就是說，平行于邊界面的正應力，它的邊界值與面力分量并不直接相關。

（2）位移邊界條件。

若圖2-13中在s₂部分邊界上給定了約束位移分量u（s）和v（s），則對于此邊界上的每一點，位移函數u和v應滿足

其中u（s）和v（s）是位移的邊界值，u（s）和v（s）是位移在邊界上坐標的已知函數，式（2-22）稱為平面問題的位移邊界條件。對于完全固定邊，u=v=0，有

（3）混合邊界條件。

在平面問題的混合邊界條件中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件，如式（2-22）所示；另一部分邊界則具有已知面力，因而具有應力邊界條件，如式（2-21）所示。此外，在同一部分邊界上還可能出現混合邊界條件，即兩個邊界條件中的一個是位移邊界條件，而另一個則是應力邊界條件。例如，設某一個x面時連桿支承邊，如圖2-15（a）所示，則在x方向有位移邊界條件（u）_s=u=0，而在y方向有應力邊界條件（τ_xy）_s=f_y=0。又例如，設某一個x面是齒槽邊，如圖2-15（b）所示，則在x方向有應力邊界條件（σ_x）_s=f_x=0，而在y方向有位移邊界條件（v）_s=v=0。在垂直于y軸的邊界上，以及與坐標軸斜交的邊界上，都可能有與此相似的混合邊界條件。