第二節 平衡方程——應力與外力的關系

下面推求平面問題中應力與外力之間的平衡方程的基本思路是：從彈性體中任一點處取出一個單元體，考慮其平衡，應用靜力學的三個平衡條件，找出應力與體力的關系。

我們從薄板（或長柱體內）取出一個微小的單元體，如圖2-10所示。單元體平面尺寸為dx×dy，厚度為t。微小單元體上作用有內部的體積力和四個側面上的應力。

現在分析單元體上下、左右四個側面上的應力情況。一般說來，物體內各點的應力分量是不相同的，它們應是坐標x、y的函數。因此，作用于左右兩面三對面或上下兩對面的應力分量不完全相同，而具有微小的差值。例如，設作用于左面的正應力是σ_x，則作用于右面的正應力，由于x坐標的改變，根據臺勞展開式，將是+…，略去二階及二階以上的微量后便是。同樣，設左面的剪應力是τ_xy，則右面的剪應力將是τ_xy+其余類推。單元體各側面上的應力分量如圖2-10所示。由于單元體各側面尺寸是微小的，在推導平衡方程時，我們又只考慮單元的合力。因此，各個面上所受的應力可以假設為均勻分布，并作用在對應面的中心。同理，六面體所受的體力，也可假設為均勻分布，并作用在它的體積的中心。

下面，根據三個平衡條件列出方程。

（1）各力在x軸方向上的投影代數和應等于零，由∑F_x=0，得，簡化以后，兩邊除以tdxdy，得

（2）同樣，各力在y軸方向上的投影代數和應等于零，由∑F_y=0，可得

為清楚起見，將這兩個式子排在一起：

式（2-1）表示平面問題中應力分量（σ_x、σ_y、τ_xy=τ_yx）和體力分量（f_x、f_y）之間的關系，稱為平面問題的平衡微分方程。

（3）最后，各力對單元體中心的力矩代數和應等于零，由∑M₀=0，得，將上式除以tdxdy，合并相同的項，得到將兩邊微量項和略去不計（即dx、dy趨于零），得出

這就再一次證明了材料力學給出的剪應力互等關系。

由式（2-1）方程看出，它包含著三個未知函數σ_x、σ_y、τ_xy=τ_yx，僅用這兩個方程是不可能求出三個應力分量的。因此，確定應力分量是超靜定問題，還必須考慮變形條件，即幾何條件和物理條件。

需要指出，對于平面應變問題，在圖2-10所示的六面體上，一般還有作用于前后兩面的正應力σ_z。但是，由于它們自成平衡，完全不影響方程式（2-1）及式（2-2）的建立，所以上述方程對于是兩種平面問題都同樣適用。