第二章 彈性力學平面問題的基本理論

第一節(jié) 彈性力學兩種平面問題

任何一個實際的工程問題嚴格來說都屬于空間問題。但在多數(shù)情況下，常可以將空間問題簡化為平面問題來進行分析。下面我們來討論，彈性體必須具有什么樣的受力狀態(tài)（外力荷載）及幾何形狀，才能夠簡化為平面問題。

彈性力學平面問題可分為兩類：一類稱為平面應(yīng)力問題；另一類稱為平面應(yīng)變問題。

一、平面應(yīng)力問題

在工程中常見到這樣一類結(jié)構(gòu)，例如短而高的深梁（圖2-1）、開有孔洞的剪力墻（圖2-2）及開有孔洞或凹槽的受簡單拉伸的鋼板條（圖2-3）等，它們都具有以下共同的特點。

（1）在幾何外形上，它們都是等厚度的平面薄板。

（2）在受力狀態(tài)下，面力都是作用在板邊上，且平行于板面，并且不沿厚度變化；體力也平行于板面，并且不沿厚度變化。

設(shè)薄板的厚變?yōu)?i>t，平分薄板厚度t的平面稱為薄板的中面。外力合力應(yīng)在薄板中面平面內(nèi)。現(xiàn)在，以深梁為例，分析它們的應(yīng)力特點。

設(shè)薄板的中面為xoy平面，垂直于中面的任一直線設(shè)為z軸（圖2-4）。因為板面上不受力，故作用在該面上的應(yīng)力必等于零（圖2 5），所以有

那么，在薄板上的內(nèi)部這些應(yīng)力分析量是否也為零呢?不難想象，由于板很薄，外力又不沿厚度變化，應(yīng)力沿著板的厚度應(yīng)是連續(xù)分布的，因而，即使在薄板內(nèi)部會出現(xiàn)這些應(yīng)力，其值也是很微小的。因此，可以近似地假設(shè)在整個薄板的所有各點均有

σ_z=0；τ_zx=0；τ_zy=0

根據(jù)剪應(yīng)力的互等關(guān)系，又可得τ_xz=0，τ_yz=0。這樣，在六個獨立的應(yīng)力分析量中，只剩下平行于xoy坐標面的三個應(yīng)力分量，即σ_x、σ_y、τ_xy相應(yīng)的應(yīng)變分析量ε_x、ε_y、γ_xy和位移分量u、v，都可認為是x和y的函數(shù)，而與z坐標無關(guān)。它們均沿板厚均勻分布。

這里應(yīng)當注意的是，上面所述的彈性體，在與z軸垂直的兩個側(cè)面是不受約束的。因而，薄板在z方向可以任意變形，也就是說，沿z方向的應(yīng)變ε_z和位移w并不等于零。在平面應(yīng)力問題中有σ_z=0，而ε_z≠0。

二、平面應(yīng)變問題

在工程中還會遇到另一類結(jié)構(gòu)，如橫縫灌漿的重力水壩（圖2-6）、隧道（圖2-7）、擋土墻（圖2-8）、高壓管道及船塢的底板等等。

這一類結(jié)構(gòu)的共同特點如下。

（1）在幾何形狀上，它們都是一個近似等截面的長柱體，它們的長度要比橫截面的尺寸大得很多。

（2）在受力情況上，它們都只受平行于橫截面且沿縱向長度均布的面力和體力。有的在縱向的兩端還受有約束。

下面分析它們的變形情況。

設(shè)長柱體的任一橫截面為xoy坐標面，如圖2-9所示，沿長度方向取為z軸。

兩端的約束可分為以下兩種情況。

第一種情況如隧道（圖2-7）。柱形體很長，分析時可以假想該柱形體為無限長，其端點不受z方向的約束。此時，任一橫截面都可以看作是對稱面。由于對稱，橫截面上各點只有沿x和y方向的位移，而不會是沿z方向的位移，即w=0，由此得ε_z=0。又由對稱條件可知τ_zx=0，τ_zy=0。利用剪應(yīng)力的互等關(guān)系，可得τ_xz=0，τ_yz=0。

第二種情況如水壩（圖2-6）。兩端受到z方向巖層的約束，因此，兩端面不能沿z軸方向移動。在此，我們設(shè)想將水壩沿z軸方向，切成許多厚度相等的的并在xoy平面內(nèi)的薄片。這些薄片的幾何形狀和受力情況都是相同的，所以，這些薄片的應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量，都可看成是x、y函數(shù)，而與z坐標無關(guān)。為此，我們可以近似地認為，柱體任一橫截面上所有各點的軸向位移w=0。從而，沿z方向的正應(yīng)變ε_z=0，各薄片的兩側(cè)面仍保持為平面，因此與z方向有關(guān)的兩個剪應(yīng)變γ_zx、γ_zy也必等于零，相應(yīng)的剪應(yīng)力τ_zy、τ_zx也就等于零。再根據(jù)剪應(yīng)力的互等性τ_zy=τ_yz、τ_zx=τ_xz。這樣獨立的應(yīng)變分量中，只剩下平行于xoy坐標面的ε_x、ε_y和γ_xy三個應(yīng)變分量了。

上述兩種邊界約束情況，其共同特點是：任一橫截面上，所有各點的z軸方向位移都等于零，沿z方向的正應(yīng)變也等于零，并且，所有各點的位移矢量都平行于xoy坐標面，這種問題本應(yīng)稱為平面位移問題，但又因為應(yīng)變分量只剩下平行于xoy坐標面的ε_x、ε_y和γ_xy了，變形也只發(fā)生在橫截面內(nèi)，因此，人們又把這類問題稱為平面應(yīng)變問題，習慣中常用后一種稱呼。這里應(yīng)當注意的是：平面應(yīng)變問題有ε_z=0，但σ_z≠0。

需要指出的是許多實際工程問題，如隧道、擋土墻等，并不完全符合無限長柱形體的條件。但實踐證明，對于離開兩端足夠遠的截面，按平面應(yīng)變問題進行分析，其計算結(jié)果完全可以滿足工程上的精度要求。

上述兩類問題有許多共同特點，統(tǒng)稱為彈性力學平面問題。平面問題是工程實際中經(jīng)常遇到的問題，但是，并不是所有工程問題都可簡化為平面問題來處理。如薄拱壩、板的彎曲和兩球體之間的彈性接觸等等問題，都屬于空間問題，都必須按空間問題去求解。