4.2 恒定元流的能量方程

4.2.1 理想液體元流能量方程

由于理想液體運動微分方程式（4.1）為非線性偏微分方程，只有特定條件下才能求得其解。這些特定條件如下。

（1）恒定流動。有

（2）沿流線積分。設(shè)流線上的微元線段矢量dl=dxi+dyj+dzk，將dx、dy、dz分別乘理想液體運動微分方程式（4.1）的3個分式，然后將3個分式相加得

對于恒定流動，流線與跡線重合，所以沿流線下列關(guān)系式成立，即

（3）質(zhì)量力只有重力，則

fx=0, fy=0, fz=-g

根據(jù)以上積分條件，式（4.12）可簡化為

（4）不可壓縮均質(zhì)液體，ρ=常數(shù)。式（4.13）可寫為

對同一流線上的任意兩點1、2，有

式（4.14）為理想液體運動微分方程沿流線的伯努利積分，式（4.15）、式（4.16）為重力場中理想液體沿流線的伯努利積分式，稱為伯努利方程，又稱理想液體元流能量方程。

由于元流的過水斷面面積無限小，所以沿流線的伯努利方程也適用于元流。推導方程引入的限定條件，就是理想液體元流（流線）伯努利方程的應用條件，歸納起來有：理想液體；恒定流動；質(zhì)量力只有重力；沿元流（流線）積分；不可壓縮液體。

4.2.2 理想液體元流能量方程的幾何意義和物理意義

1.理想液體元流能量方程的幾何意義

z是元流過水斷面中心點到基準面的高差，單位為m，稱為位置水頭。是元流過水斷面處測壓管液面到該過水斷面中心點的高差，單位為m，稱為壓強水頭。是元流過水斷面處測壓管液面到基準面的高差，稱為測壓管水頭。

單位為m，稱為速度水頭。稱為總水頭。

理想液體元流能量方程的幾何意義為：當理想不可壓縮液體在重力場中作恒定流動時，沿同一元流（沿同一流線）液體的位置水頭、壓強水頭和速度水頭在流動過程中可以互相轉(zhuǎn)化，但各過水斷面的總水頭保持不變。將元流各過水斷面的總水頭頂端連成一條線，稱為總水頭線。將元流各過水斷面的測壓管液面連成一條線，稱為測壓管水頭線，如圖4.4所示，理想液體的總水頭線是一條水平線，而測壓管水頭線可升可降。

2.理想液體元流能量方程的物理意義

參考z的幾何意義，很易理解mgz為元流的位置勢能，而，則z表示單位重量液體所具有的位置勢能，簡稱單位位能。因與z的單位相同，均為 m，同理可得：

表示單位重量液體所具有的壓強勢能，簡稱單位壓能。

表示單位重量液體具有的總勢能，簡稱單位總勢能。

表示單位重量液體所具有的動能，簡稱單位動能。

表示單位重量液體所具有的機械能，簡稱單位機械能。

理想液體元流能量方程的物理意義為：當理想不可壓縮液體在重力場中作恒定流動時，沿同一元流（沿同一流線）單位重量液體的位置勢能、壓強勢能和動能在流動過程中可以相互轉(zhuǎn)化，但它們的總和保持不變，即單位重量液體的機械能守恒，這就是理想液體的測壓管水頭線可升可降而總水頭線是一條水平線的原因。

4.2.3 實際液體元流能量方程

實際液體都具有黏性，在流動過程中會產(chǎn)生流動阻力，克服阻力做功，液體的一部分機械能將不可逆地轉(zhuǎn)化為熱能耗散，因此，實際液體的機械能沿程減小，總水頭線沿程下降。根據(jù)能量守恒原理，實際液體元流的伯努利方程為

式中——實際液體元流單位重量液體從1—1過水斷面流到2—2過水斷面的機械能損失，稱為元流的水頭損失，m。