4.1 液體運動微分方程

4.1.1 理想液體運動微分方程

在運動的理想液體中任取微元直角六面體ABCDEFGH，該六面體的各邊與相應坐標軸平行，邊長分別為dx、dy、dz，如圖4.1所示。

作用于六面體ABCDEFGH上的力有表面力和質量力。下面先推導x方向的理想液體運動微分方程。

（1）表面力。周圍理想液體作用于六面體6個面上的表面力只有壓力，x方向上的壓力只有PABFE和PCDHG。設六面體形心O′（x,y，z）處的壓強為p，ABFE面上形心點m及CDHG面上形

心點n處的壓強即可表示為p-和，則作用在ABFE面上的總壓力，作用在CDHG面上的總壓力PCDHG=。

（2）質量力。設作用于六面體ABCDEFGH上的單位質量力在x方向的投影為fx，則x方向上的質量力為fxρdxdydz。

根據牛頓第二定律∑F=ma，x方向的分量式為

將加速度項展開成歐拉法表達式：

式（4.2）即為理想液體運動微分方程，也稱為歐拉運動微分方程。

理想液體的運動時，一般含有ux、uy、uz、p共4個未知量，將連續性微分方程式（3.14）和式（4.2）組成基本方程組，滿足未知量和方程數目一致，流動可以求解。因此，理想液體運動微分方程和連續性微分方程奠定了理想液體動力學的理論基礎。

4.1.2 黏性液體運動微分方程

1.黏性液體的應力

實際液體具有黏性，在作用面上的表面應力既有壓應力，也有切應力。

在流場中任取一點M，過該點作一垂直于z軸的水平面，如圖4.2 所示。過M點作用于水平面上的表面應力pn在x、y、z軸上的分量為一個垂直于水平面的壓應力pzz和兩個與水平面相切的切應力τzx、τzy。壓應力和切應力的下標中第一個字母表示作用面的法線方向，第二個字母表示應力的作用方向。顯然，通過M點在3個相互垂直的作用面上的表面應力共有9個分量，其中3個是壓應力pxx、pyy、pzz，6個是切應力τxy、τxz、τyx、τyz、τzx、τzy，將應力分量寫成矩陣形式：

9個應力分量中，由于τxy=τyx、τyz=τzy、τzx=τxz，黏性液體中任意一點的應力分量只有6個獨立分量，即τxy、τyz、τzx、pxx、pyy、pzz。

2.應力形式的運動方程

在黏性液體的流場中，取一以點M為中心的微元直角六面體，其邊長分別為dx、dy、dz。設M點的坐標為（x，y，z），液體在M點處的速度分量為ux、uy、uz，密度為ρ。根據泰勒級數展開，并略去級數中二階以上的各項，六面體各表面上中心點的應力如圖4.3所示。六面體很小，各表面上的應力可看作是均勻分布的，各表面力通過相應面的中心。先討論六面體內液體在x軸方向受力和運動情況。

作用于六面體的力有質量力和表面力兩種，x方向上的表面力有

將三式相加，得

設作用于六面體的單位質量力在x軸上的分量為fx，則x方向上作用于六面體的質量力為ρfxdxdydz。根據牛頓第二定律有

化簡上式可得

式（4.4）就是以應力表示的黏性液體的運動微分方程。式中單位質量力的分量fx、fy、fz通常是已知的，對于不可壓縮均質液體而言，密度ρ是常數，所以上式中包含6個應力分量和3個速度分量，共9個未知量。而式（4.4）中只有3個方程式，加上連續性微分方程也只有4個方程式，無法求解，因此必須找出其他的補充關系式。這些關系式可以從對液體質點的應力分析中得到。

3.黏性液體應力與變形速度的關系

黏性液體的應力與變形速度有關，其中切應力與角變形速度有關，壓應力則與線變形速度有關。

由式（1.3），切應力：

根據第3章介紹過的液體微團角變形速度內容，可得

從而有

因此，切應力與角變形速度的關系式寫作：

式（4.6）即為黏性液體切應力的普遍表達式，稱為廣義牛頓內摩擦定律。

流場中某點的壓應力p可以表示為過該點3個相互正交平面上壓應力的平均值，即

則黏性液體各個方向的壓應力pxx、pyy、pzz可以表示為這個平均值p加上一個相應的附加壓應力，而附加壓應力是流體微團在法線方向上發生線變形引起的，故可得：

4.納維-斯托克斯方程

將式（4.6）和式（4.8）代入以應力形式表示的黏性液體的運動微分方程式（4.4），寫出x方向的方程式為

整理得到：

由不可壓縮均質黏性液體的連續性方程：

引入拉普拉斯算子：

將連續性方程和式（4.10）代入式（4.9），并將加速度項展開，得

式(4.11)即為不可壓縮均質黏性液體的運動微分方程，即納維-斯托克斯方程，簡稱N-S方程。如果液體是理想液體，上式則成為理想液體的運動微分方程；如果液體為靜止液體，上式則成為歐拉平衡微分方程。所以，N-S方程是不可壓縮均質液體的普遍方程。

N-S方程中有4個未知量有p、ux、uy、uz，加上連續性方程共有4個方程式，從理論上講，任何不可壓縮均質液體的N-S方程，在一定的初始和邊界條件下，是可以求解的。但是，N-S方程是二階非線性偏微分方程組，要進行求解是很困難的，只有在某些簡單的或特殊的情況下才能求得精確解。目前一般采用數值計算方法利用計算機求解，得到近似解，這部分內容可參閱有關計算流體力學的教材或參考書。

N-S方程的精確解，雖然為數不多，但能揭示黏性液體的一些本質特征，其中有些還有重要的實用意義。它可以作為檢驗和校核其他近似方法的依據，探討復雜問題和新的理論問題的參照點和出發點。