第八節　平行力系的中心與重心

由空間力系的簡化原理可知,空間平行力系一般可簡化成一個與各力同方位的主矢和一個與主矢相垂直的主矩矢,若進一步合成就可得一合力,設合力的作用點為C點,如圖3-22所示。此時若將力系中各力繞各自作用點按同一方向轉過同一角度α后再合成,則合力的作用點仍在C點,可見,空間平行力系合力的作用點不隨力的方向而變,是確定的,我們把這個點稱為平行力系的中心。

重力是地球對物體的引力,嚴格地講這些引力構成匯交力系,匯交點為地球中心,但由于物體的尺寸相對地球來說實在太小,故物體重力組成的力系可近似地看成是平行力系,這時,該力系的中心可稱為物體的重心。重心是一個非常重要的概念,它的位置與物體的平衡與運動以及穩定有著直接關系,因此,有必要了解重心的概念及其位置的確定方法。如果有了平行力系中心確定方法,則重心就可以用相同方法確定。

一、平行力系中心位置的確定

設有一空間平行力系F1,F2,…,Fn,其合力為FR,如圖3-22所示,若各力作用點的坐標為(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n),平行力系中心C點的坐標為(xC,yC,zC),則由合力矩定理有

由于平行力系中心與各力作用線的方位無關,因此可將上述力系中各力按相同轉向轉到與y軸平行的位置(即α=90°)并對x軸取矩,有

由此得

這就是平行力系中心C點的位置坐標。

二、重心位置的確定

若將物體分割成許多微小部分,則在重力場中,其每一部分都要受到重力ΔPi的作用。在圖3-23所示坐標下,設其作用點為Mi(xi,yi,zi)(i=1,2,…,n)。

顯然合力P的大小為設物體的重心坐標為C(xC,yC,zC),則由式(3-32)可直接得出

可見,物體分割得越細,即每小塊體積越小,則按式(3-33)計算出的重心位置就越精確,在極限情況下可用積分計算,即

對于均質物體,設其密度為ρ,若分割成有限部分,第i塊體積為ΔVi,整體體積為V,則由式(3-34)可得

式(3-35)表明,均質物體的重心位置完全取決于物體的幾何形狀。而與物體的重量無關,這時C點也往往稱為形心。

在極限情況下,均質物體的重心坐標可由式(3-34)直接得出,即

對于均質等厚薄板,類似地可得重心公式

對于均質線段,類似地可得重心公式

【例3-9】　求圖3-24所示三角形的重心。

解:取圖3-24示坐標系Oxy,可用積分法求出重心的坐標(xC,yC)。若先確定重心C的y坐標yC,則可取微元dS=a1dy,a1為微元dS的寬度。根據式(3-37)得

由于微元的重心在其中點,所以各微元的重心都在中線AE上,質心也應在AE上,由圖可見

由本例可以看出,規則形體的重心位置總可以較容易地用積分法確定,故簡單物體的形心位置均可通過積分法求得。

前面是通過積分公式確定物體的重心坐標。如果物體很不規則,積分將會遇到困難。但有些物體由于有其特殊性,如對稱性或可劃分成幾個規則形體等,則這時可經過特殊分析處理,使其重心位置的確定更加簡單。

如對于對稱物體,由于其具有對稱軸、對稱面或對稱中心等,則其重心必在物體的對稱軸、對稱面或對稱中心上,其具體位置進一步可由前述公式確定。

對于組合形體,盡管它們不很規則,但一般來說它們是由若干個簡單形體組合而成的。若已知簡單形體的重心,則整個組合形體的重心就可用式(3-35)直接求出。這時的體積、面積和長度可以有正負值。這比用積分法要簡單得多。

【例3-10】　試求Z字形截面重心的位置,尺寸如圖3-25所示。

解:取坐標軸如圖所示,將Z字形截面分為三個部分,每部分都是矩形,若矩形的面積用Ai表示,(i=1,2,3),其質心坐標用(xi,yi)表示,則

將這些數據代入式(3-35),得到Z字形截面重心位置為

【例3-11】　已知振動器中的偏心塊的幾何尺寸,r1=10cm,r2=3cm,r3=1.7cm,求偏心塊重心的位置(圖3-26)。

解:本題仍是平面圖形的重心問題,由于此圖形具有對稱軸,取坐標系如圖所示,則顯然有xC=0。yC可用組合法求出:將整個圖形看成由三部分組成,即半徑為r1的半圓,半徑為r2的半圓以及半徑為r3的小圓,圓與半圓均屬簡單圖形,利用式(3-35)就可求出重心位置坐標。但是按這種分割方法,小圓實際上并不在圖形上,如果用兩半圓的面積代入公式中所確定的質心坐標將整整多出了小圓面積的影響,故計算中應把小圓去掉,即應減去小圓面積對重心的影響,這時,只要把小圓的面積用負值代入,便會得到本圖形的重心坐標。

于是,整個物體重心坐標為