第七節(jié)　空間力系的平衡問題

求解空間力系的平衡問題,其步驟與求解平面力系一樣,一般仍是先確定研究對象,進行受力分析并作出受力圖,選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,列出平衡方程并求解未知量。在一般情況下,空間力系有六個獨立的平衡方程,它可求解六個未知量,在求解中,投影和取矩軸可視解決問題的方便適當(dāng)選取,這樣就可以使每一平衡方程中包含的未知數(shù)最少,計算得以簡化。另外,有時為了方便,也可減少平衡方程中的投影方程,而將平衡方程表示為四力矩形式以至六力矩形式。但這時投影軸與力矩軸之間要有一定的限制,這里不再詳述。

【例3-6】　圖3-19(a)所示為一簡易起吊裝置,桿AB的A端為球形絞鏈支座,另一端B裝有滑輪,并用系在墻上的繩子CB和DB拉住,若已知γ=30°,β=45°,P=10kN,DBC在水平面上且DE=CE=BE=a,求桿AB和繩子CB,BD的內(nèi)力。

解:(1)以滑輪B為研究對象。

(2)受力分析:因桿AB不計自重,且只在兩端受力,故AB為二力桿;作用在B上的力有:桿AB對滑輪的力FN,各繩子的拉力FT1,FT2,FT3和FT4,如圖3-19(b)所示,由于不計滑輪尺寸,則可將B處的力視為匯交力系。若取B點為坐標(biāo)原點,建立圖示坐標(biāo)系。則平衡方程為

將FT3=FT4=10kN,γ=30°,β=45°代入,解上面三個方程得

桿AB的內(nèi)力與FN大小相等,方向相反,且為壓力,繩子CB和BD的內(nèi)力也分別與FT1和FT2互為作用與反作用力。

【例3-7】　圖3-20所示三輪車自重P1=8kN,載荷P2=10kN,且P2作用在B,C兩輪連線上,求地面對3個輪子的約束反力。圖中長度單位為m。

解:(1)取三輪車為研究對象。

(2)受力分析:三輪車在靜止時,只受重力P1,載荷P2和地面的約束反力FA,FB和FC作用。這些力構(gòu)成一空間平行力系,若取坐標(biāo)系Oxyz如圖3-20所示,則利用空間平行力系平衡方程得

代入已知數(shù)據(jù)并聯(lián)立求解得

空間任意力系有六個獨立的平衡方程,可求解六個未知量,但其平衡方程不局限于式(3-30)所示的形式。為使解題簡便,每個方程中最好只包含一個未知量。為此,選投影軸時應(yīng)盡量與其余未知力垂直;選取矩的軸時應(yīng)盡量與其余的未知力平行或相交。投影軸不必相互垂直,取矩的軸也不必與投影軸重合,力矩方程的數(shù)目可取3～6個。現(xiàn)舉例如下。

【例3-8】　圖3-21所示均質(zhì)長方板由六根直桿支持于水平位置,直桿兩端各用球鉸鏈與板和地面連接。板重為P,在A處作用一水平力F,且F=2P。求各桿的內(nèi)力。

解:取長方體剛板為研究對象,各支桿均為二力桿,設(shè)它們均受拉力。板的受力圖如圖3-21所示。列平衡方程

解得

解得

解得

此例中用六個力矩方程求得六個桿的內(nèi)力。一般力矩方程比較靈活,常可使一個方程只含一個未知量。當(dāng)然也可以采用其他形式的平衡方程求解。如用∑Fx=0代替式(b),同樣求得F1=0;又,可用∑Fy=0代替式(e),同樣求得讀者還可以試用其他方程求解。但無論怎樣列方程,獨立平衡方程的數(shù)目只有六個。空間任意力系平衡方程的基本形式為式(3-30),即三個投影方程和三個力矩方程,它們是相互獨立的。其他不同形式的平衡方程還有很多組,也只有六個獨立方程,由于空間情況比較復(fù)雜,本書不再討論其獨立性條件,但只要各用一個方程逐個求出各未知數(shù),這六個方程一定是獨立的。