第五節(jié)　簡單平面桁架的內(nèi)力計算

桁架是由若干根直桿兩端鉸接而組成的承載結(jié)構(gòu),它在受力后幾何形狀不變。

所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架稱為平面桁架,否則稱為空間桁架。桁架中桿件的鉸接點稱為節(jié)點。

因為桁架具有結(jié)構(gòu)重量輕、承載量大、制造成本低等優(yōu)點,因此常用在工程結(jié)構(gòu)中。例如屋頂?shù)姆考?如圖2-30所示。橋梁也經(jīng)常由桁架組成,如圖2-31所示。還有油田的井架、起重機、電視塔鋼架等。

本節(jié)只研究平面桁架中的靜定桁架。如果從桁架中任意除去一根桿件,則桁架就會活動變形,這種桁架稱為無余桿桁架。可以證明只有無余桿桁架才是靜定桁架。如圖2-32(a)所示的桁架就屬于這種桁架。反之,如果除去某幾根桿件仍不會使桁架活動變形,則這種桁架稱為有余桿桁架,如圖2-32(b)所示。圖2-32(a)所示的無余桿桁架是以三角形框架為基礎,每增加一個節(jié)點需增加兩根桿件,這樣構(gòu)成的桁架又稱為平面簡單桁架。容易證明,平面簡單桁架是靜定的。

在計算桁架中各桿內(nèi)力時,常引入以下三條假設,對實際桁架進行理想處理:

(1)各桿均為直桿,且不計自重。

(2)各桿均為光滑鉸鏈連接。

(3)所有外力都作用在節(jié)點上。

在這樣簡化之后,桁架中各桿都成為二力直桿,因此各桿只受軸向拉力或壓力。計算時可假設各桿均受拉力,計算后由各內(nèi)力數(shù)值的正負號表示內(nèi)力是拉力還是壓力(拉力為正,壓力為負)。

因此桁架處于平衡狀態(tài),故可取其中任何部分作為研究對象。一般先取整體,求得整體的約束反力,然后再取各個部分,求桿的內(nèi)力。

求桁架的內(nèi)力一般采用節(jié)點法或截面法。

所謂節(jié)點法,是指每次取一個節(jié)點作為研究對象。由于每個節(jié)點上都作用著一個平面匯交力系,因此可以列出兩個平衡方程并求得兩個未知力。為避免解聯(lián)立方程,應當每次取一個節(jié)點,其中只包含兩根未知內(nèi)力的桿,依次取下去,可以求得全部桿件的內(nèi)力。

所謂截面法,就是假想用一個截面將桁架中若干根桿截開,將桁架截成兩個部分,取其中一部分為研究對象,求得截面處各桿的內(nèi)力。由于所取的研究對象上一般作用著平面任意力系,故有三個獨立的平衡方程,可解出三個未知內(nèi)力,這就是說所取的截面每次只能截開僅有三根未知內(nèi)力的桿,方可求出它們的內(nèi)力。

節(jié)點法適用于求桁架中所有桿件內(nèi)力的情況,而截面法更適合于只求桁架中某幾根桿的內(nèi)力情形。下面通過例題介紹其應用。

【例2-12】　一桁架的結(jié)構(gòu)尺寸如圖2-33(a)所示。已知載荷F1=400N,F2=1200N,求各桿內(nèi)力,并指出每根桿受拉力還是壓力。

解:(1)取整體為研究對象,求約束反力。

(2)用節(jié)點法求各桿內(nèi)力。先取節(jié)點A,受力圖如圖2-33(b)所示。

代入FAx、FAy的數(shù)值后解出

再取節(jié)點C,受力圖如圖2-33(c)所示。

依次取節(jié)點E、F、B,受力圖分別如圖2-33(d)～(f)所示,可分別列出投影方程并解出

在解題時,各桿內(nèi)力均按拉力假設,計算出結(jié)果后,正值表示拉力,負值表示壓力。

在以上例題中都是用解析法計算,也可以采用幾何法,即作出力三角形求解,請讀者一試。

【例2-13】　平面桁架受力圖如圖2-34(a)所示。已知FC=100kN,FE=FG=20kN,試求其中4、5、7、10桿的內(nèi)力。

解:(1)取整體為研究對象,求出約束反力。

(2)由節(jié)點法求解,依次取節(jié)點A、C、D、E,其受力圖如圖2-34(b)～(e)所示,通過列投影方程可解出

在這里,由于采用節(jié)點法,必須從只含兩個未知內(nèi)力的節(jié)點開始依次取各節(jié)點為研究對象,因而為求4、5、7、10桿的內(nèi)力,須先求出1、2、3、6桿內(nèi)力做準備。這顯然增加了計算工作量。

(3)用截面法求4、5、7、10桿的內(nèi)力。作截面Ⅰ-Ⅰ將4、5、6桿截開,取左部分為研究對象,如圖2-35所示。

再作截面Ⅱ-Ⅱ?qū)?、5、7、10桿截開,取右部分為研究對象,如圖2-36所示。

F7可由∑Fy=0求出,但也可由節(jié)點E的受力情況直接看出,即

由此例可以看出:節(jié)點法與截面法各有特點,節(jié)點法解題思路簡單,但計算工作量較大;截面法比較靈活,計算量相對節(jié)點法要少。有時這兩種方法互相結(jié)合,對解題是有利的。