第四節　物體系的平衡　靜定與靜不定的概念

所謂物體系,是指由若干個構件按一定方式組合而成的機構或結構。這里構成物體系的構件主要是剛體。因此也稱為剛體系統。

若物體系中的每個物體和物體系整體都處于平衡狀態,則稱該物體系處于平衡狀態,研究物體系平衡問題的主要要求如下:

(1)求外界對物體系整體的約束反力。

(2)求物體系內各物體之間相互作用的內力。

(3)求機構平衡時主動力與工作阻力之間的關系。

既然物體系平衡,那么其中任何一構件都平衡,因此求解這類問題時,應當根據題目的具體要求(不外乎上述三種要求),適當地選取研究對象,逐步進行求解。求解物體系平衡問題的關鍵,在于正確分析、適當選取研究對象,最好在解題之前,先建立一個清晰的解題思路,再按思路依次選取研究對象進行求解。

另外還必須指出,在給定一個力系之后,按照平衡條件所能寫出的獨立平衡方程的數目是一定的。如一個平面力系,最多有三個獨立的平衡方程式,因此從中最多可以求出三個未知量。對于物體系平衡問題也是這樣,設物體系由n個物體組成,每個物體上都作用著一個平面力系,則最多可能有3n個獨立的平衡方程式。若其中某些物體上作用的力系是匯交力系,平行力系等,則獨立的平衡方程式數目還要隨之減少。相應地,最多可以由這些方程中求得3n個未知量。這就是說,若物體系所能列出的獨立的平衡方程個數與物體系中所包含的未知量個數相同,則這樣的問題僅用靜力學條件就能求解;若所能列出的獨立的平衡方程個數少于未知量總數,則僅用靜力學條件不能求出全部未知量。據此分析,可以把物體系的平衡問題分成兩大類:

(1)靜定問題,即所研究的問題中包括的獨立平衡方程的個數與未知量(主要是約束反力)個數相等,這樣可以僅依靠靜力平衡條件求解全部未知量。靜定問題是靜力學(嚴格地說是剛體靜力學)研究的主要問題。

(2)靜不定問題,即問題中包含的獨立平衡方程的個數少于未知量個數。這類問題僅用靜力學條件不能求出所有的未知量,這時就要考慮物體的變形,從而列出補充方程,使方程數與未知量數相等,以求出全部未知量。所以,靜不定問題的求解已超出剛體靜力學的研究范圍,這將在材料力學、結構力學等課程中討論。

靜不定問題也稱為超靜定問題,其未知量總數與獨立的平衡方程總數之差,稱為該問題的靜不定次數或超靜定次數。

下面給出幾個靜不定問題的簡例。

圖2-23表示兩根和三根繩索吊起一個重物。其中圖2-23(a)為靜定問題,而圖2-23(b)為靜不定問題。因為該問題為一個平面匯交力系,只有兩個獨立的平衡方程,可求解兩個未知反力?，F在有三根繩索,僅依平衡方程不能全部求出三個約束反力(即三繩的張力)。該問題為一次靜不定問題。

圖2-24(a)表示一個連續梁結構,有三個獨立的平衡方程,而結構中包含了五個未知的約束反力,故為二次靜不定結構。該梁若沒有中間兩個活動鉸支座,則為一個簡支梁,成為一個靜定問題,如圖2-24(b)所示。對于物體系平衡問題,為了判斷其是否靜定,應首先將其中每個物體上所受的力系類別分析清楚,進而確定平衡方程總數和未知量總數,以得出靜定或靜不定的結論。具體做法通過后面的例題加以說明。

總之,求解物體系平衡問題時,應先判斷其是否靜定,只有靜定的才能用剛體靜力學的方法求解。

【例2-7】　靜定剛架的荷載及尺寸如圖2-25(a)所示,其中P=qa。求支座反力和中間鉸處約束反力。

解:這是物體系統的平衡問題。剛架由兩個物體組成。作用于兩個物體上的力系都是平面任意力系,共有六個獨立的平衡方程,而未知力的個數也是六個,此物系靜定。

先選整體為研究對象,受力如圖2-25(b)所示。各力的方向任意假設。列平衡方程

再選左半部分剛架AC為研究對象,受力如圖2-25(c)所示(C處反力方向為任意假設)。列平衡方程

由于FAx已經求出,則由前面整體研究的第三個平衡方程,得

本題也可將左、右半部分分別取作研究對象,列平衡方程求解。

【例2-8】　圖2-26所示的組合梁由AC和CD在C處鉸接而成。梁的A端插入墻內,B處為滾動支座。已知F=20kN,均布荷載q=10kN/m,M=20kN·m,l=1m。試求插入端A及滾動支座B的約束反力。

解:先以整體為研究對象,組合梁在主動力M、F、q和約束反力FAx、FAy、MA及FB作用下平衡,受力如圖2-26(a)所示。其中均布荷載的合力通過點C,大小為2ql。列平衡方程有

以上三個方程中包含有四個未知量,必須再補充方程才能求解。為此可取梁CD為研究對象,受力如圖2-26(b)所示,列出對點C的力矩方程

由式(d)可得

代入式(a)、式(b)、式(c)求得

如需求解鉸鏈C處的約束反力,可以梁CD為研究對象,由平衡方程∑Fx=0和∑Fy=0求得。

此題也可以先取梁CD為研究對象,求得FB后,再以整體為研究對象,求出FAx、FAy、MA。

【例2-9】 框架結構見圖2-27(a),幾何尺寸如圖所示。其上作用一個力偶,其矩M=60N·m,求A,B,C,D,E各處約束反力。

解:該結構為靜定結構,其中共有七個約束反力(A處兩個,C處兩個,B、D、E處各一個),折桿CEAB上可列出三個平衡方程,直桿CD上可列出三個平衡方程,ED為二力桿,有一個平衡方程,從而共有七個方程。

解題思路是:注意到整體有三個約束反力,可先取作研究對象,以求得A,B處反力;再取CD作研究對象,求得C,D處三個反力,最后由二力平衡條件確定E處反力。

(1)取整體為研究對象,作受力圖。為簡便起見,在圖2-27(a)上表示整體約束反力,由

(2)取CD為研究對象,受力分析如圖2-27(b)所示,列方程

解方程組,注意到

由上述計算知,DE桿受壓力,其大小為FE=223.6N,方向與FD相反。

討論:此題還有較為簡便的解法。注意到整體上主動力為一個力偶。故A,B處約束反力構成一個力偶與主動力偶平衡。這樣,利用力偶系的平衡條件可直接求解

其中FA與FB方向相反。類似地對桿CD亦可采用這樣的解法,得

其中FC與FD方向相反。

【例2-10】　如圖2-28(a)所示,曲軸沖床機構由圓盤O、連桿AB和沖頭B組成。A,B兩處為鉸鏈連接,OA=R,AB=l。若不計各零件自重及摩擦,當OA在水平位置、沖頭壓力為F時,求主動力偶矩M。

解:為求主動力與工作阻力之間的關系,一般從已知條件入手,故可先取沖頭B作研究對象,受力分析如圖2-28(b)所示。其中FN表示導軌對沖頭的側壓力。沖頭上作用著一個平面匯交力系,其中FN與FAB為未知力。若求出FN,可再取整體求M,若求得FAB,可由圓輪求M。下面先求FAB。

由幾何法,作力三角形,如圖2-28(c)所示。顯然,

再取圓輪O為研究對象,受力圖如圖2-28(d)所示。由∑MO=0得

【例2-11】　如圖2-29(a)所示的平面構架,由桿AB、DE及DB鉸接而成,A為滾動支座,E為固定鉸鏈。鋼繩一端拴在K處,另一端繞過定滑輪和動滑輪后拴在銷釘B上。已知重力為P,DC=CE=AC=CB=2l;定滑輪半徑為R,動滑輪半徑為r,且R=2r=l,θ=45°。試求A、E支座的約束反力及BD桿所受的力。

解:應依據已知與待求量,選取適當的系統為研究對象,并列適當的平衡方程,盡量能使一個方程解出一個未知量。

先取整體為研究對象,其受力如圖2-29(a)所示。列平衡方程

由式(a)解得

代入式(b)和式(c)得

為了求BD桿所受的力,應取包含此力的物體或系統為研究對象。取桿DCE為研究對象最為方便,桿DCE的受力圖如圖2-29(b)所示。

列平衡方程

式中FK由動滑輪、定滑輪和繩索的受力分析可得,FK=P/2(請讀者自行分析),則