第三節　平面任意力系

研究平面任意力系的簡化問題,就是要用一個最簡單的力系,等效替換給定的一般的平面力系。作為準備,先給出力的平移定理,它是力系簡化的工具。

一、力的平移定理

作用在剛體上A點處的力F,可以平移到剛體內任一點B,但必須同時附加一個力偶,其力偶矩等于原來的力F對新作用點B的矩。這就是力的平移定理。

證明:如圖2-12所示,在剛體上A點作用著力F,在剛體上任選一點B,由加減平衡力系原理,在B點加上一對平衡力F'和-F″,并令F=F'=-F″,則F和F″構成一個力偶,其矩為

于是作用在A點的力F就由作用在B點的力F'=F及附加力偶M等效地代替了,證畢。

此定理的逆過程為作用在剛體上一點的一個力和一個力偶可以和一個力等效,此力為原來力系的合力。

二、平面任意力系向作用面內一點簡化

設剛體上作用的n個力F1、F2、…、Fn組成平面任意力系,如圖2-13(a)所示,在力系所在平面內任取點O作為簡化中心,由力的平移定理將力系中各力矢量向O點平移,如圖2-13(b)所示,得到作用于簡化中心O點的平面匯交力系和附加平面力偶系,其矩為M1、M2、…、Mn。

平面匯交力系可以合成為力的作用線通過簡化中心O的一個力此力稱為原來力系的主矢,即主矢等于力系中各力的矢量和。有

平面力偶系M1、M2、…、Mn可以合成一個力偶,其矩為MO,此力偶矩稱為原來力系的主矩,即主矩等于力系中各力矢量對簡化中心的矩的代數和。有

結論:平面任意力系向力系所在平面內任意點簡化,得到一個力和一個力偶,如圖2-13(c)所示,此力稱為原來力系的主矢,與簡化中心的位置無關;此力偶矩稱為原來力系的主矩,與簡化中心的位置有關。因此在提到主矩時必須指明簡化中心。

力系主矢的計算,可以根據力在軸上的投影及合力投影定理,直接由原始力系得出。即選定直角坐標系Oxy,計算出各力在兩軸上的投影,再根據合力投影定理得到主矢在兩軸上的投影,最后求得主矢的大小和方向為

主矩的解析表達式為

作為平面任意力系簡化的應用,在此介紹一種常用的約束——固定端(插入端)約束。它是使被約束體插入約束體內部,被約束體一端與約束成為一體而完全固定,既不能移動也不能轉動的一種約束形式。

工程中固定端約束是一種常見的約束。例如夾緊在刀架上的車刀,與刀架完全固定成為一體。車刀受到的約束就是固定端約束,如圖2-14(a)所示。

又如物體的一端自由,另一端插入墻壁,它所受到的約束也是固定端約束。這種物體稱為懸臂梁,如圖2-14(b)所示。

固定端約束的約束反力是由約束與被約束體緊密接觸而產生的一個分布力系。當外力為平面力系時,約束反力構成的這個分布力系也是平面力系。由于其中各個力的大小與方向均難以確定,因而可將該力系向A點簡化,得到的主矢用一對正交分力FAx和FAy表示,而將主矩用一個反力偶矩MA表示,這就是固定端的約束反力,如圖2-15所示。

特別需要指出的是:固定端約束與平面鉸鏈約束中的固定鉸鏈約束是有本質區別的,從約束效果上看,固定端約束既限制被約束體移動又限制其轉動,而平面鉸鏈約束則只限制被約束體移動,并不限制其轉動;從約束反力的表示方法上看,固定端約束除與鉸鏈約束一樣,用一對正交分力表示約束反力的主矢之外,還必須加上一個約束反力偶,正是這個反力偶起著限制轉動的作用。

三、平面任意力系簡化結果討論

平面力系向作用面內一點簡化后得到的主矢和主矩,進一步分析可能出現以下四種情況:

(1)MO≠0。

(2)MO=0。

(3)MO≠0。

(4)MO=0。

分別討論這些情況,可以得到力系簡化的最終結果和一些有用的結論。

(1)MO≠0:說明該力系無主矢,而最終簡化為一個力偶,其力偶矩就等于力系的主矩。值得指出的是:當力系簡化為一個力偶時,主矩將與簡化中心的選取無關。

(2)MO=0:說明原力系的簡化結果是一個力,而且這個力的作用線恰好通過簡化中心O點,這個力就是原力系的合力。在這種情況下,記以將它與一般力系的主矢相區別。

(3)MO≠0:這種情況還可以進一步簡化。由力系平移定理知:與MO可以由一個力FR等效替換,這個力FR=但其作用線不通過簡化中心O。若設合力作用線到簡化中心O的距離為d,則

圖2-16可說明上述簡化過程,其中O'為合力FR的作用點。

另外由圖2-16(b)及證明過程知

于是得合力矩定理:平面任意力系的合力對力系所在平面內任意點的矩等于力系中各力對同一點的矩的代數和。

(4)MO=0:說明該力系對剛體總的作用效果為零。根據牛頓慣性定理知,此時物體將處于靜止或勻速直線運動狀態,即物體處于平衡狀態。

【例2-4】　重力壩受力如圖2-17所示,設P1=450kN,P2=200kN,F1=300kN,F2=70kN。求力系的合力FR的大小和方向余弦、合力與基線OA的交點到點O的距離x,以及合力作用線方程。

解:(1)先將力系向點O簡化,求得其主矢和主矩MO[圖2-17(b)]。由圖2-17(a)有

主矢在x、y軸上的投影為

主矢大小為

主矢的方向余弦為

則有

故主矢在第四象限內,與x軸的夾角為-70.84°。

力系對點O的主矩為

(2)合力FR的大小和方向與主矢F'R相同。其作用線位置的x值可根據合力矩定理求得[圖2-17(c)],即

其中

故

解得

(3)設合力作用線上任一點的坐標為(x,y),將合力作用于此點,則合力為FR對坐標原點的矩的解析表達式為

將已求得的MO、∑Fx、∑Fy的代數值代入上式,得合力作用線方程為

四、平面任意力系的平衡條件和平衡方程

平面任意力系平衡的必要與充分條件:力系的主矢和對任意點的主矩均等于零。即

由式(2-18)和式(2-20)得

可簡寫成

方程(2-22)就是平面任意力系平衡方程式的基本形式,它由兩個投影式和一個力矩式組成,即平面任意力系平衡的充分和必要條件是各力在作用面內一對直角坐標軸上的投影之代數和以及各力對作用面內任意點O的矩的代數和同時為零。式(2-22)是三個獨立方程,最多只能解三個未知力。

用解析表達式表示平衡條件的方式不是唯一的。平衡方程式的形式還有二矩式和三矩式兩種。

二矩式方程為

其中,x軸(y軸)不能與A、B連線垂直。

方程式(2-23)也完全表達了力系的平衡條件:由∑MA=0知,該力系不能與力偶等效,只能簡化為一個作用線過矩心A的合力,或者平衡;又由∑MB=0知,若該力系有合力,則合力作用線必通過A、B兩點;最后由∑Fx=0知,若有合力,則它必垂直于x軸;而根據限制條件,A、B連線不垂直于x軸,故該力系不可能簡化為一個合力,從而證明了所研究的力系必定為平衡力系,如圖2-18所示。

三矩式方程為

其中,A、B、C三點不共線。

由∑MA=0,∑MB=0知,該力系只可能有作用線過A、B兩點的合力或是平衡力系;而由∑MC=0且C點不在A、B連線上知:該力系無合力,為平衡力系,如圖2-19所示。

總之,平面任意力系共有三種形式的平衡方程,但求解時應根據具體問題而定,只能選擇其中的一種形式,且列三個平衡方程,最多只能求解三個未知力。若列第四個方程,它是不獨立的,是前三個方程的線性組合;同時,在求解時應盡可能地使一個方程含有一個未知力,避免聯立求解,這一點學習時應多作練習。

五、平面平行力系的平衡

平面平行力系是平面任意力系的一種特殊情況,因此,它的平衡方程可以從平面任意力系的平衡方程導出。

如圖2-20所示,設物體受平面平行力系作用,如果選取x軸與各個力垂直,則無論力系是否平衡,每一個力在x軸上的投影均為零,有恒等式∑Fx≡0,于是,獨立的平衡方程只有兩個,即

平面平行力系的平衡方程也可用二矩式表示,即

附加條件是A、B兩點連線不得與各力平行。

【例2-5】　外伸梁AB受均布荷載和集中力作用,如圖2-21(a)所示。已知P=30kN,q=2kN/m,求支座的約束反力。

解:取梁AB為研究對象。由于均布荷載、集中力和FB互相平行,因此FA必與各力平行,力系才能夠組成平衡力系,如圖2-21(b)所示。由平面平行力系的平衡方程

解得

負號表示A處反力FA的實際方向與假設方向相反,應指向下。

【例2-6】　塔式起重機如圖2-22所示。其中機身重心位于C處,自重P1=800kN。起吊重力P2=300kN的重物,幾何尺寸如圖2-22所示,其中a=5m,b=3m,l=8m,e=1m。試求:

(1)為使起重機滿載和空載時都不致翻倒,平衡配重P3應取何值?

(2)若取P3=500kN,則滿載時導軌A和B所受壓力各為多少?

解:取整個起重機為研究對象,進行受力分析后得知,這是一個平面平行力系的問題。為使起重機不翻倒而始終處于平衡狀態,主動力P1、P2、P3和約束力FA、FB必須滿足平衡條件,即滿足平面平行力系的平衡方程式(2-25)。

(1)為使起重機不翻倒,應分別考慮滿載和空載時起重機處于極限平衡狀態的情況。

滿載時,機身處于可能繞B點轉動而翻倒的極限平衡狀態。此時應有A支座處的約束反力FA=0,即A輪與地面將要脫離接觸。這時求出的平衡配重應為最小值,記為P3min。

應用平衡方程式(2-25),可求得此時的FB及P3min,但據題意只求P3min,故只需列方程∑MB=0,即可求得P3min,而不必去求FB。

由∑MB=0得

空載時,起重機可能繞A點向左翻倒。在這種極限平衡狀態下,有B支座處約束反力FB=0,由此可求得平衡配重的最大值P3max。

由∑MA=0得

于是為使起重機不致翻倒,平衡配重P3應滿足

(2)由題意知,P3=500kN,根據前面的計算,起重機可以保持平衡,為求FA和FB,利用方程(2-25),以鉛垂軸y為投影軸,并以A為矩心,于是有

可解得

順便指出,本題(2)中亦可由方程式∑MA=0,∑MB=0求出FA和FB。