第二節　平面力偶系

一、力對點的矩

如圖2-6所示,在力F所在的平面內,力F對平面內任意點O的矩定義為:力F的大小與矩心點O到力F的作用線的距離h的乘積,它是代數量。其符號規定:力使物體繞矩心逆時針轉動時為正,順時針為負。h稱為力臂,用MO(F)表示,即

單位:N·m或kN·m。

特殊情況:

(1)當MO(F)=0時,力的作用線通過矩心,力臂h=0,或F=0。

(2)當力臂h為常量時,MO(F)值為常數,即力F沿其作用線滑動,對同一點的矩為常數。

應當指出,力對點之矩與矩心的位置有關,計算力對點的矩時應指出矩心點。

合力矩定理:平面匯交力系的合力對力系所在平面內任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的代數和,即

根據此定理,有時可以給力矩的計算帶來較大的方便。如圖2-7所示將力F沿坐標分解得分力Fx、Fy,則力對O點之矩解析表達式

二、平面力偶理論

力偶是由一對等值、反向、不共線的平行力組成的特殊力系。它對物體的作用效果是使物體轉動。為了度量力偶使物體轉動的效果,可以考慮力偶中的兩個力對物體內某點的矩的代數和,這就引出了力偶矩的概念。

力偶中的兩個力對其作用面內某點的矩的代數和,稱為該力偶的力偶矩,記為M(F,F')簡記為M。

圖2-8中,力F與F'組成一個力偶,兩力之間的距離d稱為力偶臂。在力偶作用面內任選一點O,設點O到力F'的距離為a,按定義,該力偶的力偶矩M(F,F')為

由上述計算知,力偶矩與點O的位置無關,即力偶對平面內任意一點的矩都等于力與力偶臂的乘積,并按逆時針為正,反之為負的原則冠以正負號。

力偶矩與矩心位置無關,這是力偶矩區別于力對點的矩的一個重要特性。正是由于這一點,寫力偶矩時不必寫明矩心,只寫作M(F,F')或M即可,于是有

力偶中兩個力在任意軸上的投影的代數和都為零,這也是力偶所特有的性質。

由此還可推知:力偶不能與單個力等效,也不能與單個力相平衡,因此力和力偶是力系中的兩個基本要素。

根據力偶的特性,可以得到一個重要的結論,即同平面內力偶的等效定理:

同一平面內的兩個力偶等效的唯一條件是其力偶矩相等。

該結論等價于下列事實:

(1)力偶矩是力偶作用效果的唯一度量。

(2)在力偶矩不變的前提下,可以在作用面內任意移動和轉動力偶。

(3)在力偶矩不變的前提下,可以同時改變力偶中力的大小和力偶臂的長短。

以上結論證明從略,下面將運用這些結論來討論平面力偶系的簡化問題。

設平面力偶系由n個力偶組成,其力偶矩分別為M1、M2、…、Mn。現在想用一個最簡單的力系來等效替換原力偶系,為此采取下述步驟(為方便起見,不失一般性,取n=2,如圖2-9所示):

(1)保持各力偶矩不變,同時調整其力與力偶臂,使它們有共同的臂長d,則有

這是調整后各力的大小。

(2)將各力偶在平面內移動和轉動,使各對力的作用線分別共線。

(3)求各共線力系的代數和。每個共線力系得一合力,而這兩個合力等值、反向,相距為d構成一個合力偶,其力偶矩為

即,平面力偶系可以用一個力偶等效代替,其力偶矩為原來各力偶矩之代數和。

由于力偶矩是力偶作用效果的唯一度量,故以后圖示力偶時,也可用如圖2-10所示的簡化記號。

三、平面力偶系的平衡

在圖2-9所示的平面力偶系中,若FR==0,則該力偶系平衡,合力偶矩等于零。反之,若已知合力偶矩等于零,即FR=0,或力偶臂d=0,力偶系都平衡。推廣到n個力偶組成的平面力偶系,上述分析同樣成立。于是得到平面力偶系平衡的必要充分條件:力偶系中各力偶矩的代數和等于零。即

式(2-16)稱為平面力偶系的平衡方程,利用它可以求解一個未知量。

【例2-3】　圖2-11(a)所示機構的自重不計。圓輪上的銷子A放在搖桿BC上的光滑導槽內。圓輪上作用一力偶,其力偶矩為M1=2kN·m,OA=r=0.5m。圖示位置時OA與OB垂直,α=30°,且系統平衡。求作用于搖桿BC上力偶的矩M2及鉸鏈O、B處的約束反力。

解:先取圓輪為研究對象,其上受有矩為M1的力偶及光滑導槽對銷子A的作用力FA和鉸鏈O處約束反力FO的作用。由于力偶必須由力偶來平衡,因而FO與FA必定組成一力偶,力偶矩方向與M1相反,由此定出FA指向如圖2-11(b)。而FO與FA等值且反向。由力偶平衡條件

解得

再以搖桿BC為研究對象,其上作用有矩為M2的力偶及力與FB,如圖2-11(c)所示。同理與FB必組成力偶,由平衡條件

其中=FA。將式(a)代入式(b),得

FO與FA組成力偶,FB與組成力偶,則有

方向如圖2-11(b)、(c)所示。