第一節(jié)　平面匯交力系的合成與平衡

一、平面匯交力系合成的幾何法

設(shè)有作用于剛體上、作用線匯交于一點(diǎn)A的四個(gè)力F1、F2、F3、F4,如圖2-1(a)所示。由力的可傳性,將各力的作用點(diǎn)移至匯交點(diǎn)A。根據(jù)力的三角形法則,可將F1,F2合成一合力FR1,將FR1與F3合成一合力FR2,將FR2、F4合成一合力FR,FR為最后合成的結(jié)果。其實(shí),在作圖時(shí),可不把中間過程FR1和FR2畫出來,只需四個(gè)力F1、F2、F3、F4首尾相接,則由第一個(gè)力的起點(diǎn)a向最末一個(gè)力的終點(diǎn)e作矢徑,得ae即合力矢FR,如圖2-1(b)所示。

各力矢與合力矢構(gòu)成的多邊形稱為力矢多邊形,表示合力矢的邊稱為力矢多邊形的封閉邊,用力矢多邊形求合力的幾何作圖規(guī)則稱為力的多邊形法則,這種作圖方法稱為幾何法。

必須指出,任意變換力的次序,可得到不同形狀的力多邊形,但合力FR的大小和方向仍然不變,如圖2-1(c)所示。由此可知,合力矢FR與各分力矢的作圖順序無關(guān)。

上述方法推廣到由n個(gè)力組成的平面匯交力系的情況,得結(jié)論如下:平面匯交力系合成的結(jié)果是一個(gè)合力,合力的作用線通過各力作用線的匯交點(diǎn),其大小和方向可由力矢多邊形的封閉邊來表示,即等于各力矢的矢量和。矢量式為

二、平面匯交力系平衡的幾何法

當(dāng)力矢多邊形自行封閉,即圖2-1中a、e點(diǎn)重合,它表示力系的合力FR為零,于是該力系平衡。反之,平面匯交力系平衡,則合力FR為零,力矢多邊形將自行封閉。所以平面匯交力系平衡的必要充分條件是:力矢多邊形自行封閉,或平面匯交力系的合力等于零。有矢量式為

根據(jù)封閉的力矢多邊形的幾何關(guān)系,用三角公式求解所需量的方法,稱為求解平面匯交力系平衡問題的幾何法。

三、力在坐標(biāo)軸上的投影

設(shè)力F與軸x的夾角為α,如圖2-2所示,力在坐標(biāo)軸上的投影定義為力矢量F與x軸單位矢量i的標(biāo)量積,記為

在力F所在的平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy,如圖2-3所示,x和y軸的單位矢量為i、j,由力的投影定義,力F在x和y軸上的投影為

其中cos(F·i)、cos(F·j)分別是力F與坐標(biāo)軸的單位矢量i、j夾角的余弦稱為方向余弦,(F·i)=α、(F·j)=β稱為方向角。力的投影可推廣到空間坐標(biāo)系。

如圖2-3(a)所示,若將力F沿直角坐標(biāo)軸x和y分解得分力Fx和Fy,則力F在直角坐標(biāo)系上投影絕對(duì)值與分力的大小相等,但應(yīng)注意投影和分力是兩種不同的量,不能混淆。投影是代數(shù)量,對(duì)物體不產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng);分力是矢量,能對(duì)物體產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)效應(yīng);同時(shí)在斜坐標(biāo)系中投影與分力的大小是不相等的,如圖2-3(b)所示。

力F在平面直角坐標(biāo)系中的解析式為

若已知力F在平面直角坐標(biāo)軸上的投影Fx和Fy,則力F的大小和方向?yàn)?/p>

力既然是矢量,就滿足矢量運(yùn)算的一般規(guī)則。根據(jù)合矢量投影規(guī)則,可得到一重要結(jié)論,即合力投影定理:合矢量在某一軸上的投影等于各分矢量在同一軸投影的代數(shù)和。

四、平面匯交力系合成的解析法

設(shè)一平面匯交力系由F1、F2、…、Fn組成,其合力記為FR,于是根據(jù)合力投影定

從而可得

五、平面匯交力系平衡的解析法

平面匯交力系平衡的必要充分條件是平面匯交力系的合力等于零。由式(2-8)應(yīng)有

欲使上式成立,必須同時(shí)滿足

【例2-1】　圖2-4(a)所示拖拉機(jī)的制動(dòng)蹬,制動(dòng)時(shí)用力F踩踏板,通過拉桿CD使拖拉機(jī)制動(dòng)。設(shè)F=100N,踏板和拉桿自重不計(jì),求圖示位置拉桿的拉力FT和鉸鏈B處的支座反力。

解:(1)取研究對(duì)象,作受力圖。

因?yàn)樘ぐ錋CB上既有已知力F,又有未知力FT和B處的約束反力,所以取ABC為研究對(duì)象。注意到ACB上受有F,FT和B處約束反力FB三個(gè)力作用而平衡,故可用三力平衡匯交定理確定FB的方向。至于FB的指向,可先假設(shè),待計(jì)算之后根據(jù)FB的正負(fù)號(hào)再判斷其真實(shí)方向。

另外,拉桿CD是二力桿,按二力平衡公理可直接確定C端約束反力的方向,因此不必單獨(dú)取拉桿CD作為研究對(duì)象。受力圖如圖2-4(b)所示。

(2)列平衡方程式。

1)選擇平衡方程的類型。由于ACB上受一個(gè)平面匯交力系作用,故選用平面匯交力系的平衡方程,共有兩個(gè)投影式,即式(2-9)。

2)選擇投影軸如圖2-4(b)所示。

列方程

3)解方程組(a)得

最后由計(jì)算結(jié)果知:FB為正值,說明受力分析時(shí)假定的方向與實(shí)際方向一致。

分析討論:

本例中所研究的力系是由三個(gè)力組成的平面匯交力系。對(duì)于這樣的問題,亦可采用幾何法求解,即利用平面匯交力系平衡的幾何條件,將三個(gè)力組成自行封閉、各力首尾相接的力三角形,并根據(jù)幾何關(guān)系求得未知力FT與FB。力三角形如圖2-4(c)所示。

根據(jù)正弦定理可以解出

按力三角形自行封閉的矢序規(guī)則,可確定出FB的方向。

【例2-2】　鉸車系統(tǒng)如圖2-5(a)所示,其中直桿AC和BC鉸接于C點(diǎn),自重不計(jì)。C處滑輪尺寸不計(jì)。重物P=20kN通過鋼絲繩懸掛于滑輪上并與鉸車相連。試求平衡時(shí)桿AC和BC所受的力。

解:由題意,滑輪尺寸不計(jì),而AC和BC均為二力桿,因此本題中各個(gè)力都交于C點(diǎn),構(gòu)成一個(gè)平面匯交力系,可取銷釘C作研究對(duì)象,其受力如圖2-5(b)所示。而且已知其中繩的張力均為P,即FT1=FT2=P。

對(duì)于平面匯交力系,應(yīng)選用方程式(2-9),因此可以列出兩個(gè)投影方程。注意到力系中的兩個(gè)未知力FAC和FBC互相垂直,于是就按它們的方向取投影軸,從而得

在這里容易看到:由于坐標(biāo)軸的方向剛好與其中一個(gè)未知力垂直,因此每個(gè)投影方程中只包含了一個(gè)未知量,很容易從中解得

假如當(dāng)初不這樣選取投影軸,而是以水平方向和鉛垂方向?yàn)橥队拜S,則得到的方程組將是一個(gè)聯(lián)立的方程組,雖然也可以得未知反力FAC和FBC,但求解過程將比較繁瑣。

另外在所得到的結(jié)果中,FAC是負(fù)值,表明其實(shí)際方向與假設(shè)的方向相反,即AC桿與BC桿一樣,均受壓力。

還需說明,本題雖然也是平面匯交力系問題,但卻不宜用幾何法求解,因?yàn)楣灿兴膫€(gè)力,將構(gòu)成一個(gè)不規(guī)則的四邊形,幾何法求解比較麻煩。因此,解析法比幾何法實(shí)用性更強(qiáng)。