4.2　虛位移原理（虛功原理）

設有任一彈性體，在一定的外力作用下處于平衡狀態。命u，v，w為該彈性體中實際存在的位移分量，它們滿足用位移分量表示的平衡微分方程，并滿足位移邊界條件以及用位移分量表示的應力邊界條件?，F在，假想這些位移分量發生了位移邊界條件所容許的微小改變，即所謂虛位移δu、δv、δw（位移變分），成為u′=u+δu，v′=v+δv，w′=w+δw。

假定彈性體在虛位移過程中沒有溫度的改變，也沒有速度的改變，因而也就沒有熱能或動能的改變。這樣，依據能量守恒定理，應變能的增加應當等于外力所做的功（虛功）。注意，外力包括分量為fx、fy、fz的體力，以及分量為的面力；并且，由于虛位移是微小的，在虛位移的過程中，外力的大小和方向可以認為不變。這樣，應變能的增加為

式中，S是彈性體的邊界。由于虛位移是在位移邊界條件所容許下發生的，因此，在位移邊界Su上δu=δv=δw=0，上式的面積分只須包括全部受己知面力的邊界Sσ。將上式進行歸項以后，得到

這個方程被稱為位移變分方程，也稱為拉格朗日變分方程。

按照變分法（參見附錄3），變分的運算與定積分的運算可以交換次序，即

δVε=δ∫VυεdV=∫VδυεdV

把應變能密度υε看作應變分量的函數，并應用上節知識，可由上式得到

代入式（4-1），得到虛位移原理（也稱虛功原理或虛功方程）的表達式為

把該方程右邊的各項稱為應力在虛應變上所做的虛功，則虛位移原理可以表述如下：如果在虛位移發生之前，彈性體是處于平衡狀態，那么，在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功就等于應力在與該虛位移相應的虛應變上所做的虛功。