Chapter 9　幻覺、奇偶性與雷蒙德的真假話謎題

銅質美人魚——1981年

如圖所示，安杰洛在他的小船上，準備將一個實心的銅質美人魚放入一個巨大的水箱里。當這個美人魚雕像被成功地放入水箱的底部時，請問水箱里的水位是會上升、下降還是保持原先的水位呢？

斯科特·金（1955—）

斯科特·金是美國的一位謎題與電腦游戲的設計師、藝術家與作家。他為《科學美國人》與《游戲》雜志創作了數百個游戲。他是世界上最具創造性與想象力的謎題發明家。金1955年生于華盛頓，后就讀于斯坦福大學，獲得音樂學士學位，在唐納德·克努特的指導下獲得了電腦與圖形設計的博士學位。

他是對稱學領域的權威之一。1981年，他創作了一本名為《倒置》（Inversions）的書籍，書里的單詞可以用多種方式去進行閱讀（如圖）。他的這本書可以說是這一領域內的杰作。

“斯科特·金是字母表領域的埃舍爾。”

——艾薩克·阿西莫夫，科幻小說家

“斯科特·金完善了一種個性化的藝術形式——這種形式具有美感，優雅，微妙，讓人驚喜。他對字母的外形、視覺感知有著深厚的理解，因此他做出的設計都具有高度的原創性，讓人賞心悅目。很多人都對他們看到的東西感到高興。還有一些人——我希望是很多人——會繼續在斯科特揭示的具有美感的藝術空間里探索自己的角落，因為《倒置》這本書真的讓人感到無比激動。”

——道格拉斯·霍夫施塔特，普利策獎獲得者

“斯科特·金的《倒置》一書可以說是人類歷史上最震撼人心、最令人愉悅的一本書。書中隨處可見讓人興奮的觀察發現，關于對稱性及其哲學層面，以及它在藝術、音樂和語句中的體現。多年來，金已經培養了一種神奇的能力，可以將任何單詞或短語組合起來，展現出某種驚人的幾何對稱性。”

——馬丁·加德納，《科學美國人》雜志

藤村幸三郎的三角形問題——1983年

藤村幸三郎三角形問題是藤村幸三郎（Kobon Fujimura）這位日本教師與謎題發明家在1983年首先提出來的。

這個問題是這樣闡述的：在一個平面上，用n條線段，最多能夠創造出多少個不重疊的三角形呢？

當n=3、4、5與6時，三角形的最大數量分別是1、2、5、7，而在7、8、9條線段的情況下，不重疊三角形的最大數量分別是11、15與21。

田村三郎（Saburo Tamura）證明了最大的整數不會超過k（k-2）/3，這為用k條線形成的最大數量的不重疊三角形提供了一個數值上限。比方說，當k=4時，這就意味著4×（4-2）/3就是最大的整數，因此不重疊三角形的數量就是2。

2007年，約翰納斯·巴德爾與吉利斯·克萊門特發現了一個更為精確的數值上限，他們對田村三郎的數值上限進行證明時，發現當k除以6的余數為0或2時，此k值給出的上限更小。因此，在這種情況下，最大數量的三角形要比田村三郎提出的數值上限還要少一個。

完美的解答（藤村幸三郎三角形的解答方法需要最多數量的三角形）存在于k=3，4，5，6，7，8，9，13，15與17的時候。

當k=10，11與12的時候，已知的最佳解答是比數值上限少一個。

艾德·佩格在他的數學謎題網站上報道了這個問題所取得的進展，其中就包括鈴木敏孝（Toshitaka Suzuki）提出的15條線與65個三角形的解答方法，你可以在下一頁的內容里看到。

要是我們做出限制，要求這些線必須形成一條連續的斷線，那么藤村幸三郎三角形又會呈現出什么樣的形狀呢？

“藝術與道德一樣，都涉及在哪里畫線的問題。”

——G. K.切斯特頓

鈴木的解答方法

鈴木敏孝提出的15條線與65個三角形是極具美感的，這個方法是次優解答。到目前為止，最佳解答就是17條線與85個三角形。

俄羅斯方塊——1984年

俄羅斯方塊是20世紀80年代由蘇聯的阿列克謝·帕基特諾夫首先設計出來的。它是第一款從蘇聯輸出到美國的游戲軟件，是專門為Commodore 64型電腦與IBM電腦定制的。俄羅斯方塊這款游戲普遍使用四格拼版，這是由四個面組成的多聯骨牌的一種特殊類型。從1907年開始，多聯骨牌就在流行的拼圖游戲里得到應用了，盡管如此，多聯骨牌這個名字到了1953年才被數學家所羅門·W.哥隆命名。

《電子游戲月刊》在對100款最受歡迎的游戲進行排名時，就將俄羅斯方塊稱為“史上最受歡迎的電腦游戲”。2010年1月，俄羅斯方塊光是在手機上的付費下載次數就已經超過了一億次。

巨大的俄羅斯方塊

2012年，麻省理工學院成功地將一棟綠色建筑變成一個可玩的巨大俄羅斯方塊游戲，這個游戲在離這棟建筑一段合適的距離后方能觀察到，玩的時候要通過無線電控制平臺來進行操作。

握手（一）

在董事會上，一共有17位董事會成員，他們每個人都要與其他人握手，但有4位董事會成員彼此沒有握手。請問這些人一共進行了多少次握手呢？

握手（二）

6個人坐在一張圓桌前，每個人都要同時與另一個人握手，不能出現交叉握手的情況，請問，一共有多少種可能的握手組合呢？

握手聚會

我與我的妻子邀請了四對已婚夫婦參加我們的喬遷慶祝聚會。誰也不能與自己的妻子或丈夫握手，而且任何夫妻與同一人握手的次數都不能超過一次。

在客人離開之前，我詢問每個人一共握了多少次手。我得到了下面的回答：8，7，6，5，3，2，1與0。請問，我的妻子與多少人握過手呢？

北極探險者——1986年

有一個經典謎題是這樣的：一位探險者隨機選擇一個地方出發，他向南走了1千米，然后轉身朝東走了1千米，接著再次轉身，向北走了1千米，發現自己還停留在出發點，面對著一只熊。這只熊有怎樣的顏色呢？通常的回答是“白色”。但問題是，北極是他這趟旅程唯一可能的出發點嗎？

哈里·恩格的魔方——1990年

哈里·恩格生于1932年，卒于1996年。他是一名老師、教育顧問、發明家、魔術師，也是我的一位親密朋友。他所做的一切事情都是為了引導人思考。多年來，他就是一直這樣教導我的。

哈里因他研發的瓶子而聞名于世。在他的一生里，據說制造了大約600種這樣的“不可能的瓶子”。這些瓶子在制造方面并沒有任何取巧，都是用結結實實的玻璃做成的。瓶子里裝的所有東西都是通過瓶口進入的。我們都知道哈里·恩格發明了一種能夠拆分的特殊裝置，他將這種裝置的各個部件放入一個瓶子里，接著在瓶子內進行組裝。這能夠讓金屬物體留在瓶子里，被彎曲或拉直。一旦完成了這一步，那么這個裝置就能夠拆分開來，從瓶子里取出。

在魔術圈里，哈里·恩格也是一位傳奇人物。他本人從不表演魔術。是的，他的魔術來自一個完全不同的領域。他呈現出來的藝術并不是靠舞臺幻覺、各種花招或魔術道具所能完成的，更不是靠所謂的唯心主義去實現的。哈里的魔術完全就是思考與創造力方面的純粹藝術。“我們人生的力量以及我們賴以生存的能量，都源于我們的心智。”對哈里·恩格來說，不可能就是他的生活方式。“所謂的不可能，不過是需要我們多花點時間罷了。”他就是這樣說的，顯然他說得沒錯。

“所謂的‘不可能’，不過是需要我們多花點時間罷了。”

——哈里·恩格

不可能的折疊游戲

這個游戲的目的就是沿著折線折疊這張紙，形成一個大的八邊形，并穿過一個正方形環，如圖所示。你會怎么做呢？

這個游戲是哈里·恩格發明的，并在1994年6月11日舉辦的國際謎題大會上獲得了紀念獎章。

蒙提·霍爾問題——1990年

這個著名的違反直覺的問題通常被稱為蒙提·霍爾問題，它是以主持《讓我們做個交易》這一美國游戲節目的主持人蒙提·霍爾的名字命名的。

霍爾以他擅長誘惑參賽選手放棄門后面隱藏的那份神秘大獎而聞名。馬丁·加德納在1959年10月份的專欄里提出了這個問題。

《展示雜志》的專欄作家瑪麗蓮·沃斯·莎凡特是對這個問題有著深入研究的著名人士，這個問題涉及三扇門，其中一扇門的背后隱藏著一輛豪華轎車。她同時還為這一問題提供了答案。她給予的答案招致成千上萬封表達懷疑與指責的信件，其中有1000多封信件是擁有博士學位的人寄來的，他們中很多人都是數學家。千萬不要對此感到驚訝，這個問題真的是一個違反直覺的悖論。

即便是我那著名的朋友保羅·埃爾德什，這位20世紀最著名的數學家，一開始也用懷疑的態度去面對這個問題。他的朋友費了好大勁兒才改變了他一開始的態度。在一位同事利用一臺電腦模擬了數百次實驗之后，埃爾德什才承認自己之前的想法是錯誤的。

“我們的大腦天生就不大擅長解決概率方面的問題。”

——理查德·費恩曼

蒙提·霍爾的問題：游戲的規則

你獲邀參加一次游戲節目，這個游戲節目讓你有機會贏得一輛豪華轎車。這輛車就在三扇門之中一扇的后面，另外兩扇門背后各有一只山羊。你隨機地選擇一扇緊閉的大門（第一步）。此時，你能夠選擇到那扇背后有豪華轎車的門的概率是三分之一，也就是大約33%。

這時主持人（他當然知道那輛車在哪一扇門背后）就必須履行他的職責：他會打開并排除一扇沒被選擇的大門，展現出背后隱藏的是一只山羊（至少有一扇沒被選擇的大門背后有山羊）。

關鍵的時刻來了，主持人問你是否要改變你的選擇，這的確是個問題（這也是你面臨的一個困境）。改變選擇是否會改變最初的成功概率呢？瑪麗蓮的回答是一定要改變最初的選擇。

下一頁的圖形會展現出各種可能的情況。第一行展現的是三種可能的選擇。第二行（第二步）展現的是，如果你堅持不改所能得到的結果。第三行展現的是你改變所能得到的結果。如果你決定改變（第三步），你將看到——你成功的概率將會翻倍——從原先的三分之一升到了三分之二。很多人可能仍然不相信，這也是可以理解的。一般的常識通常會告訴我們，改變選擇并不會造成任何的差異。兩扇門，一個大獎，跟投擲硬幣的概率差不多。但是，瑪麗蓮的說法是正確的。

為了讓你明白瑪麗蓮的說法是正確的，你可以看看蒙提·霍爾問題（二），這個問題涉及十扇大門，你需要像保羅·埃爾德什那樣進行嘗試。

最后，請記住，這只是條件概率的一個案例：在某件事情已經發生的情況下，另外一件事情發生的概率。

蒙提·霍爾的問題（二）

對那些依然對此持懷疑態度的讀者，我們提供了這個問題的另一個版本。這個版本的問題涉及十扇門，這能夠幫助許多人消除在面對第一個問題時所產生的諸多思維誤區。

游戲規則與之前一樣，同樣是在這些門背后隱藏著一輛豪華轎車與九只山羊。你可以選擇決定哪一扇門不被打開。主持人會打開另外八扇門，發現這些門背后都是山羊。

除了你選擇不打開的大門之外，主持人還留著一扇門沒有打開。現在，你可以改變你的選擇。你會改嗎？如果你選擇不改，而是堅持自己之前的選擇，那么你贏得那輛豪華轎車的概率有多少呢？如果你選擇打開，你獲勝的概率又有多大呢？

請注意，在第一欄里，主持人必須留下一扇沒有被選手選擇的大門，即便他可以打開并排除兩扇門。在第二欄與第三欄里，主持人只有一扇門可以打開并排除。在第三步，當選手決定改變選擇后，本來會贏（第一欄）現在變成了輸。本來會輸（第二欄與第三欄）變成了贏。

德拉庫拉的棺材——1991年

你能找到適合的棺材蓋來合上這兩副棺材嗎？

植樹問題——1991年

將n個點擺放在若干條直線上，使每條線上都有k個點，這個問題通常被稱為“植樹問題”或“果園問題”，這是一組比較難的問題。通常來說，這個題的目標就是要讓直線的數量r最大。有趣的是，解答這個問題的一般性方法到現在還沒有找到，即便是在k=3與k=4的情況下，找到突破性的解答方法依然需要時間。

植樹問題（一）

上面給出了k=3（3個點在一條直線上）時，從n=6到n=10時的最大解。你能找到當n=11，而r=16時的最大解嗎？

植樹問題（二）

當k=4（4個點在一條直線上），這個問題就變得更加復雜了。當n從7到11時，最大解如圖所示。你能找到當n=12且r=7時的最大解嗎？

植樹問題（三）

將紅色的籌碼放在白色的圓圈上，要求在每一條直線上都有三個紅色的籌碼。你需要多少個紅色的籌碼呢？

625個單位的紙風車三角形

你能找到五個125單位的紙風車三角形所形成的大三角形嗎？

紙風車三角形與超級拼砌——1994年

正如我們在第8章所了解到的，非周期性拼砌是由拼砌部分的非周期性組合而得到的鑲嵌方式。我們已經談論過著名的彭羅斯拼圖。但在1994年，普林斯頓大學的約翰·康威與得克薩斯大學的查爾斯·雷丁發現了另外一種非周期性的拼砌：這就是只能用一種三角形拼塊組成的紙風車拼圖，這就是所謂的紙風車或是康威三角形。這是人們首先發現非周期性拼砌具有這樣的屬性，即拼砌的部分能在無窮個方向上進行拼砌。

五個這樣的三角形進行超級拼砌能夠形成一個五單位的紙風車三角形。只有形成超級拼砌的紙風車三角形，才能夠形成上圖所示的紙風車拼圖。如果組成拼圖的拼塊能組裝成覆蓋整個平面的超級拼塊，也可以按比例縮成原始拼圖大小，那么，這個平面拼圖就具有比例對稱性，即可伸縮性。這樣的例子包括正方形拼圖與等邊三角形拼圖。

奇偶性——1994年

奇偶性一詞一開始是數學用語，用來區別偶數與奇數。如果兩個數全是偶數或全是奇數，那么它們就有相同的奇偶性，否則它們就有相反的奇偶性。

偶數次移動，奇偶性不變。很多紙片、硬幣與拼圖游戲，其實都是在運用奇偶性原理，即利用一種被稱為“奇偶校驗”的簡單方法。

在亞原子粒子與波動函數等物理研究方面，奇偶性同樣扮演著重要的角色。

顯然，你肯定聽說過“菊花花瓣”這個游戲。這個游戲是說某人從一朵菊花上一片又一片地摘下花瓣，然后說著：“他喜歡我，他不喜歡我。”如果總數是偶數的話，那么利用奇偶性原理，你很快就能知道最后的答案是否定的。

這就是數學家們所說的“奇偶校驗”，它是數學領域內最重要的工具之一。在面對一個問題時，這個數學工具通常可以幫助我們迅速找到優雅的證明方法。

三個玻璃杯的游戲

在第一種布局里，三個杯子如圖所示那樣放置。同時上翻兩個杯子，最終的目的就是讓所有的杯子能在三個步驟之后全部杯口朝上。

你可以很容易做到。在你做到之后，變一下把戲。把中間那個玻璃杯翻過來，然后要求別人這樣做。這是不可能做到的。第一個步驟是奇校驗，第二個步驟是偶校驗。當有偶數（0，2，……）個杯子杯口朝上的時候，那么系統就是偶的。當有奇數個杯子杯口朝上時，整個系統就是奇的。在第二種布局里，將任意兩個杯子翻轉三次，都無法改變整個系統的奇偶性。

六個玻璃杯的問題

如圖所示，有六個玻璃杯。任意拿起兩個玻璃杯，然后將之翻轉過來。接著你可以按照自己的意愿繼續翻轉一對杯子。你最終能讓所有的玻璃杯都杯口朝上，或者杯口朝下嗎？

七個玻璃杯的問題

這個游戲的目的就是將七個玻璃杯都杯口朝上，每次只能翻轉三個玻璃杯。你需要多少個步驟才能達成這個目標呢？

十個玻璃杯的問題

如圖所示，有十個玻璃杯，五個杯口朝上，五個杯口朝下。任意選擇兩個玻璃杯，將之翻轉。你可以按照自己的想法繼續翻轉一對杯子。最后，你能讓所有的玻璃杯都杯口朝上嗎？

自我描述的十位數字——1994年

有一個系列的謎題是基于前十個數字（包括數字0）而形成的。用馬丁·加德納的話來說，這個系列謎題中最具美感的就是自我描述的十位數問題。在多倫多的安大略科學中心，這一讓人著迷的謎題被陳列在數學展覽廳里，如圖所示。

這個游戲的目標就是找到一個十位數，填在第二排的空格里。這個數字是由第一排的十個數字所決定的，規則如下：

在第二排的第一個數字表明這個十位數中0的數量。第二個數字表示這個十位數中1的數量。第三個數字表示這個十位數中2的數量，依此類推。最后一個數字表示這個十位數中9的數量。

這有點像是十位上的數字在創造自己。難怪馬丁·加德納稱之為自我描述的數字。你該怎樣著手去解答這樣一個充滿挑戰、看似不可能解答的問題呢？

這個問題是否存在解答的方法呢？如果存在解答的方法，又有多少種呢？你能從中發現一些深刻的內涵，更好地解答這個問題嗎？

來自麻省理工學院的丹尼爾·索汗（Daniel Shoham）發現了一些與這個問題相關的有趣事實。他得出了這樣一個結論：因為在第一排上有十個不相同的數字，第二排數字的總和也必定等于10。他找到了第二排中每個數字可能的最大值。你能按照他的這個邏輯，找到這個謎題唯一的解嗎？

有多少個數字呢？

在我收集的眾多邏輯性謎題當中，有一款特殊類型的數字游戲，這個數字游戲只是基于從0到9的十個數字，或是將數字0排除出去，變成從1到10的數字。

這種類型的一個早期游戲版本就是十位數的數字謎題。如果只使用從0到9這十個數字，你能得出多少個不同的十位數呢？當然，以數字0開頭的數字是不能計算在內的。

沒有照明的房間——1995年

在20世紀50年代，歐內斯·施特勞斯提出了這樣一個問題，是否存在著這樣一個多邊形的房間：這個房間的每一面墻都是用鏡子覆蓋住的，當你在房間內的某個位置點亮一根火柴后，房間的有些部分依然籠罩在黑暗當中，因為鏡子對光線的反射無法到達那些地方。

這個問題一直沒有答案，直到1995年，加拿大阿爾伯塔大學的喬治·托卡爾斯基找到了問題的答案。他說，確實存在這樣的房間，而這樣的房間最小擁有26面墻，其建筑平面圖如圖所示。如果這根火柴在合適的位置點燃的話，那么房間至少有一點會處在黑暗當中。托卡爾斯基將之稱為最小的沒有照明的房間。在托卡爾斯基設計的這個房間里，火柴應該處在一個特殊的點，才能讓房間的某個部分處于黑暗當中。但是，如果你將火柴稍微移動一下位置，整個房間就會再次亮起來。在此，我們應該注意到，如果一束光恰好射在這個房間的一個角落里，那么光線就會在兩面相鄰的鏡子的連接處被吸收，完全不會反射。

一個改進版本的解答方法是D.卡斯特羅在1997年提出的，他在一個具有相同屬性、24面墻的房間里做到了。

下面這個問題依然沒有得到解答：是否存在著一個極為復雜的房間，無論你在房間的哪個位置手持火柴，這個房間始終都會有黑暗的角落？目前還沒有人找到這個問題的答案。

有照明的房間

想象一下，如圖所示的L形房間的墻壁上、地板上、天花板上全部被鏡子所覆蓋。這個房間處于完全黑暗的狀態。一個站在左上角的人點亮了一根火柴。請問，在房間右下角抽煙的人是否能夠通過鏡子的反射看到這根點亮的火柴呢？

彭羅斯的無照明房間

1958年，羅杰·彭羅斯利用橢圓的屬性，做成了一個始終都會有黑暗角落的房間——不管蠟燭（黃色的點）擺放在哪里。紅色的點就是這個房間的頂部與底部形成的半個橢圓的焦點所在。你能畫出每種情況下處于黑暗部分的區域嗎？

岡布茨，世界上第一個自我擺正的物體——1995年

所謂的岡布茨，是已知的第一個凸面三維同質物體，將這個物體放在一個平面上，只有一個穩定的平衡點與一個不穩定的平衡點。

離心的球體也是一例，但它是密度不均的。是否能夠建構一個單基、同質且凸面的三維立方體這個問題，是俄羅斯數學家弗拉基米爾·阿諾爾德在1995年的一次會議上與加博爾·多莫科什交談時提出來的。

很多人之所以認為岡克茨形狀是不存在的，是因為在二維狀態下，根本就不存在只有兩個點就能處于平衡狀態的形狀。人們能做到的最好的方式就是通過兩個穩定與兩個不穩定的點去獲得這樣的平衡。

這種被稱為岡布茨的形狀是加博爾·多莫科什（多莫科什是匈牙利布達佩斯科技與經濟大學機械、材料與結構系的主任）與他的一名學生彼得·瓦爾科尼（在普林斯頓大學工作）共同提出來的。在他們提出岡布茨這種形狀之后，岡布茨就經常出現在許多數學期刊上的頭版頭條上，多莫科什也在2007年12月7日上了英國的電視臺，向觀眾們解釋岡布茨的運轉方式。正如我們所看到的，岡布茨是一種讓人感到興奮的物體，這是第一個完美的自我擺正的物體，也是最近幾年來最具美感的創意性成果之一。若是將岡布茨隨意地放置在水平面上，那么岡布茨就會迅速回到它的平衡點上，這與不倒翁玩具非常相似。但是，不倒翁玩具依賴的是玩具底部的重力，而岡布茨則是由同質的材料構成，因此是它的形狀讓它能夠自我擺正的。

岡布茨唯一一個不穩定的平衡點就在與其穩定平衡點相對的位置。在這個不平衡點上，岡布茨可以處于平衡狀態，但是哪怕最輕微的干擾都會讓岡布茨倒下來，這與通過筆尖豎起來的鉛筆是一樣的。岡布茨形狀并不是獨一無二的，而是有無數個不同的衍生版本。絕大多數岡布茨的形狀都接近一個球體，并且有著嚴格的形狀容許誤差（大約每100毫米只能容許0.1毫米的誤差）。岡布茨的形狀有助于解釋某些擁有神奇平衡能力的烏龜的行為，因為這些烏龜能夠在被翻過來之后重新翻回去。

永恒之謎——1996年

永恒之謎是一款瓷磚拼圖游戲，它是克里斯托弗·蒙克頓發明的，1999年6月，該游戲由艾特爾游戲公司發行出售。

這個游戲需要用209塊不規則形狀的、顏色相同的小多邊形拼塊去填充一個較大的、形狀基本是正十二邊形的空間。

這個拼圖游戲在發行出售的時候就宣稱，這是一個不可能完成的拼圖游戲，并且懸賞100萬美元給任何能在四年內完成這個拼圖游戲的人。2000年，這份獎金終于有了著落。第二款拼圖游戲是永恒之謎2游戲，該游戲在2007年夏天發售，并且懸賞200萬美元給任何能夠完成這個拼圖游戲的人。直到現在，仍然沒有人能找到完整的解答。

這款游戲很快讓人著迷，在世界范圍內賣出了50萬份。永恒拼圖游戲在其發行當月，就以35英鎊的零售價成為英國當月最暢銷的游戲。

在這款游戲上市之前，蒙克頓就想過，任何人要想完成這個拼圖游戲至少需要三年的時間。那個時候，他估算，這個拼圖游戲的每一個答案都有10500種可能性，即便你有100萬臺電腦，要想解答這個問題，都需要耗盡整個宇宙所有的時間。

但是，2000年5月15日，在這個拼圖游戲懸賞的截止日期之前，來自劍橋大學的兩位數學家亞歷克斯·塞爾比與奧利弗·賴爾登破解了這個謎題。他們取得成功的關鍵就在于，他們嚴格按照數學的方法去計算，決定了每一個拼塊的可拼砌性，以及拼盤上每個空間區域的屬性。在七個月的計算時間里，他們只用了兩臺計算機，經過不懈的努力，就找到了答案，如圖所示。

雷蒙德·斯穆里安（1919—）

用馬丁·加德納的話來說，雷蒙德·斯穆里安是一個“擁有哲學家、邏輯學家、數學家、音樂家、作家與了不起的謎題發明家這些頭銜的獨一無二”的人。斯穆里安一開始的工作是進行舞臺魔術表演，他最初的興趣愛好卻是音樂與數學。1955年，他在芝加哥大學獲得了商學學士學位，1959年在普林斯頓大學獲得博士學位。雷蒙德是一位蜚聲國際的數理邏輯學家。他還以作家的身份聞名于世。他一共寫作了20多本書，被翻譯成17種不同的語言。

正如馬丁·加德納所總結的：“雷蒙德·斯穆里安的確是一位擁有著禪師與圣人般智慧的人。他擁有音樂家與魔術師那樣的藝術感與細膩感，擁有詩人的感情、創造力與口才，擁有邏輯學家與數學家的洞察力與分析能力，還擁有巫師那樣的神奇力量。”

說真話的城市——1996年

生活在真話城的人始終都在說真話，而生活在假話城的人當然始終在說假話。你正走在前往真話城的路上，你來到了通往兩座城市的十字路口。正如圖所示，你看到了一個讓你感到困惑的標語，你不得不詢問那些十字路口旁邊的人，想得到正確的方向指引。遺憾的是，你不知道那個人所說的是真話還是假話。你只能向這個人提一個問題。要想從他的回答里知道哪一條才是通向真話城的道路，你該提出什么樣的問題呢？

說真話與婚姻

國王有兩個女兒，她們的名字是阿梅莉亞與利拉。其中一個人已經結婚了，而另一個還沒有結婚。阿梅莉亞總是說真話，而利拉總是說假話。在很多神話故事里，年輕人只能向兩人中的一個提出一個問題，判斷她是否已經結婚了。當然，他的獎賞就是迎娶國王那位尚未結婚的女兒。

他要提出的這個問題不能超過五個字。

你知道他提出的問題是什么嗎？

真話、假話以及真假話之間

在一座名叫“沒有人知道真相”的大都市里，有一些人總是說真話，也有一些人總是說假話，還有一些人一時說真話，一時說假話。你與生活在這座城市的某個人見面。這一次，你可以提出兩個問題，而他給予的回答必定能夠讓你判斷出他屬于這三種類型中的哪一種。你會向他提出哪兩個問題呢？

雷蒙德的演說

“我對神秘主義與宗教有著強烈的興趣，雖然我并不信仰任何宗教。我對比較宗教學更感興趣——我想知道世界各地的宗教信仰背后所隱藏的事實。我相信，所有的宗教都在努力接近真理，但是誰也沒有完全找到這樣的真理。對我影響最深的一本書就是理查德·比克所寫的《宇宙的意識》（Cosmic Consciousness），這本書的中心思想就是說新型的意識正在通過進化慢慢地融入人類的生活當中，而過往的神秘主義與宗教領袖，以及很多藝術家與世人都擁有著這種可預見的宇宙意識。布克引用了這些人的許多思想，最終呈現出讓人嘆為觀止的內容。因此，我向你們強烈推薦這本書。

在政治領域內，我是一個極端的自由主義者，但這也并不是針對所有事務的——比方說，我絕對會拒絕那些所謂的‘政治正確’的東西。事實上，我這個人有點特立獨行，而我的墓志銘將會是這樣的：

他活著的時候是無可救藥的。

他死后更是無可救藥的。

在高中的時候，我愛上了數學，并在數學與音樂之間左右為難。

另一件有趣而神奇的事情發生在我在普林斯頓大學念書的時候。在那些日子里，我經常會到紐約市玩耍。在一次旅行中，我遇到了一位極具魅力的女音樂人。在某個時刻，我耍了一個非常聰明的把戲，甚至還讓她欠我一個吻呢！我并沒有向她索吻，而是建議我們玩‘要么加倍，要么欠款一筆勾銷’的游戲。她是一位大度的人，于是就表示同意了。很快，她就欠我兩個吻。接著，我又耍了一個把戲，她欠了我4個吻，之后是8個吻、16個吻——這些數字不斷地翻倍與升級，直到最后我才發現，我結婚了。我與布蘭切這位充滿魅力的女音樂人結婚了，并且我們結婚的時間已經超過48年了。遺憾的是，布蘭切在2006年去世，享年100歲。”

杰里邁亞·法雷爾，一位數學家兼魔術師與他著名的“選舉日”游戲——1996年

杰里邁亞·法雷爾（1937—）是美國印第安納州巴特勒大學一名退休的數學教授。他發明的一款謎題游戲“1996年‘選舉日’”登上過《時代周刊》雜志。他還為許多書籍與報紙寫過許多與謎題相關的內容，其中包括斯科特·金在《探索雜志》上的謎題專欄。

他就讀于內布拉斯加州立大學，1963年大學畢業，獲得了數學、化學與物理學學位。之后，他獲得了數學碩士學位。1966年，他受邀成為印第安納州巴特勒大學的教師，在那里工作了40年時間，幾乎教遍了數學系的各個分支領域。法雷爾在1994年正式退休，但他依然會教一個學期的課程。

法雷爾以他為《紐約時報》設計的許多縱橫字謎游戲而聞名。1996年，他設計了他最著名的“選舉日”謎題游戲。其中的一句話隱藏著“明日頭條新聞”的線索，這句話中有14個字母。但是，這個游戲只有兩個正確的答案：一個答案是“鮑勃·多爾贏得選舉，成為總統”（BOBDOLE ELECTED），另一個答案是“比爾·克林頓贏得選舉，連任總統”（CLINTON ELECTED）。所有的縱橫單詞都是按照這樣的方式去設計的，它們可能是這兩句話中的一句，從而讓答案能夠滿足最終的選舉結果。維爾·史沃茨稱這是一項“驚人的壯舉”，說這是他最喜歡的謎題游戲。

2006年，法雷爾與他的妻子從A.羅斯·埃克勒手中接手《單詞方式》這本季刊雜志的編輯與出版工作。

法雷爾是平面地球協會的會員，紐約大學計算機科學系教授丹尼斯·E.沙沙頒給了他“一等啟發獎”，用于表彰他第一個正確解答了沙沙著作《謎題冒險》里那些內嵌的謎題。由于給出了解答方法，法雷爾被邀請到格林威治村的某個地方與作者會面。

星相線與超立方體游戲

星相線游戲是一種四維空間的神奇魔法，是杰里邁亞·法雷爾發明的。你可以輕松操作，讓你的觀眾感到震驚。這種游戲是在一個有16個節點的四維游戲盤上進行的，每一個節點上都貼有紅色和藍色的“ASTEROID”這個單詞中的字母。

你可以要求某位朋友從中選出一個字母，那么你接著可以向他提出下面四個問題：

你所選擇的字母是在單詞SEAT、SOAR、RITA還是OTIS里？

為了保證你的魔術更具吸引力，你可以告訴你的朋友，她或他可以隨意決定是否誠實地回答這些問題。

假設你的朋友對這四個問題的答案是：

是的—不是—是的—是的。

你就能立即知道他選擇的字母是T，你可以表揚他說出了真話。

如果他決定撒謊，那么他的回答就是：

不是—是的—不是—不是。

你同樣能夠知道他選擇的字母是T，但你也能夠知道他在說假話。

你能解釋這個魔術的運轉方式嗎？

斯圖爾特·科芬的多面體互鎖拼圖游戲——2000年

在多面體互鎖拼圖領域內，斯圖爾特·科芬是世界范圍內公認的權威設計師。在他開始探索正交拼圖（所謂的正交拼圖就是指拼圖的每個部分都與其他部分直角拼砌）之外的領域前，還鮮有這樣的拼圖游戲。但是，科芬卻設計發明了數百種這樣的拼圖游戲。其中一些拼圖游戲已經用塑料進行了商業化生產。在《多面體剖分的拼圖世界》一書中，斯圖爾特展示了他設計的幾何主題的互鎖拼圖。

在某些情形下，斯圖爾特發現了一個簡單卻極具美感的設計模式，他將這樣的設計模式推向了極致，帶來了驚人的結果。

他設計出了許多讓人著迷的幾何拼圖。從20世紀70年代初期開始，他就在他的工作室里制作這些拼圖，創造出了200多種原創拼圖游戲。他的設計體現出來的技巧性與創造性使他受到了拼圖愛好者與收藏者的廣泛贊譽。

2000年，斯圖爾特榮獲山姆·勞埃德獎。2006年，他獲得了蘆原伸之獎，這是為了表彰他在設計發明機械拼圖游戲方面做出的卓越貢獻。

蚱蜢游戲——2002年

2002年，在安特衛普舉辦的國際謎題大會開幕的當天，有一個持續時間很長卻很無趣的演說環節。當時，坐在臺下的我正在一張正方形的白紙上無聊地亂畫著，突然間，一個紙筆游戲的靈感從我的腦海里冒了出來。這不是第一次了。我的潛意識總會不時為我提供創作靈感。

我的想法是這樣的：想象一下，一只蚱蜢沿著已知的整長度進行跳躍，它需要按照下面的規則去做。

我們的這只蚱蜢必須從刻度為0的點開始進行跳躍，按照遞增的長度連續進行跳躍：1-2-3-4-……-n。這只蚱蜢需要盡可能多地跳躍，并且在這條線的終點位置完成第n次的跳躍。如果我們能夠找到這樣的一條線，那么這個游戲就結束了，也就說明我們找到了解答這個謎題的方法。如果找不到這條線，那就說明這個謎題無解。注意，蚱蜢可以在這條線的兩個方向上進行跳躍。

這個問題似乎很有趣。于是，我決定繼續進行涂鴉，以求通過較為系統的方法找到這個問題的解答。我首先從線條1開始。此時，我意識到有的線是有解的，而有的線是無解的。我漸漸清楚地意識到，這個無辜的蚱蜢的理念并不像我一開始涂鴉時所想的那么簡單。看來解答這個問題需要找到一個無窮數列，來求出每一個解。但是，這樣的數列背后是否隱藏著什么數學原理呢？

對于前面八條線，我找到了兩個解。n=1的情況是顯而易見的，如圖所示。恰好在這個時候，這個無聊的演說結束了。

我回到自己的房間，繼續找尋解答。到晚上，我已經找到了當n的數值到達40時的16個解。這并不是一件容易的事。蚱蜢游戲讓我明白，只是在一條線上以連續單位長度去移動一個點，就會生成一個具有挑戰性的游戲，這個游戲蘊含著微妙的數學原理與令人驚訝的屬性。

在這天晚些時候，我與迪克·赫斯會面，并且懇求他幫忙找到這個問題的一般性解答方法。第二天，我在吃早餐的時候遇到了迪克·赫斯。他禮貌地感謝我賜給他一個無眠之夜，但是他向我保證絕對不會放棄對這個問題的解答。迪克叫上了本杰·費舍爾幫忙。在接下來的一天里，蚱蜢數列問題背后隱藏的數學原理終于被發現了，這為蚱蜢游戲的無窮數列問題提供了關鍵的理論支持。

這就是蚱蜢游戲誕生的經過。2010年，在亞特蘭大舉辦的加德納大會上，我遇到了尼爾·斯隆。我向他展示了這個蚱蜢游戲，并將完整的數列融入其中。尼爾對這個蚱蜢游戲表現出了極大的興趣。

今天，蚱蜢數列游戲在網絡上也占有重要的地位。在《尼爾·斯隆整數序列的在線百科全書》里，我發現自己設計出來的這個數列與圓周率、質數、斐波那契數以及其他數都被收入其中。我對此感到非常自豪。

蚱蜢游戲的幾個例子

n從數字1到8的這八個游戲當中，只有當n=1與n=4的時候，才是有解的（大紅色為終點）。

蚱蜢問題：前40段

已知一條長度為整數n的線段，我們要從刻度0開始，以長度遞增的方式沿著這條線進行持續的跳躍：1-2-3-……-n。我們要做出盡可能多的跳躍，最終在這條線的終點上完成第n次的跳躍。

對這條長度為n的線段來說，如果在終點恰好能完成第n次的跳躍，那它就是有解的，否則它就是無解的。可以往前跳，也可以往回跳，但是絕不能離開這條線。當n的數值變大時，跳法可能不止一種。在前40個長度之內，你能找到多少個解呢？前面兩個答案已經給出來了。

錫德·薩克森（Sid Sackson，1920—2002）

《游戲集錦》（Gamut of Games）一書由錫德·薩克森所著，首次出版于1969年。這本書囊括了許多種紙筆游戲、卡片游戲與棋盤游戲的游戲規則。書中提到的許多游戲之前在其他書籍里從來都沒有被提到過。因此，很多人認為，任何對抽象的策略游戲感興趣的人都應該閱讀這本書。

錫德·薩克森被視為歷史上最重要與最具影響力的游戲設計者之一。他還是一位狂熱的游戲收藏家。據估算，他的游戲收藏數量在某個時候曾是世界上最多的，數量高達18000套，其中包括許多游戲的原型與限量版游戲。這些“寶物”都被他保存在位于新澤西州的家里，直到2002年他以82歲的高齡去世。

如果這些游戲至今仍保存完好的話，那么薩克森收藏的游戲將是對現代棋盤游戲的一份極具價值的記錄。

薩克森夢想著有一天能夠成為一座游戲博物館的館長，這座博物館的主要藏品就是他的收藏。錫德尋求過我的幫助，我們為此進行過多次的討論，商討如何才能建立起這座博物館。最后，我們的計劃沒有成功，錫德對此感到非常失望。遺憾的是，在他去世之后，他的許多收藏品要么散落了，要么被拍賣了。

切割邊角

兩位選手在用兩種顏色（紅色與藍色）中的一種進行游戲，他們沿著正方網格輪流畫出一個角，至少一條相連接的邊是對方的顏色。在這場游戲結束時，如果某個區域中某位選手用他自己的顏色畫出的邊更多，那他就贏得了這塊區域（用·表示）；如果該區域兩種顏色的邊一樣多，那它就不屬于任何一個選手（用*表示）。

右圖的這個游戲示例中，紅方取得了勝利。

蘆原伸之（Nobuyuki Yoshigahara，1936—2004）

蘆原伸之時常被稱為“蘆原”，他是日本最著名的謎題發明家、收藏家、解謎專家與溝通專家。

他從東京理工大學應用化學系畢業后，從事工程學研究工作，后來改行，到高校進行教學工作，成為一名化學教師與數學教師。

作為一名專欄作家，蘆原伸之是多個期刊的重要撰稿人，其中就包括著名的《夸克》雜志。他創作的與解謎相關的書籍多達80本。

隨著他謎題發明家的名望逐漸攀升，他將自己的設計授權給一些公司，推向市場。比如，他將包括“尖峰時刻”在內的一些游戲授權給二元藝術公司（現名為樂享游戲公司）、伊舍出版公司、花山玩具公司等公開發售。他還是一位狂熱的計算機程序員，用計算機解答了許多數學謎題。

蘆原伸之是國際謎題大會的積極參與者，曾到世界各地參加過一些年度會議。

2005年，他死后一年，國際謎題大會的謎題設計競賽被重新命名為蘆原伸之謎題設計競賽，以表達對他的敬意。

2003年，游戲與謎題收藏家協會授予蘆原伸之勞埃德獎章，表揚他在發明機械謎題方面所做出的杰出成就。蘆原伸之是一位著名的發明家、收藏家與謎題的推廣者，也是我的一位摯友。

杯子里的硬幣——向蘆原伸之致敬的游戲

在亞特蘭大舉辦的加德納大會的早餐會上，蘆原伸之開始即興創作。他取出一個杯子，裝滿水，然后從口袋里取出一些硬幣，接著問我：在杯子里的水滿溢之前，一共能夠放下多少個硬幣？我對表面張力方面的知識是有所了解的，于是我就沒有中他的這個圈套。他肯定認為我會說只能放入很少的硬幣，比方說3個或4個，但是我果斷地預測了12個硬幣。

在接下來的10分鐘里，蘆原伸之非常耐心地將59枚硬幣放入了杯子里，直到他的口袋里再也沒有了硬幣。我給了他幾枚硬幣，直到放入第63枚硬幣之后，杯子里的水才滿溢出來。蘆原伸之像往常那樣贏得了大家的掌聲，也贏得了這次打賭。我想問的是，這是怎么做到的呢？

水分子間具有很強的吸引力。在水的表面，水分子會受到向下的強大吸引力，而表面張力則會讓水的表面變得像彈性膜一樣。當硬幣放入杯子里之后，這個彈性膜片就會從邊緣拉伸，形成一個拉伸的曲面。

“追逐丁香”視錯覺——2005年

下面這些令人震驚的余像幻覺是杰里米·欣頓在2005年之前創造出來的。他在設計視覺運動實驗的刺激物的過程中，無意間發現了這樣的圖形。

在讓圓盤沿著一個中心點轉動的程序里，他忘了移除之前的圓盤，結果創造了一種移動間隙的視錯覺。在發現了一個轉動的綠色圓盤余像之后，他調整了前景色、背景色、圓盤的數量、時機，從而達到最佳的效果。

2005年，欣頓又把這些圓盤調模糊，這樣一來，當一名觀察者持續地注視中心點時，這些圓盤似乎就消失了。欣頓試圖以此作品參加EVCP視錯覺大賽，但是卻因為沒有提前報名登記而失去了參賽資格。欣頓找到了邁克爾·巴克，后者將一張呈現這一幻覺的動圖放在了他的網站上，稱之為“追逐丁香”視錯覺。之后，他設計出了一款可擴展的JAVA程序。2005年，這種視錯覺版本在互聯網上開始流行，被視為最美妙的余像幻覺之一。

著色的余像

將你的視線集中于中間的十字上。因為視網膜疲勞效應，旁邊著色的點會在幾秒鐘之內消失，這時物體的余像與它對視網膜的刺激相抵消，但是，過一會兒，你將會看到一個緩緩移動的綠色余像在慢慢呈現。

杰里米·欣頓發現的“追逐丁香”著色點幻覺的各個版本是著色余像幻覺最震撼的例子之一。如果你的眼睛時刻緊盯著著色點，那么它們就會依然保持相同的顏色：粉色。但是，如果你只是盯著中間位置的黑色點，那么過一段時間之后，所有的點都會漸漸消失，然后緩緩移動的綠色點就會呈現出來。我們大腦運轉的方式真是非常神奇。其實，根本就不存在什么綠色的點，而粉色的點也并沒有真正消失。

機械拼圖——2006年

杰里·斯洛克姆（Jerry Slocum，1931—）是美國一名機械拼圖專家、歷史學家與收藏家。他將自己的一生都奉獻給了拼圖事業，直至退休。他曾在休斯航空公司擔任工程師。

他個人收藏了4萬套機械拼圖游戲與4500本書，這是該領域的世界紀錄。

杰里·斯洛克姆在推廣機械拼圖方面所做出的貢獻應該說是無人能出其右。他的多本優秀的拼圖書籍始于1986年的《新舊拼圖》，這本書包括了數百種彩色的古代機械拼圖。在這本書的引言里，馬丁·加德納預測這本書將會是“一部經典”。1993年，斯洛克姆成立了斯洛克姆拼圖基金會，這是一個旨在通過拼圖展覽會、出版物、交流與收藏去向公眾推廣拼圖的非營利機構。前八屆的國際拼圖會議是在斯洛克姆比弗利山莊家中的客廳里舉辦的。后來，這樣的會議慢慢演變成了一年一度的邀請會，在北美、歐洲與亞洲等地輪流舉辦。

杰里·斯洛克姆上過約翰尼·卡森的《今夜秀》、瑪莎·斯圖爾特的《瑪莎生活》以及其他八個全國性的電視節目。2006年，他向印第安納大學的莉莉圖書館捐贈了3萬套拼圖游戲，從而第一次讓拼圖集萃出現在了學術機構。

三十二面體——2002年

在杰里·斯洛克姆捐贈給印第安納大學的3萬套拼圖游戲里，就有著名的三十二面體，這是日本拼圖學家Yashirou Kywayama在2002年發明出來的。

在以斯洛克姆名字命名的圖書館的嶄新展廳里，大約陳列著400套拼圖游戲。參觀莉莉圖書館的讀者可以試著拼一下這些千百年來給人類帶來歡樂的拼圖的復制品。

有孩子的家庭——2010年

下面這個問題是馬丁·加德納發明的“有孩子的家庭”系列概率謎題的一部分。

生男孩與生女孩的概率似乎是相等的，但事實總是如此嗎？

你可以看看下面這幾個問題，是如何運用到馬丁·加德納所提出的一系列具有挑戰性的概率謎題的，其中涉及條件概率——也就是說，在其他事件出現的情況下，某一事件發生的概率。你可以看到，這樣的結果通常是違反直覺的，有時甚至會讓你感到非常驚訝。

兩個孩子的家庭

一個女人與一個男人各有兩個孩子，其中，女人的孩子中至少有一個是女孩。男人的大孩子也是女孩，那么女人的兩個孩子全是女孩的概率與男人的兩個孩子全是女孩的概率是否相等呢？

兩個女兒的問題

假設一位母親懷上了雙胞胎，她想知道雙胞胎都是女孩的概率。

1.她生下兩個女孩的概率有多大呢？

2.雙胞胎中有一個是女孩的概率有多大呢？

3.已知雙胞胎中有一個是女孩，那么雙胞胎全是女孩的概率是多少呢？

三個孩子的家庭

在一個有三個孩子的家庭里，至少有一個女孩的概率是多少呢？

有八個孩子的兩個家庭

有兩個家庭，其中一個家庭育有八個男孩，另一個家庭育有八個女孩。因為生男生女的概率是相同的，你認為在這樣規模的家庭里，生下四個男孩與四個女孩的概率會不會更大一些呢？一個家庭生下八個女孩的概率與一個家庭生下四男四女的概率相比，哪個更大一些呢？

星期二出生的男孩——2010年

在2010年亞特蘭大舉辦的加德納大會上，非常有創造力的謎題設計師加里·弗許發表了一場演說，他在演說里講到了下面三句話：

“我有兩個孩子，

其中一個男孩是在星期二出生的。

那么我這兩個孩子都是男孩的概率是多少呢？”

加里如往常那樣面無表情地接著往下說：

“你們首先想到的可能是，這個問題與在星期二出生有什么關系呢？

好吧，事實上，這與其中一個男孩在星期二出生有著莫大的關系。”

接著，他從講臺上走了下來。

在這次會議之后，“星期二出生的男孩”這個問題在世界各地的博客上被廣泛討論，很多人都對這個爭議性的話題發表了看法。

其實，這個游戲是馬丁·加德納的“男孩或女孩的悖論”系列游戲的一個衍生版本，這些內容在本書中介紹過了（可以參考本章前面的內容）。

問題的關鍵就在于如何正確地解讀加里所提出的問題。讓我們先捋清其中相關的一些問題。

首先，我們先將星期二的問題拋在腦后，那么這個問題就可以解讀為：

在所有已經有了一個男孩以及另一個孩子的家庭里，這些家庭擁有兩個男孩的概率是多少呢？下面，我們列舉一下有兩個孩子的四種可能性（如圖）：

在這四種可能性中，一種就是兩個男孩的情況，而這樣的概率其實為三分之一（因為兩個女孩的情況已經被排除掉了）。

那么，在大家爭執告一段落之后，加里又說了什么呢？

“肯定有一種基于選擇的論點。

我的解法是基于集合論的。

首先將有兩個孩子的家庭視為一個集合。

然后再研究其中的子集：那些有兩個男孩的家庭。

接著，我們再去研究其中的一個子集：有一個男孩是在星期二出生的家庭。

如果你按照這樣的方式看待這個問題的話，那么正確的答案會是13/27。

但是，如果你在選擇孩子時考慮了其他因素，并由此選定集合，那么答案就會不一樣。

誠然，這是一個非常棘手與有爭議的謎題。”

我非常喜歡加里提出的這個問題以及這個問題所引發的爭議。在下一頁的內容里，我將會嘗試按照加里的解釋，找到他這個問題的答案。

方法一

請注意：加里并沒有說只有一個男孩是在星期二出生的。顯然，他的意思是“至少有一個”。

孩子擁有特定性別與生日的情況，一共會有7+7+7+6=27種，在這些組合當中，有13種組合是屬于兩個男孩的情況。因此，這個問題的答案就是13/27，這與原先的1/3有著較大的差別。

男孩是在星期二出生的，那么女孩就可以在一個星期的任何一天里出生，這就有7種不同的可能性。

女孩可以在一個星期的任何一天里出生，而男孩只能在星期二出生，這就有7種不同的可能性。

第一個男孩是星期二出生的，那么第二個男孩可以在一個星期的任何一天里出生，這就有7種不同的可能性。

第一個男孩是在一個星期的任何一天里出生的，第二個男孩是在星期二出生的。這就有6種不同的可能性，其中一種可能性就是——這兩個男孩都是在星期二出生的——這種情況要排除掉，因為之前已經計算過了。

方法二

加里提出的“星期二出生的男孩”的問題還有一種視覺計算方法，是《科學新聞雜志》的比爾·卡斯爾曼提出來的。

一共有27種可能的家庭組合，如圖所示，有兩個男孩的可能性是13種，因此，這個概率為13/27。

滑塊游戲

滑塊游戲通常要求選手沿著特定的路線（一般是在一個棋盤上）滑動小方塊，從而拼出某種圖形。

正如我們在第5章所看到的，15個方塊的游戲是滑塊游戲最古老的形式。它是諾伊斯·查普曼發明的，并在1880年流行一時。與其他的“遍歷”游戲不同的是，滑塊游戲禁止將任何小方塊從棋盤上拿起來。這樣的游戲屬性將滑塊游戲與重新安排滑塊的游戲區分開來。因此，在二維空間內的每一步移動以及所走的路線，都受限于棋盤的范圍，這對于解答滑塊游戲來說是非常重要的。就其本質來說，滑塊游戲是在二維平面上進行的，即便滑塊可能是用機械聯動件做成的。現在，這種游戲已經有了電子版（即電子游戲），可以在網上玩了。

簡單的滑塊游戲——2011年

2011年12月，《經濟學人》雜志提出了這樣一個問題：最難解答的簡單滑塊游戲是什么呢？

兩位發明家走在了發明最難解答的簡單滑塊游戲的前列，他們就是詹姆斯·斯蒂芬斯與奧斯卡·馮·德芬特。

根據艾德·佩格的說法，詹姆斯·斯蒂芬斯的簡單滑塊游戲，是以奧斯卡·馮·德芬特的原型為基礎的，并認為這樣的設計稱得上是“最難解答的滑塊游戲”。這個游戲的目的就是將紅色的拼塊移動到左上角。這個游戲能夠在18步后完成。

奧斯卡的扭曲魔方游戲

從20世紀80年代開始，受魯比克魔方巨大成功的鼓舞，一種全新類型的機器魔方應運而生了，無論是數量還是種類都在迅速增加。荷蘭設計師奧斯卡·馮·德芬特就是這類魔方背后的天才發明家。他發明并制造的扭曲魔方以及其他類型的魔方達數百種。

奧斯卡最新的一個發明就是“飛越巔峰”魔方。這是一個扭曲的17×17×17的機械魔方，在2011年的紐約魔方展覽會上首次亮相。它是在Shapeways.com網站3D打印出來的，由1539塊單獨的塑膠塊組成。與大眾市場的魯比克魔方相比，它稱得上一個不折不扣的巨人。

德芬特通過學習成為一名電學工程師。2010年，他設計出了“飛越巔峰”魔方，整個研發過程用時60小時。在Shapeways公司對游戲的每個部件進行3D打印之后，德芬特需要對打印出來的部件分門別類進行整理，然后挨個進行著色，最后再將這些部分組裝起來，整個過程是手工完成的。要想最后完成這些步驟，還需要額外花費15小時。為了讓更多人能夠了解這個游戲的創作過程，德芬特在自己的Youtube頻道上讓人一窺這一魔方的內部，同時還展示了其他許多由他發明的魔方。

“當我第一次聽到來自希臘的帕納約蒂斯·貝爾德斯發明的7×7×7、9×9×9與11×11×11的魯比克魔方與來自中國的李發明的12×12×12的魯比克魔方創造了一項又一項世界紀錄時，當時我就想自己也要創造出一項世界紀錄來。”德芬特這樣說，“在得到我的好朋友克勞斯·溫尼克提供的贊助與魔方原型之后，我開始了魔方的設計與測驗工作。經過三次嘗試，我最終在Shapeways公司成功地進行了3D打印。

上述17×17×17魔方絕對不是他事業的最高峰。最近，他通過MF8制作出了由20個三角形做成的可以轉動各面的正多面體。

組合魔方

組合魔方又被稱為順序移動魔方，由許多可以旋轉并形成不同組合的零件組裝而成。一開始是隨機設置的，拼回預先設定的組合就算成功。一般情況下，將相同顏色的拼一組或按順序拼起來就算成功。

這類魔方中最著名的一款就是魯比克魔方。它有六個面，每個面都可以獨立轉動，每個面顏色各不相同，每個面都由相同顏色的九個部分組成。

隨意轉動魔方，使每種色塊都隨機分布在不同的面上，當六個面中每個面再次拼回開始的一種顏色時，就算挑戰成功。

魔方的各個部件的組合能如何改變是由魔方的構成方式決定的，這就將可能的組合方式限定在一定范圍內。就拿魯比克魔方來說，可以在立方體的各個面上隨機粘貼彩色貼紙，來得到大量的組合方式，實際上，旋轉魔方時會發現很多組合是不可能實現的。

安東尼奧·佩迪克夫（AntonioPeticov，1946—）

安東尼奧·佩迪克夫是一位巴西數學藝術家，生于1946年。他創造出的藝術品凝結著技術與審美的元素，呈現出多樣化的風格。他通過作品敞開了一個多彩的世界，讓人們感受到機械世界潛藏的微妙之處，給人帶來靈感。

數學與藝術——2012年

從當代視角來看，數學與藝術看似是兩個不相干的領域，不過，不少視覺藝術家都會讓數學成為他們作品的一個焦點。數學藝術家往往會廣泛地運用數學知識去進行多主題的創作，其中就包括多面體、鑲嵌、不可能圖形、默比烏斯帶、扭曲或是不尋常的視覺系統以及分形學等。

但是，數學藝術的領域要比絕大多數人所想的還要廣闊與多元。現在越來越多的當代藝術家都將數學——從斐波那契數到圓周率，再到默比烏斯帶——視為他們創作的靈感。安東尼奧·佩迪克夫就是這樣一位藝術家。

泰賈·克雷薩克（Teja Krasek）

泰賈·克雷薩克在盧布爾雅那的視覺藝術學院獲得了繪畫學士學位，后來成了自由職業的藝術家，在斯洛文尼亞工作與生活。她在創作理論與實踐方面都特別注重對稱性與數學的概念，并且將其視為藝術與科學結合的一種理念。

克雷薩克的作品專注于融合藝術、科學、數學與技術。她還將現代電腦科技與古典的繪畫技術結合起來。

生物起源

斯洛文尼亞藝術家泰賈·克雷薩克探索藝術、科學與數學之間的分形邊界。

她這樣說道：“藝術與數學是緊密融合在一起的，它們的結合創造出了深邃且難以預期的意象與情感，使我們恍如超越時空。”