Chapter 8　悖論、元胞自動機、空心立方體與夜間過橋謎題

西瓜的悖論——1960年

酒店里的許多客人都在共享一個大西瓜，這個西瓜凈重10千克，里面包含著90%的水分。在西瓜運到酒店之前，它所含的水分就從原先的90%降到了現(xiàn)在的80%。

你能計算出這個西瓜在到達餐桌，讓客人大飽口福的時候，它的重量是多少嗎？

連續(xù)的西瓜

七個大西瓜的重量（以千克為單位）是7個連續(xù)奇數(shù)，并且這七個西瓜的平均重量是7千克。

請問，最重的那個西瓜是多少千克呢？

弗雷德金的元胞自動機——1960年

愛德華·弗雷德金（1934—）是卡內(nèi)基-梅隆大學的一名教授，同時也是麻省理工學院的客座教授，他是數(shù)字物理學方面的先驅(qū)之一。他的重要貢獻就包括元胞自動機，這是他在20世紀60年代發(fā)明的最早與最簡單的自我復制系統(tǒng)。在這個二進制系統(tǒng)里，每一個元胞都有兩種可能的狀態(tài)：生或是死。弗雷德金認為，有關(guān)一切萬物的終極理論是可以計算的，而整個宇宙就是一臺電腦。

五個具有生命的元胞（紅色正方形）的原始圖形及其相鄰的部分，將根據(jù)下面的簡單原則，世代轉(zhuǎn)換。

一個元胞的命運取決于其四鄰元胞的數(shù)量（既可以水平相鄰，也可以垂直相鄰）。

1.如果相鄰元胞的數(shù)量是偶數(shù)，那么這個元胞下一代就會處于死的狀態(tài)（白色的部分）。

2.如果相鄰元胞的數(shù)量是奇數(shù)的話，那么這個元胞下一代就會處于活的狀態(tài)（紅色的部分）。

認真觀察下面五代的變化，結(jié)果讓人驚訝：第一代中具有生命的五個元胞的原始組合結(jié)構(gòu)，經(jīng)過五代，生成了四組完全相同的副本。

康威自動機的規(guī)則

康威生命游戲

生命游戲是英國數(shù)學家約翰·霍爾頓·康威于1970年發(fā)明的一種元胞自動機。生命游戲不是競技游戲，你一個人就可以玩。你不會贏，也不會輸。其設(shè)計的初衷僅僅是為了創(chuàng)造一個原始結(jié)構(gòu)，看它如何成長。

生命游戲的宇宙就是一個無限的二維正交方塊陣列網(wǎng)格，每一個網(wǎng)格都處于兩種的可能狀態(tài)，非生即死。每一個元胞都與其在水平方向、垂直方向以及對角線方向相鄰的八個元胞進行互動。每按步驟互動一次，下面的變化就會出現(xiàn)：

1.孤獨狀態(tài)：一個少于兩個相鄰元胞的元胞會死去。

2.擁擠狀態(tài)：一個元胞有超過三個相鄰的具有生命的元胞，就會死去。

3.繁殖狀態(tài)：一個有三個相鄰元胞的空元胞，就會誕生一個元胞。

4.存活狀態(tài)：一個元胞擁有兩個或三個相鄰元胞的話，它會保持不變。

彎扭折紙游戲

彎扭折紙游戲是獲得專利的原創(chuàng)折紙游戲。復制兩邊都印有圖案的正方形，沿著虛線折疊，然后沿著中間黃色正方形的兩條對角線剪下去。接著，沿著虛線折疊正方形，創(chuàng)造出一個如圖所示的帶有圖案的，只有原來正方形一半大的正方形。

折紙

很多有趣的謎題與拓撲學上的發(fā)現(xiàn)只需通過對一張方形紙的折疊就可以表現(xiàn)出來。無論對孩子還是對成年人來說，這些方法都是對平面幾何的一種很好的介紹。古代流傳下來的折紙就是很好的例子。

所謂的折紙，就是將一張紙折疊成多個面的結(jié)構(gòu)。亞當·沃爾什就將其定義為擁有兩個或兩個以上面的平面紙張。

在20世紀50年代，馬丁·加德納將折紙推廣開來。受其影響，我對折紙很著迷，發(fā)明了兩個原創(chuàng)折紙游戲。其中一個就是彎扭（Flexi-Twist），這是我給自己強加的一個用于創(chuàng)造全新折紙結(jié)構(gòu)的挑戰(zhàn)任務(wù)，如古典折紙要求的一樣，不能事先折疊和粘貼，但依然保留了多個讓人印象深刻的面與具有挑戰(zhàn)性的折痕。

另一個折紙游戲是“伊凡的鉸鏈”，這是全新類型的琴式鉸鏈中第一個獲得專利的折紙游戲，折疊游戲與結(jié)構(gòu)的世界級權(quán)威格雷格·弗雷德里克森在他那本激動人心的著作《琴式鉸鏈剖分》里將這個折紙游戲命名為“伊凡的鉸鏈”。

夜間過橋

這座橋?qū)⒃?7分鐘后準時倒塌。四位步行者必須在黑暗中走過這座橋。他們只有一個手電筒，這個手電筒是每次過橋時都需要的。

一次最多只能有兩人帶著手電筒過橋，每次過橋之后，必須有一人將手電筒帶回來。每一位步行者都以不同的速度過橋：第一位過橋需要1分鐘，第二位需要2分鐘，第三位需要5分鐘，第四位需要10分鐘。因此，每兩人一起過橋的時間都以速度最慢的那個人為準（比方說，第一個過橋者與第三個過橋者一起過橋，那么他們過橋的時間將是5分鐘）。這個過程中不允許耍任何花樣，不可以將手電筒扔回來，也不能背著人過橋。這個問題只有兩種解答的方法，你能夠找到這兩種解答方法嗎？

弗蘭克·厄德斯的螺旋側(cè)面——1962年

阿伯丁大學醫(yī)學研究院的微生物學家弗蘭克·奧德教授在1962年提出了螺旋側(cè)面的概念，據(jù)說，當時他正在上一堂“并不是很有趣的高中化學課”，這是他在一張圖形紙上胡亂涂鴉之后發(fā)現(xiàn)的。他提出了一個能夠衍生出充滿驚喜的具有美感的模式的簡單法則，他將之稱為螺旋側(cè)面。

從一個非常簡單的衍生過程中，我們可以看到螺旋側(cè)面的生成基于這樣的思想：將幾何圖形定義為通過一個運動的點形成的路線圖。奧德教授將螺旋側(cè)面視為一只蠕蟲依據(jù)下面的法則行進時形成的路線。

蠕蟲移動1個單位后右轉(zhuǎn)90°，移動2個單位后再右轉(zhuǎn)90°，再移動3個單位，然后再右轉(zhuǎn)90°，依此類推，直到到達某一個特定的極限“n”。這就形成了一個螺旋側(cè)面的縱橫格，接著重復這樣的過程。

在一個正方形網(wǎng)格的紙上，你可以非常輕松地用紙與筆去玩這個螺旋側(cè)面的游戲。

上圖已經(jīng)給出了前10個螺旋側(cè)面。當n=11以及n=13時，你能繼續(xù)給出這兩個階數(shù)更高的螺旋側(cè)面嗎？

質(zhì)數(shù)螺旋——1963年

1963年，著名的波蘭數(shù)學家斯塔尼斯拉夫·烏拉姆（Stanislaw Ulam）聽一次無聊的演說時，在一張紙上漫無目的地寫著數(shù)字。他在一個正方矩陣里草草地寫下了一些連續(xù)的數(shù)字：首先在中間位置寫下1，然后按照下圖所示的方式，一系列數(shù)字以螺旋的方式在網(wǎng)格里呈現(xiàn)了出來。

讓他感到無比震驚的是，質(zhì)數(shù)基本上都落在對角線與直線上。

在他的矩陣里，前面26個質(zhì)數(shù)都落到了直線上，每條直線上至少包括3個質(zhì)數(shù)，而一些對角線則包含著更多的質(zhì)數(shù)。同樣神秘的線段模式還出現(xiàn)在更大的矩陣上，數(shù)以百萬計的質(zhì)數(shù)呈螺旋狀分布，形成了與此相似的圖形。

這是自然的法則還是一種偶然呢？到目前為止，人們還沒有弄清楚。

烏拉姆還研究了起點不是1的整數(shù)矩陣的螺旋，如左邊的這個矩陣，它是從中間的數(shù)字17開始的。他驚訝地發(fā)現(xiàn)，在這種螺旋圖形里，質(zhì)數(shù)呈現(xiàn)出一種奇怪的分布模式。你可以嘗試一下。

地圖與郵票折疊——1963年

折疊郵票是一般的地圖折疊問題的特殊情況。在你展開一張大地圖，試圖重新將其折疊成原先的形狀時，你可能會遇到一些困難。波蘭數(shù)學家斯塔尼斯拉夫·烏拉姆是第一個提出以下問題的人：可以用多少種不同的方法去折疊一張地圖呢？

從那時起，這個問題就一直讓當代研究組合理論的研究人員感到頭疼。事實上，關(guān)于折疊地圖的一般性問題至今仍未得到解答。

有一句古語放在這里也是適合的：“重新折疊一張地圖的最簡單方法，就是用不同的方法去進行折疊?！?/p>

折疊三枚連成一條的郵票

折疊三枚連成一條的郵票，有多少種方法？你可能只能沿著齒孔進行折疊，而這三枚郵票最終的折疊結(jié)果就是彼此重疊在一起。這些郵票是正面朝上還是背面朝上，這些都不是我們需要考慮的問題。正如我們之前所了解的，三種顏色的郵票有六種不同的組合方式（也就是3×2×1）。通過折疊你能夠得到多少種不同的結(jié)果呢？此時，我們應(yīng)該注意到，折疊郵票的問題有下面幾種不同的可能性。

1.無銘記的（U）——對于無銘記的郵票，在不需要考慮郵票方向的情況下，沿齒孔處折疊是唯一一種可能的折疊方式。

2.有銘記的（N）——如果郵票貼上了標簽，那么就需要考慮它們的方向。

3.對稱性（S）——對稱性的折疊。

在這三種不同的情況下，你能找到多少種不同的折疊方法呢？

折疊四枚連成一條的郵票

折疊四枚連成一條的郵票有多少種方法？你可能只是沿著齒孔去進行折疊，那么最終的折疊結(jié)果肯定是四枚郵票彼此重疊。這些郵票是正面朝上還是背面朝上都是不需要考慮的。

折疊一個四枚郵票組成的正方形

折疊一個四枚郵票組成的正方形有多少種方法呢？你可能只是沿著齒孔去進行折疊，那么最終的折疊結(jié)果必然是四枚郵票重疊在一起。這些郵票是正面朝上還是背面朝上都是不需要考慮的。正如我們之前所看到的，四種顏色的郵票一共有24種不同的組合方法（也就是4×3×2×1）。你能想出多少種不同的折疊方法呢？

折疊一個六枚郵票組成的長方形

六枚郵票組成的一個2×3的長方形，我們可以沿著齒孔，想出多種不同的折疊方式。如圖所示，我們已經(jīng)按照顏色的序列給出了四種不同的折疊方法。你能想出哪一種折疊方法是不可能的嗎？在最終的折疊結(jié)果里，郵票是正面朝上還是背面朝上，都是不需要考慮的。

折疊一個八枚郵票組成的長方形

你能將八枚郵票沿著齒孔折疊，使這些郵票按從1到8的順序重疊在一起嗎？

在棋盤上滾動骰子——1963年

1963年，馬丁·加德納提出了在不同大小的棋盤上擲骰子的問題。

骰子的尺寸與棋盤的單元格大小是一樣的，而骰子是通過向相鄰的正方格滾動來實現(xiàn)移動的，每滾動一次，都會出現(xiàn)不同的點數(shù)。

滾動骰子（一）

如圖所示，從給出的位置開始滾動骰子，滾動6次，每次都滾出不同的點數(shù)，最終讓它停在左下角的正方格時6點朝上，該如何滾動？

滾動骰子（二）

從頂部的正方格開始滾動骰子，每次滾動一面，最終，骰子要滾到左下角的正方格里。連續(xù)滾動骰子6遍后，讓左下角正方格里的點數(shù)按從1到6的順序排列。你能做到嗎？

巴克敏斯特·富勒（Buckminster Fuller，1895—1983）

巴克敏斯特·富勒被他的朋友們稱為“巴克”，他是20世紀重要的創(chuàng)新者之一，他的發(fā)明數(shù)量達到了讓人震驚的程度。他成功地設(shè)計了圓頂建筑、最大限度利用能量的住宅、“巴克球”以及其他諸多發(fā)明。

他認為協(xié)同配合是交互式系統(tǒng)的基本原則，提出了一種被稱為“協(xié)同學：思維的幾何學探索”的重大課題。他稱自己為“B號試驗品”，表明自己的人生就是一場試驗。他通過制作模型與搭建藍圖展示自己的設(shè)計理念與思想，將他“以復雜換精簡”的設(shè)計哲學用符號表現(xiàn)，用以解釋協(xié)同配合的原則。

我與富勒見過兩次面。第一次是在20世紀60年代左右參加他在以色列特拉維夫舉辦的講座。在他演說結(jié)束后的提問環(huán)節(jié)里，我向他展示了我新發(fā)明的米勒卡爾的第一款原型。這是受到他的思想啟發(fā)而制作出來的一種全新模式的鏡子萬花筒。一旦解謎成功，萬花筒最終就會呈現(xiàn)出富勒的肖像。他非常愉快地接受了我設(shè)計的萬花筒，并且與我交流了幾句，說他非常喜歡我的這個有趣的游戲，這讓我感到很高興。

另外一次就是在20年后的紐約，當時我正在愛迪生酒店等電梯。此時，電梯門打開了，我直接撞上了那位剛走出電梯的先生。我們倆當時都感到有點疼痛，當我倆恢復過來時，我發(fā)現(xiàn)撞到的就是富勒先生。當他見到我的時候，就大聲地喊道：“哎呀，你不就是那個發(fā)明萬花筒的人嗎？”可見，他也是一眼就認出了我。

富勒邀請我喝咖啡，我與他度過了人生中最愉悅的一段時光。他在喝咖啡的兩小時里所展現(xiàn)出來的魅力我將永生難忘。

“在我看來，對兒童來說，沒有什么比幾何問題更能增強他們在探索發(fā)現(xiàn)方面的能力與自信心了。幾何學可以幫助我們利用已有的知識去探索未知的東西，這讓人感到無比興奮。幾何學優(yōu)雅的證明方式通常會幫助我們更加深入地了解解答問題所需要的策略?！?/p>

——巴克敏斯特·富勒

富勒的協(xié)同作用——1964年

協(xié)同作用是指兩件或兩件以上的事情同時作用，從而產(chǎn)生一種無法獨立獲得的結(jié)果。協(xié)同作用一詞的提出很大程度上要歸功于富勒，他的許多研究工作都涉及探索與創(chuàng)造協(xié)同作用。

富勒非常擅長通過創(chuàng)造模型去證明自己的觀點。他的骨架四面體就以非常具有美感的方式展現(xiàn)了他協(xié)同作用的思想。兩根彎曲的鋼絲形成的三角形可以用某種完美的方式構(gòu)建出一個完美的四面體模型，這是一個由四個三角形組成的三維圖形。因此，1加1似乎能夠等于4。

梅爾·斯托弗是富勒的朋友，他本身也是一位著名的魔術(shù)師。他利用富勒發(fā)明的鋼絲三角形創(chuàng)造出了一個近景魔術(shù)。梅爾向他的觀眾展示了用鋼絲制成的有四個面的四面體，然后舉起這個四面體，讓離他最近的人用兩個鋼絲三角形（沒有彎曲）重新創(chuàng)造出一個四面體。當然，誰也沒有辦法成功地做到。梅爾的巧妙之處就在于他在舉起由兩個由鋼絲做成的彎曲三角形時，將這些彎曲的鋼絲弄直了，使之變成了兩個平面的三角形。

富勒的協(xié)同學——1964年

維姆·富勒在其著作《太陽與能量間的協(xié)同學》一書里提到，協(xié)同學是對轉(zhuǎn)變中的系統(tǒng)進行的實驗研究，重點強調(diào)整個系統(tǒng)的運行情況，光憑每個單獨部件的行為無法對其進行預測，其中也包括人類作為參與者與觀察者所扮演的角色。

人類作為系統(tǒng)的一個組成部分，既可以識別小到微觀量子、大到宏觀宇宙的系統(tǒng)，又可以清楚地表達它們的行為方式。這使得協(xié)同學成為一門非常寬泛的學科，囊括了許多科學與哲學層面上的研究，其中就包括四面體與緊密堆積球體幾何學。

巴克敏斯特·富勒發(fā)明了協(xié)同學這個術(shù)語，并試圖用兩卷本的著作來界定其范圍。然而，協(xié)同學依然是一個非常規(guī)的，甚至有點激進的研究課題，未能獲得主流科學界的支持。絕大多數(shù)傳統(tǒng)院校對此都很少理會。

富勒的工作激勵著許多研究人員投入?yún)f(xié)同學的研究當中。赫爾曼·哈肯對開放系統(tǒng)具有的自組織結(jié)構(gòu)展開了研究；艾米·埃蒙德森對四面體與二十面體進行了幾何學的研究；斯坦?！け葼栄芯苛松鐣恿W范圍內(nèi)的測地線問題。

直到現(xiàn)在，還有許多研究人員仍然不懈地進行著協(xié)同學方面的研究，盡管他們都有意識地與富勒當年提出的包羅萬象的定義保持一定的距離。

巴克敏斯特·富勒的吉特巴舞系統(tǒng)

巴克敏斯特·富勒的吉特巴舞系統(tǒng)是最具美感的多面變形之一。在半正則的阿基米德多面體里，我們已經(jīng)談到了立方體，富勒將之稱為“矢量平衡”。吉特巴舞系統(tǒng)是富勒對在四個顯著位置連續(xù)變形的系統(tǒng)的一種稱呼，它會從立方八面體依次變形為八面體、二十面體、十二面體（反之亦然）。

富勒運用棍子與具有柔韌性的橡膠頂點成功地做出了這樣的可變形系統(tǒng)。吉特巴舞系統(tǒng)的運動能讓富勒將立方八面體變成八面體，而相反的步驟則是將八面體變成立方八面體。

要是沒看到這個系統(tǒng)運轉(zhuǎn)的慢動作，就很難理解吉特巴舞這一系統(tǒng)所具有的美感。當你制造出這樣的模型時，就能有這樣的感受。右圖的照片就是在1991年瑞士蘇黎世舉辦的歐利卡展覽會上展出的吉特巴舞系統(tǒng)模型。吉特巴舞系統(tǒng)有八個三角形的面，當這些面轉(zhuǎn)動時，它們就會迅速沿著四個旋轉(zhuǎn)的軸心向內(nèi)收縮或向外擴張。

現(xiàn)在市面上有許多以吉特巴舞系統(tǒng)為原型的玩具與游戲，多數(shù)是用紙、鋼鐵或塑膠做成的，最近還新出了一款用磁石做成的玩具。

滾動的肖像立方體——1964年

滾動立方體游戲是在1971年出版的《趣味數(shù)學》一書中由杜登尼首先提出來的。后來，經(jīng)過馬丁?加德納和約翰?哈里斯的大力推廣而大受歡迎。這種立方體有六個面，每個面上都有一位著名人物的頭像。將這種立方體在一個棋盤上滾動，游戲規(guī)則與玩法如下：

游戲一：首先將愛因斯坦頭像面朝上放在棋盤左下角的方格里。游戲規(guī)則是：讓這個立方體從一個格翻滾到另外一個格，直到遍歷棋盤的每個方格，最終停留在棋盤右下角，并且愛因斯坦頭像依然是正面朝上的（當然，不一定非得選擇愛因斯坦頭像，也可以選別的人物頭像）。這聽上去可能很簡單，但愛因斯坦頭像除了在起點和終點面朝上外，在整個“旅程”中絕對不能面朝上。

游戲二：將愛因斯坦頭像放在棋盤第二排的第四個方格，以此作為起點，遍歷棋盤的每個方格，最后再回到起點位置，形成一個封閉的回路。在此期間不能讓斯大林頭像正面朝上。你能做到嗎？

可變的肖像立方體

謎題一與謎題二的棋盤游戲

不動點定理——1964年

如圖所示，將一張圖片放在另一張圖片之上，這兩張圖片是完全一樣的，但是一張圖片比另一張圖片更大一些。不動點定理是這樣闡述的：在較小的圖片上有一個點正好處于較大圖片相同點的正上方，這樣的點只有一個。你能找到嗎？

通過不動點定理還可以找到數(shù)以百計個這樣的點，這種定理被稱為布勞威爾定理，它是以荷蘭數(shù)學家魯伊茲·布勞威爾（1881—1966）的名字命名的。布勞威爾以他的直覺主義數(shù)學哲學聞名于世，他將數(shù)學視為基于不證自明的法則的智力建構(gòu)。

右邊的圖形演示了這個點是如何被找到的。將第三張與較小的圖片相同圖片放在較小的圖片之上，擺放位置參照前面兩張圖片，重復添加較小圖片的過程，那么最終會出現(xiàn)一個我們想要找尋的點，正如圖的黃色點，去檢查一下吧！

有趣的是，即便是在較小的圖片出現(xiàn)褶皺時，這個定理依然是適用的。

僧侶與高山——1966年

僧侶沿著一條狹窄的山路攀登高山。他早上七點出發(fā)，晚上七點到達山頂。他會以不同的速度前進，并且要進行多次休息。第二天，他要在同一時間出發(fā)，并于同一時間到達山腳。在他兩天的往返過程中，僧侶有沒有可能在同一時間經(jīng)過同一個地點呢？

正方形拼湊——1974年

另一個起源于俄羅斯的具有挑戰(zhàn)性的幾何消失游戲出現(xiàn)在我的著作《絞盡腦汁的游戲》系列叢書里，由美泰公司于1967年推出。

18塊著色后的形狀剛好能夠拼湊成一個正方形，如圖所示。但是，在這18塊形狀當中，只需要17塊同樣能拼湊出一個正方形，因為其中一塊較小的正方形是可以不使用的。這聽上去是不可能做到的，但其實可以。你能解答這個問題，并解釋背后的神秘之處嗎？

回旋陀螺玩具——1969年

回旋陀螺是一個神秘的物體，能夠沿著一個方向不斷旋轉(zhuǎn)，然后以相反的方向旋轉(zhuǎn)回來?；匦勇菔强脊艑W家們在研究史前石器時代的斧頭時發(fā)現(xiàn)的?；匦勇葜钥雌饋砗苌衩兀且驗槿藗冋J為某些東西既然沿著一個方向旋轉(zhuǎn)，那它就會繼續(xù)沿著這個方向旋轉(zhuǎn)，直到某種外力的干預使其停下來。在物理學上，這被定義為角動量守恒。

回旋陀螺有著特殊的形狀，能夠只沿著一個方向不斷旋轉(zhuǎn)。當回旋陀螺沿著一個非首選方向旋轉(zhuǎn)的時候，它的旋轉(zhuǎn)速度就會漸漸地降下來，并且開始從一端晃到另一端。接著，回旋陀螺便會沿首選方向轉(zhuǎn)動。簡而言之，要是以錯誤的方式使其旋轉(zhuǎn)起來，那么它就會停止之前的旋轉(zhuǎn)方向，以相反的方向旋轉(zhuǎn)起來。

原始的回旋陀螺是用木頭做成的，并且上面有各種裝飾的雕刻與圖案?；匦勇莠F(xiàn)在通常都是以塑膠玩具的形式出現(xiàn)在市面上。

為了了解回旋陀螺的運轉(zhuǎn)方式，我們就需要認真觀察其形狀?；匦勇莸捻敳渴潜馄降?，并且有一個非對稱的橢圓底部。橢圓體上的長軸與其扁平頂部的長軸做了特殊的校準設(shè)計，使得回旋陀螺具有優(yōu)選的方向。換言之，兩個長軸并不平行，因此回旋陀螺被設(shè)定為沿著某個方向旋轉(zhuǎn)。

今天，回旋陀螺的多個衍生版本都可以在市面上看到，作為具有科學趣味的玩具而廣受歡迎。一個較大版本的回旋陀螺大到足以讓小孩子騎在上面，這是拉斯基科學技術(shù)博物館在20世紀60年代末制造出來的一個展覽品。

直到現(xiàn)在，有關(guān)回旋陀螺的種種奇怪表現(xiàn)，有許多不同的解釋，不過，我們?nèi)栽诘却粋€更加符合物理法則的解釋。在對這個玩具進行了長達100年的研究之后，尚未找到答案的科學家們不大可能就此停下研究的腳步。劍橋大學教授布萊恩·皮帕德說：“其實，科學家們真的很喜歡玩具，他們對任何看上去古怪的東西都充滿了興趣。除非他們找到了能夠解釋這些東西運轉(zhuǎn)的原理，否則他們是不會感到高興的。”

單向穩(wěn)定多面體——1969年

所謂的單向穩(wěn)定多面體就是一個n維度的物體，這樣的立方體只能以一個面站立起來，并且其密度是均勻的。1969年，約翰·康威、理查德·蓋伊與M.戈爾德貝格建構(gòu)了一個單向穩(wěn)定多面體，這是一個有17條邊、19個面的棱柱，如圖所示，它有著對稱的橫截面。這樣建構(gòu)的圖形已經(jīng)是一個記錄了，因為少于19個面的這樣的物體現(xiàn)在還沒有被發(fā)現(xiàn)。

與不倒翁玩具一樣，蓋伊建構(gòu)的棱柱一旦傾斜之后，就會往另一邊自動地擺正。一些烏龜，比如印度星斑陸龜也有這樣的單向穩(wěn)定形狀。平面上的任何凸多邊形都不是單向穩(wěn)定的。V.阿諾爾德通過縮減到四頂點定理證明了這一點。

不倒翁

這個不倒翁玩具在被外力壓倒時，會自動歸正。不倒翁玩具有一個圓形底座，近似半球。它的重心就在這個半球的中心位置之下，因此任何使其傾斜的做法都會讓這個不倒翁的重心恢復到之前的位置。推動不倒翁玩具時，它會左右搖晃一下子，然后回到直立。在這個平衡狀態(tài)下，勢能最小。

平衡狀態(tài)

三個著色的珠子能夠自動地沿著直立的管道移動。這些珠子的分布方式展現(xiàn)了三種不同的平衡狀態(tài)：

頂部：穩(wěn)定的。

中間：中立的。

底部：不穩(wěn)定的。

印度星斑陸龜

這只烏龜?shù)男螤钍顾谋撤^去之后能翻回來。來自布達佩斯科技與經(jīng)濟大學的數(shù)學家加博爾·多莫科什與來自普林斯頓大學的數(shù)學家彼得·瓦爾科尼設(shè)計了一個岡布茨（Gomboc）——只有一個不穩(wěn)定平衡點和一個穩(wěn)定平衡點的同質(zhì)物體。正如重心位于底部（非同質(zhì)的重量分布）的球體始終都會恢復到直立位置一樣。他們注意到星斑陸龜也與之相似，通過對30只烏龜翻面進行實驗，他們發(fā)現(xiàn)很多烏龜都能夠自己翻正（詳細內(nèi)容參見第9章岡布茨的內(nèi)容）。

非傳遞性的悖論——1970年

絕大多數(shù)關(guān)系都具有傳遞性，這種二元關(guān)系是這樣闡述的：如果A大于B，而B大于C，那么A就肯定大于C。另一方面，某些關(guān)系可能就不具備這樣的傳遞關(guān)系（如果A是B的父親，而B是C的父親，那么說A也是C的父親，這絕對是不正確的）。

著名的石頭剪刀布游戲就是一種非傳遞性的游戲。在這種游戲里，石頭能夠贏剪刀，剪刀能夠贏布，而布又能贏石頭。中國古代的哲學家們就將事物分為五種類型，形成了一個非傳遞性的循環(huán)：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木。

在概率論里，有些關(guān)系看似具有傳遞性，其實并非如此。如果這種非傳遞性違反直覺，我們就會感到無比困惑。這樣的關(guān)系就被稱為非傳遞性的悖論或游戲。

很多天才都想創(chuàng)造出這樣的悖論與游戲，這其實是很糟糕的做法。這種游戲最簡單且最讓人震驚的版本就是非傳遞性的骰子游戲，如圖所示。這樣的骰子是斯坦福大學的統(tǒng)計學家布拉德利·埃夫倫1970年首先設(shè)計的，之后經(jīng)過馬丁·加德納在《科學美國人》專欄里的推廣，廣受歡迎。

非傳遞性的骰子游戲

如果你用骰子玩游戲，你會認為自己投擲出來的點數(shù)是隨機的。這個游戲的目的就是找到這個游戲里四個骰子的特殊之處。

按照下面的方式去玩：

1.要求你的游戲伙伴從四個骰子里選一個骰子，然后你再從剩下的三個骰子里進行選擇。

2.輪流投擲出一個骰子，擲出的數(shù)字越大的一方為獲勝的一方。

該怎樣選擇骰子，才能讓你取得最終的勝利呢？

五角星形——1970年

基于黃金比例（參見第2章）而設(shè)計出來的一個具有美感的剖分游戲是由瑞士特里加姆的讓·鮑爾發(fā)明的。它是由三個形狀組成的：兩個等腰黃金三角形，一個正五邊形，如圖所示。

五角星形組成部分

在五角星形系列當中，最具挑戰(zhàn)性的一個拼圖游戲，就是拼砌一個大的剖分正五邊形。這個正五邊形由三組不同的形狀構(gòu)成（五邊形與兩種等腰三角形），共計17塊。要求用這17塊分別拼出游戲一和游戲二中的拼圖。

五邊形與黃金三角形

與所有的正多邊形一樣，五邊形內(nèi)部也存在著許多相互關(guān)系。每一邊都與一個點相對，每一條對角線都在內(nèi)部連接著兩條邊，這兩條邊構(gòu)成黃金比例。

黃金比例的五角星形

五角星形是指有五個點的五角星形狀，這是黃金分割原理的終極展現(xiàn)形式。這種圖形也是畢達哥拉斯及其追隨者的秘密符號，他們將這個秘密隱藏在黃金比例中，然后據(jù)此創(chuàng)造出黃金三角形。五角星形可以用23個三角形與五個五邊形拼砌而成。

空心立方體——1970年

想象一下，你正在從不同的角度與方位去窺探一個空心的立方體。在這個立方體的底部，有一個8×8的正方網(wǎng)格形成的一幅圖。每一次，你都只能看到這幅圖的一部分。但若從六個不同的視角去看，就可找到足夠多的信息在右邊的空隙網(wǎng)格里重構(gòu)整幅圖。

史洛夫貝爾-格拉特斯馬拼裝立方體游戲

你能將六個1×2×2的方塊與三個1×1×1的立方體放入一個3×3×3的立方體里嗎？

拼裝立方體游戲

最早有關(guān)立方體拼裝游戲的內(nèi)容出現(xiàn)在1970年出版的一本書里，這本書的作者是詹·史洛夫貝爾（Jan Slothouber）與威廉·格拉特斯馬（Williams Graatsma）。你可以用紙板制作出九個方塊，但是要想解答這個看似容易的問題，其實并不是那么容易的。后來康威在這個游戲的基礎(chǔ)上，創(chuàng)造了一些更難的游戲，如圖所示。當這兩個游戲的秘密被人們發(fā)現(xiàn)之后，解答它們就變得相當容易了。

康威的5×5×5拼裝立方體游戲

與之前提到的3×3×3的立方體一樣，游戲的目的就是將十三個1×2×4的方塊、三個1×1×3的方塊、一個1×2×2的方塊以及一個2×2×2的立方體放入一個5×5×5的立方體里。

珠璣妙算——1970年

珠璣妙算這款棋盤游戲有著非常有趣的歷史。它是以色列通信專家與發(fā)明家麥迪凱·梅羅維茨于1970年發(fā)明的。梅羅維茨在遭到多家著名的玩具公司拒絕之后，找到我?guī)兔υO(shè)計他早期的紙板游戲原型。那時，我正在積極參與研發(fā)英國萊斯特Invicta Plastics公司的玩具，于是成功地將這款游戲納入其中。在這個公司的羅尼·桑普森的幫助下，我參與了珠璣妙算這款游戲的最終設(shè)計工作。這款游戲在銷售了5000萬份之后，至今依然在市場上進行銷售。這是20世紀70年代最成功的一款游戲。遺憾的是，梅羅維茨于1995年在巴黎逝世。

這款游戲的基本思想與最初被稱為“公牛與母?！钡募埌逵螒虿畈欢?，其歷史可以追溯到一個世紀之前。這個游戲需要玩家破譯密碼，猜出那個設(shè)計密碼的人所設(shè)定的密碼。密碼是從6種可選顏色的木釘中選擇4種，按照一定順序排列的。解密者需要進行一系列的模式猜想。在每次猜想之后，設(shè)計密碼的人都會反饋兩個數(shù)字，一個代表顏色正確位置也正確的木釘數(shù)量，一個代表顏色正確而位置錯誤的木釘數(shù)量。如果解密者在10次或少于10次的轉(zhuǎn)動中就找到了正確的模式，那么他就贏了，否則就是設(shè)計密碼的人贏了。

赫瓦塔爾藝術(shù)畫廊定理——1973年

赫瓦塔爾藝術(shù)畫廊定理是蒙特利爾大學年輕的數(shù)學家瓦茨拉夫?赫瓦塔爾對一個有趣的幾何問題求解的結(jié)果。

1973年，維克多·科利向赫瓦塔爾提出了這樣一個藝術(shù)畫廊問題：對于一個n邊形結(jié)構(gòu)的藝術(shù)畫廊，至少需要在里面安排多少警衛(wèi)，才能讓他們的視野覆蓋這個多邊形的每個角落？這樣的多邊形頂點數(shù)最少是多少？

如果一個多邊形不存在自相交的情況，那么這個多邊形就是簡單的。更為準確地說，這樣的多邊形的邊可能只會在它們的端點相交，并且一次絕對不會有兩個以上的交點。

顯然，如果這個多邊形是凸多邊形，那么它的整個內(nèi)部從任何頂點都可以看到。一般來說，情況并非如此。對于每一個能夠成形的n邊形而言，至少需要多少個頂點呢？

赫瓦塔爾的解答方法在概念上是非常簡單的，就是列舉出一些特殊的例子。之后，鮑登學院的數(shù)學家史蒂夫·菲斯克找到了一個簡單得多的證明方法。他從赫瓦塔爾的論文里知道了科利提出的問題，但卻發(fā)現(xiàn)這個問題的證明并不能說服人。接著，他開始思考這個問題，最終在阿富汗的一次旅行途中，乘坐公交車打瞌睡時突然想到了解答的辦法。

藝術(shù)畫廊定理

這個看上去形狀古怪的藝術(shù)畫廊是由24面墻組成的，其中可以旋轉(zhuǎn)的安保攝像機安置在某些角落里。如圖所示，12個安保攝像機（紅色的點）已經(jīng)安裝好了。

但是，安裝與保養(yǎng)這些攝像機是非常昂貴的。要想讓藝術(shù)畫廊的每個區(qū)域都能被攝像機看到，最少需要多少臺攝像機呢？另一個代價昂貴的方法就是重新進行設(shè)計，重新建造藝術(shù)畫廊，那么一個旋轉(zhuǎn)的安保攝像機就能完成這項工作，將這片區(qū)域的每個地方都覆蓋到。

鐵路迷宮——1974年

《謎題人生——馬丁·加德納一生追憶》一書的編者湯姆·羅杰斯、埃里克與馬丁·德邁納、羅杰·彭羅斯在這本書里描述了鐵路迷宮游戲，這是一個古老、簡單卻充滿智慧的紙筆游戲，這個游戲的基本概念就源于加德納的父親。

鐵路迷宮游戲是圓滑曲線連成的網(wǎng)絡(luò)，如圖所示。即便是這么簡單的鐵路迷宮游戲，解答方法似乎也不是那么容易找到的。游戲的目標就是沿著給出的路徑，從起點位置（紅色的點）出發(fā)，最后到達終點（藍色的點），整個過程中不能有任何折返的行為。

你可以將這個問題當成鐵路迷宮問題去解決。很多路徑最終都會讓你回到出發(fā)點，其間甚至還會有“旋渦”這樣的陷阱。一旦你進入之后，就再也無法走出去了。你能找到上圖這個鐵路迷宮的解答方法嗎？

非周期性拼砌與彭羅斯拼圖——1974年

正如我們早前所談到的，所謂的周期性拼砌是指在一個區(qū)域內(nèi)畫出一部分輪廓，然后通過轉(zhuǎn)換的方式對平面進行拼砌，就像我們在第4章所談到的鑲嵌那樣。非周期性拼砌是非周期性的拼砌組合所形成的。這樣的組合只允許非周期性拼砌。在很長一段時間里，專家們都認為，非周期性拼砌是不存在的。但在1964年，羅伯特·伯杰建構(gòu)出了一個超過兩萬塊拼砌部分的組合，之后將之減少到了104個部分。

各種各樣的彭羅斯拼圖就是非周期性拼砌最著名的情況。彭羅斯原型所具有的非周期性表明，彭羅斯拼圖的變形復本是絕對無法與原始的組合相匹配的。

1974年，羅杰·彭羅斯爵士提出了三組拼砌方式，它們只能被用于非周期性的拼砌。他的第一個組合（P1）是由六個基于五邊形的拼砌部分組成的，這受到了開普勒的影響。他的第三個組合（P3）則只使用了兩種形狀，這是一對菱形，如圖所示。但是，最激動人心的是，他的第二個組合（P2）卻只用了兩種形狀，就完成了非周期性的部分。約翰·霍爾頓·康威將這兩種形狀分別取名為“風箏”與“飛鏢”，這樣的圖案能夠創(chuàng)造出數(shù)不盡的美麗圖案，這些都統(tǒng)稱為彭羅斯宇宙（詳細情況可以參看下一頁的內(nèi)容）。讓人震驚的是，這樣的模式之后在準晶體的原子排列中被發(fā)現(xiàn)。

彭羅斯P3拼圖

右圖的彭羅斯拼圖是只用兩種形狀拼成的，是一對菱形，一“胖”一“瘦”。

彭羅斯P1拼圖

左圖的彭羅斯拼圖是利用一組四個形狀拼成的：五邊形、五角星形，還有被稱為“船”與“鉆石”的部分。

彭羅斯P2拼圖：車輪

1974年，彭羅斯發(fā)現(xiàn)了一個只用兩種形狀組成的非周期性拼砌，并給這兩個形狀分別取名為“風箏”與“飛鏢”。

彭羅斯的“風箏”與“飛鏢”要如何在平面上進行拼砌，才能避免出現(xiàn)周期性的情況，而只形成非周期性的拼砌呢？

彭羅斯通過使用H與T兩個符號對兩個拼片的角進行標記，如圖所示，解答了這個問題。要想做出非周期性拼砌，我們就需要將拼砌的部分排列好，從而讓相同字母的角可以拼砌在一起。彭羅斯證明，這種非周期性的拼砌是基于這樣一個事實，那就是兩種形狀的數(shù)量之比符合黃金比例1.618，它是一個無理數(shù)。這的確是非常有趣的。

我們給出的這個車輪模型就是最重要的彭羅斯拼圖。中間區(qū)域的紫色部分是由一個“風箏”與“飛鏢”組成的十邊形。這種圖形的外圍部分是由兩個部分組成的，也就是10個黃色扇形與10個藍色的輻條。這些輻條由“蝴蝶結(jié)”元件構(gòu)成，在倒轉(zhuǎn)180°后依然能夠鑲嵌到鄰近的扇形位置。

魯比克魔方——1974年

1974年，匈牙利的建筑學教授艾爾諾·魯比克發(fā)明了一種三維機械魔方，這種魔方就是現(xiàn)在眾所周知的魯比克魔方。在獲得魯比克的授權(quán)之后，1980年，這種魔方被理想玩具公司公開發(fā)售。

經(jīng)典的魯比克魔方六個面中每一個面都貼有九塊貼紙，每一塊貼紙的顏色都屬于六種固定顏色中的一種。這個充滿天才想象力的魔方每一個面都能獨立地轉(zhuǎn)動，使各種顏色混在一起。

玩這種魔方需要將每一個面恢復到原來的一種顏色。魯比克魔方可能的組合數(shù)高達驚人的43252003274489856000種。

1979年9月，理想玩具公司獲得授權(quán)，開始在世界范圍內(nèi)發(fā)售魯比克魔方。1980年1月到2月間，這種魔方第一次在倫敦、巴黎、紐倫堡、紐約等地舉辦的玩具展覽會上展出。

1970年，拉里·尼克爾斯發(fā)明了一種2×2×2的魔方，每一組中的每一小塊都可以自由旋轉(zhuǎn)。之后，尼克爾斯向加拿大專利局申請了專利。尼克爾斯的魔方是用磁石將各個部分組裝在一起的。1972年，尼克爾斯魔方在美國獲得了專利權(quán)，兩年之后魯比克魔方才發(fā)明出來。尼克爾斯將專利授權(quán)給了他的雇用方分子研究公司，1982年該公司對理想玩具公司提起訴訟。

我接受魯比克教授、戴維·辛馬斯特與湯姆·克雷默的邀請，在這場官司里出庭作證。1984年，理想玩具公司輸?shù)袅斯偎?，之后又提起上訴。1986年，上訴法庭認為魯比克的2×2×2口袋魔方侵犯了尼爾克斯的專利權(quán)，但是卻推翻了之前對3×3×3的魯比克魔方的判決。

魯比克魔方在國際玩具展覽會上展出之后，1983年（這是魔方游戲出現(xiàn)問題的一年），魔方銷售暫時中斷了，以便讓生產(chǎn)符合西方的生產(chǎn)和制造標準。

很多玩具廠家趁著這個機會，制造了大量的仿造產(chǎn)品。2003年，一位名為帕納約蒂斯·韋爾代什的希臘發(fā)明家創(chuàng)造出了從5×5×5直到11×11×11的魔方，并申請了專利。但是，這項世界紀錄的持有者是奧斯卡·馮·德芬特，他在2012年制造出了一個17×17×17的魔方。

直到2009年1月，魯比克魔方已經(jīng)銷售超過3.5億個，成為史上最暢銷的玩具。

不透明的柵欄——1978年

視線穿過一個已知的圖形時，不透明的柵欄成為阻擋其通過的最小屏障。1978年，R.洪斯博格提出了“不透明正方形”或“不透明柵欄”的問題，馬丁·加德納與伊恩·斯圖爾特對不透明的正多邊形與不透明的立方體問題進行了歸納總結(jié)。

多短的柵欄才能夠阻擋光線，使之無法穿過邊長為1個單位的正方形呢？

這樣的柵欄可以由任何一種形狀、任意一條直線或曲線組成，也可以由一種以上的形狀、直線或曲線組成。最明顯的解答方法就是沿著正方形的周長建構(gòu)一個柵欄，如圖所示，那么這個柵欄的長度將會是4個單位，但更好的解答方法是只沿著三邊去建造柵欄，將柵欄的長度縮減到3個單位長度。你認為柵欄的最短長度是多少？

埃爾代伊的斯皮德隆圖形——1979年

丹尼爾·埃爾代伊是一名匈牙利工業(yè)設(shè)計師與藝術(shù)家，他創(chuàng)造出了極具數(shù)學美感的三維空間。

他發(fā)現(xiàn)了一種全新的幾何形狀，他將之稱為“斯皮德隆”。斯皮德隆這種形狀除了自身所具有的審美功能之外，還能廣泛地運用到多個數(shù)學分支領(lǐng)域與藝術(shù)領(lǐng)域，比如平面幾何、鑲嵌、分形學、剖分學、多邊形、多面體以及其他三維空間填充結(jié)構(gòu)等。

斯皮德隆本質(zhì)上是一個平面結(jié)構(gòu)。斯皮德隆的主要特征在于，它擁有一種神奇的屬性，能夠折疊成一個復雜的三維空間形狀。

如圖所示，這只是一個較小的斯皮德隆結(jié)構(gòu)折成的一個較小的萬花筒式樣板，它展現(xiàn)了斯皮德隆這種圖形所具有的一些驚人屬性。丹尼爾·埃爾代伊的合作者包括馬克·佩爾蒂埃、阿米拉·比勒·艾倫、沃爾特·馮·巴勒古伊恩、克雷格·S.卡普蘭、里納斯·勒洛夫斯以及其他人。

聯(lián)鎖循環(huán)游戲——1979年

傳統(tǒng)意義上的滑塊或滑盤游戲都有一部分空間是未填滿的，這種設(shè)計可以讓其中的各個部分移動起來。掌握將這些滑塊移動到空白區(qū)域的方法，通常是解答此類謎題的關(guān)鍵所在。

丘吉爾謎題，匈牙利環(huán)游戲或羅利-摩拉基游戲系列都融入了全新的特點，其中不預留任何多余的空間。各個溝槽中的每一個滑塊都能夠像鏈條那樣移動，可以通過圓盤轉(zhuǎn)移到各個溝槽的交點位置，從而讓圖形模式發(fā)生一定的改變。在溝槽內(nèi)移動任何一個圓盤，就相當于在這個溝槽內(nèi)移動其他所有的圓盤。

摩拉基

1893年，威廉·丘吉爾發(fā)明了一個游戲并申請了專利，這是一種全新的機械謎題。直到1982年，匈牙利工程師安德烈·帕普申請了專利，并且以“匈牙利環(huán)”命名這款游戲之后，他的這款游戲才進行商業(yè)化生產(chǎn)。

1979年，我發(fā)明了羅利系列游戲，并在1981年申請了專利，1982年，我將專利授權(quán)給了美富特新奇玩具公司。

直到1985年，我才知道丘吉爾早就已經(jīng)申請了專利，因為在我申請專利的時候，看到丘吉爾的專利也列入了參考名單。

從歷史的角度來看，羅利系列游戲?qū)＠梢哉f是二維“聯(lián)鎖循環(huán)”游戲最早的子類別了。魯比克的“彎扭游戲”系列顯然是受到了魯比克魔方的影響。到目前為止，一共有超過800種類似的游戲。

2011年，德國的卡斯蘭德游戲公司的卡西米爾·蘭多夫斯基發(fā)布了這款游戲，將之稱為摩拉基游戲系列。

羅利-摩拉基游戲

羅利-摩拉基游戲系列由滑盤游戲組成，這些滑盤都是不存在多余空間的。在這個例子里，32個滑盤以一種鏈狀的方式在橢圓形溝槽中移動，如圖所示。每一條橢圓形溝槽含18個滑盤，其中有4個滑盤共用兩條溝槽。

在一個溝槽上移動滑盤，將會讓這個溝槽內(nèi)的其他滑盤都沿著順時針或逆時針方向轉(zhuǎn)動起來。連續(xù)地改變溝槽將會讓滑盤從一個溝槽轉(zhuǎn)移到另一個溝槽。

這些滑盤的顏色如圖所示。這些游戲的基本目目標就是用最少的移動，將中間的紅色正方形變成藍色的正方形。你可以按照想要的方式移動一步，改變溝槽內(nèi)的圖形，之后才能使另一個溝槽內(nèi)發(fā)生移動。

羅利-摩拉基謎題

要想將最初的圖形改變成另外兩個圖形中的一種，最少需要移動多少步？

1.變中間位置為藍色正方形（黑色可以是任何顏色）。

2.讓黃色的滑盤回到它們的初始位置。