前言

能主動拿起這本書，說明你是一個喜歡數學的人。當別人還在為數學考試焦頭爛額的時候，你已經像我一樣，在享受思考帶來的樂趣了。

這本書收集了我在日常的學習以及上網時遇到的許多有趣的數學問題。別看這些問題很簡單，研究起來卻別有洞天。在不斷發出“柳暗花明又一村”的感嘆中，也許你就會不知不覺地來到數學研究的前沿。

本書從兩個簡單的問題講起，帶你體會數學中“形”的直觀與“數”的嚴謹。我國數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合百般好，隔離分家萬事休。”本書第一章研究一道關于碰撞的物理問題，它的巧妙解法體現了怎樣通過“形”的方式使“數”的問題變簡便。第二章介紹“超級任務”與Ross-Littlewood悖論，會涉及微積分中“一致收斂”的概念，僅通過形象思考不容易看清全貌，必須進行嚴謹的“數”的分析。

之后的幾章，則通過深入分析幾個看似簡單的問題，帶你領略數學中若干分支深處的風景。第三章研究在平面與球面上排列點陣（像向日葵花序那樣）的問題，其探索過程主要涉及連分式的知識。第四章至第六章的幾個問題都涉及概率與隨機過程：第四章的“小黃鴨”問題，由二維平面與三維空間中的形象思考上升到高維空間中的嚴謹推理；第五章探討“賭徒”的必勝策略，用到了隨機過程中“鞅”的停時定理，以及譜分析法；第六章研究“洗牌”算法的一種錯誤實現中出現的神秘常數，會觸及“q-Pochhammer符號”這種特殊函數。

數學與程序設計，是親密如孿生姐妹的兩個學科。在數學研究中遇到問題時，可以借助編程來獲得靈感和驗證結果；用數學方法研究出的結論，也能指導我們寫出更短、更快、更好的程序。第三章至第六章的探索過程，都以計算機編程作為輔助手段，而第七章至第十一章，則以編程本身為研究對象。如果你正在學習算法與數據結構，這幾章的內容會讓你的頭腦得到很好的鍛煉。

本書的第七章至第九章，都取材于棋牌類游戲。第七章研究“n皇后”問題，第八章研究“24點”算式，這兩章的重點都在于枚舉法的優化。第九章介紹Sprague-Grundy定理：它能夠快速找出一種棋類游戲的必勝策略，但它的形式匪夷所思，這一章就介紹了提出該定理的思路。第十章介紹Matlab的數據可視化函數如何因為一個bug而效率異常低下，以及我想到的并不復雜的優化方案。第十一章則是對樹這種數據結構進行一番操練，讓你扎實掌握樹形結構的序列化方法。

本書最適合理工科的本科學生閱讀。在閱讀過程中，可以預習或者復習微積分、線性代數、概率論等多門數學知識，并體驗用它們解決實際問題的樂趣。涉及編程的部分，使用的編程語言主要是Python和Matlab，這兩種語言最能體現“簡潔”的特點。

我在研究書中問題的時候，得到過多位知乎網友的幫助。比如，第五章的“賭徒必勝策略”問題，是從與知乎網友黃海潮的私信交流中提煉出來的；在求解過程中，我與常雅珣、王希、七月、張雨萌、Jack Diamond、玩得就是心跳歸來、Mr woe、蕭洋、Eidosper、Octolet等多位知友進行過討論。除此之外，知友Lucas HC、張健提供了編寫第六章與第九章的靈感；知友劉奔、終軍弱冠、hqztrue對解決第六章、第八章的問題做出了很大的貢獻。我想對所有這些網友表示衷心的感謝！

書中有些問題，尚未得到完整、優雅的解決方案；我敘述的解法，也難免有錯漏之處。如果你發現了錯誤或者更好的解法，或者對書中的內容有疑問，歡迎通過郵箱maigoakisame@gmail.com與我聯系。另外，歡迎大家去圖靈社區本書主頁（iTuring.cn）獲取更多學習資料，以便更完整地閱讀本書。

 

王　赟　

2020年12月