2.5 矩陣

MATLAB為Matrix Laboratory（矩陣實驗室）的縮寫，可見該軟件在處理矩陣問題上的優勢。

按照空間結構分類，矩陣可分為一維矩陣、二維矩陣、三維矩陣，向量可以看成是一維矩陣，因此，向量中的點積、叉集運算在矩陣中也適用，本節不再贅述。

2.5.1 矩陣的生成

矩陣的生成主要有直接輸入法、M文件生成法和文本文件生成法等。

1.直接輸入法

在鍵盤上直接按行方式輸入矩陣是最方便、最常用的創建數值矩陣的方法，尤其適合較小的簡單矩陣。在用此方法創建矩陣時，應當注意以下幾點。

◆輸入矩陣時要以“[]”為其標識符號，矩陣的所有元素必須都在括號內。

◆矩陣同行元素之間由空格（個數不限）或逗號分隔，行與行之間用分號或<Enter>鍵分隔。

◆矩陣大小不需要預先定義。

◆矩陣元素可以是運算表達式。

◆若“[]”中無元素，表示空矩陣。

◆如果不想顯示中間結果，可以用“；”結束。

例2-23：創建矩陣示例。

解：MATLAB程序如下。

在輸入矩陣時，MATLAB允許方括號里還有方括號，結果跟不加方括號是一樣的。

2.利用M文件創建

當矩陣的規模比較大時，直接輸入法就顯得笨拙，出差錯也不易修改。為了解決這些問題，可以將所要輸入的矩陣按格式先寫入一文本文件中，并以m作為此文件的擴展名，即M文件。

M文件是一種可以在MATLAB環境下運行的文本文件，它可以分為命令式文件和函數式文件兩種。在此處主要用到的是命令式M文件，用它的簡單形式來創建大型矩陣。在MATLAB命令窗中輸入M文件名，所要輸入的大型矩陣即可被輸入到內存中。

M文件中的變量名與文件名不能相同，否則會造成變量名和函數名的混亂。

例2-24：編制M文件，包含表2-20中20位25～34周歲的健康女性的測量數據。

表2-20 測量數據

解：在M文件編輯器中輸入以下內容。

以文件名“healthy_women.m”保存，然后在MATLAB命令窗口中輸入文件名，得到下面的結果。

3.利用文本創建

MATLAB中的矩陣還可以由文本文件創建，即在文件夾（通常為work文件夾）中建立txt文件，在命令窗口中直接調用此文件名即可。

例2-25：用文本文件創建矩陣x，其中

x=1 2 3

4 5 6

7 8 10

解：在記事本中建立以下文件，并以wenben.txt保存。

1 2 3

4 5 6

7 8 10

在MATLAB命令窗口中輸入以下內容。

2.5.2 特殊矩陣

在工程計算以及理論分析中，經常會遇到一些特殊的矩陣，比如全0矩陣、全1矩陣單位矩陣、隨機矩陣等。對于這些矩陣，在MATLAB中都有相應的命令可以直接生成。

1.全0矩陣

在MATLAB中，全零矩陣使用zeros命令表示，該命令的調用格式見表2-21。

表2-21 zeros調用格式

例2-26：全0矩陣生成示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

2.全1矩陣

在MATLAB中，全1矩陣使用ones命令表示，該命令的調用格式見表2-22。

表2-22 ones調用格式

例2-27：全1矩陣生成示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

3.單位矩陣

若λ₁=λ₂=…=λ_n=1，即

將該矩陣稱為單位矩陣。

如果A為m×n矩陣，那么E_mA=AE_n=A。在MATLAB中，單位矩陣使用eye命令表示，該命令的調用格式見表2-23。

表2-23 eye調用格式

4.魔方矩陣

在MATLAB中，magic函數用來生成零矩陣，該命令的調用格式見表2-24。

表2-24 magic調用格式

例2-28：魔方矩陣示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

5.希爾伯特矩陣

在MATLAB中，hilb函數用來生成希爾伯特（Hilbert）矩陣，逆希爾伯特矩陣的函數為invhilb，其調用方法見表2-25。

表2-25 hilb調用格式

在MATLAB中，invhilb函數用來生成逆希爾伯特矩陣，其調用方法見表2-26。

表2-26 invhilb調用格式

例2-29：創建希爾伯特矩陣。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

6.測試矩陣

在MATLAB中，利用gallery生成測試矩陣，它的使用格式見表2-27。

表2-27 gallery命令的使用格式

表2-28 matrixname的名稱

（續）

（續）

例2-30：生成對稱矩陣。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

例2-31：生成豪斯霍爾德矩陣。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

7.隨機矩陣

rand函數、randi函數和randn函數使用隨機數生成器生成隨機矩陣，具體的調用格式見表2-29。

在MATLAB中rng函數控制隨機數生成，具體的調用格式見表2-30。

表2-29 函數調用格式

表2-30 rng函數調用格式

例2-32：檢索和還原生成器設置。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

2.5.3 矩陣元素函數

矩陣建立起來之后，還需要對其元素進行引用、修改。表2-31列出了矩陣元素的引用格式，表2-32列出了常用的矩陣元素修改命令。

表2-31 矩陣元素的引用格式

表2-32 矩陣元素修改命令

例2-33：矩陣元素的引用。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

例2-34：擴充矩陣。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

不但矩陣元素可以引用修改，矩陣的維度和方向也可以進行變換，常用的矩陣變維命令見表2-33。常用的矩陣變向命令見表2-34。

表2-33 矩陣變維命令

表5-34 矩陣變向命令

1.矩陣的旋轉

在MATLAB中，rot90命令用于將數組旋轉90°，該命令的格式與說明見表2-35。

表2-35 rot90命令

例2-35：旋轉矩陣示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

2.矩陣的鏡像

在MATLAB中，flip命令用于鏡像矩陣，翻轉矩陣元素，該命令的格式與說明見表2-36。

表2-36 flip命令

數組的鏡像變換實質是翻轉矩陣元素的操作，分為兩種：左右翻轉與上下翻轉。

◆flip（A，1）將翻轉每一列中的元素

◆flip（A，2）將翻轉每一行中的元素。

例2-36：數組上下翻轉示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

在MATLAB中，還包括專門的左右翻轉與上下翻轉命令，下面分別進行介紹。

（1）左右翻轉

使用fliplr函數將矩陣中的元素左右翻轉，調用方法如下。

例2-37：矩陣左右翻轉示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

（2）上下翻轉

使用flipud函數將矩陣中的元素上下翻轉，調用方法如下。

例2-38：矩陣左右翻轉示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

例2-39：矩陣的變維示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

例2-40：矩陣串聯與變向示例。

解：在MATLAB命令窗口中輸入以下命令。

3.矩陣帶寬

矩陣帶寬是顯示器視頻放大器通頻帶寬度的簡稱，凡電子電路都存在一個固有的通頻帶。帶寬越寬，響應速度就越快，允許通過的信號頻率就越高，信號失真也越小。

矩陣的上帶寬和下帶寬是通過求包含非零值的最遠一個對角線（分別在主對角線上方或下方）測得的。

對于包含元素A_ij的矩陣A：

●上帶寬B₁是最小數，這樣無論何時j-i>B₁，A_ij=0。

●下帶寬B₂是最小數，這樣無論何時i-j<B₂，A_ij=0。

在MATLAB中，bandwidth命令用于得到矩陣的上下帶寬，該命令的格式與說明見表2-37。

表2-37 bandwidth命令

在MATLAB中，isbanded命令用于矩陣是否位于特定的下帶寬和上帶寬范圍內，該命令的格式與說明見表2-38。

表2-38 isbanded命令

例2-41：矩陣帶寬示例。

解：MATLAB程序如下。

2.5.4 對角矩陣

對矩陣元素的修改的特例包括對角元素和上（下）三角陣的抽取。在MATLAB中包括專用的命令。

1.對角矩陣

n階矩陣顯示格式為

則稱該矩陣為對角矩陣。兩個對角矩陣的和是對角矩陣，兩個對角矩陣的積也是對角矩陣。

對于矩陣A∈C^n×n，所謂的矩陣對角化就是找一個非奇異矩陣P，使得

其中，λ₁，…，λ_n為A的n個特征值。

矩陣對角化在實際中可以大大簡化矩陣的各種運算，但不是每個矩陣均可進行對角化轉換，因此判斷矩陣是否可以進行對角化轉換是首要步驟。

◆定理1：n階矩陣A可對角化的充要條件是A有n個線性無關的特征向量。

◆定理2：矩陣A可對角化的充要條件是A的每一個特征值的幾何重復度等于代數重復度。

◆定理3：實對稱矩陣A總可以對角化，且存在正交矩陣P，使得

其中，λ₁，…，λ_n為A的n個特征值。

對于矩陣，斜對角上的元素是主對角線元素，如圖2-5所示，包括a₁₁，a₂₂，…，a_mn。

圖2-5 主對角元素

在MATLAB中，diag命令用于抽取矩陣的對角線上的元素，組成對角線數組，該命令的格式與說明見表2-39。

表2-39 diag命令

在MATLAB中，isdiag命令用于確定矩陣是否為對角矩陣，該命令的格式與說明見表2-40。

表2-40 isdiag命令

例2-42：矩陣對角線抽取示例。

解：MATLAB程序如下。

2.上對角矩陣

在MATLAB中，triu命令用于抽取矩陣的對角線上三角部分的元素，下三角元素使用0替代，組成上對角線矩陣，如圖2-6所示，該命令的格式與說明見表2-41。

圖2-6 上三角矩陣轉換

表2-41 triu命令

例2-43：上對角矩陣示例。

解：MATLAB程序如下。

在MATLAB中，istriu命令用于確定矩陣是否為上三角矩陣，該命令的格式與說明見表2-42。

表2-42 istriu命令

例2-44：上三角矩陣示例。

解：MATLAB程序如下。

3.下對角矩陣

在MATLAB中，tril命令用于抽取矩陣的對角線下三角部分的元素，其余部分用0替代，組成下三角矩陣，如圖2-7所示，該命令的格式與說明見表2-43。

圖2-7 下三角矩陣轉換

表2-43 tril命令

在MATLAB中，istril命令用于確定矩陣是否為下三角矩陣，該命令的格式與說明見表2-44。

表2-44 istril命令

例2-45：下三角矩陣示例。

解：MATLAB程序如下。

2.5.5 矩陣基本運算

矩陣的基本運算包括加、減、乘、數乘、點乘、乘方、左乘、右乘、求逆等。其中加、減、乘與大家所學的線性代數中的定義是一樣的，相應的運算符為“+”“-”“?”，而矩陣的除法運算是MATLAB所特有的，分為左除和右除，相應運算符為“\”和“/”。

MATLAB的除法運算較為特殊。對于簡單數值而言，算術左除與算術右除不同。算術右除與傳統的除法相同，即a/b=a÷b；而算術左除則與傳統的除法相反，即a\b=b÷a。

對矩陣而言，算術右除B/A相當于求解線性方程X?A=B的解；算術左除A\B相當于求解線性方程A?X=B的解。點左除與點右除與上面點運算相似，是變量對應于元素進行點除。

例2-46：矩陣的基本運算示例。

解：MATLAB程序如下。

MATLAB以矩陣為基本運算單元，而構成矩陣的基本單元是數據。為了更好地學習和掌握矩陣的運算，本章首先對數據的基本函數作簡單介紹。

另外，常用的運算還有指數函數、對數函數、平方根函數等。用戶可查看相應的幫助獲得使用方法和相關信息。