2.4 Marc超精密切削的有限元建模

有限元模型是解決整體結構問題的理想化的模型。這些問題包括研究對象的幾何外形、材料特性、接觸、初始條件、邊界條件與加載等。建立有限元模型時，首先要對真實的結構進行簡化，轉化為力學模型^[69，70]。本書將單晶硅在溶液中“自上而下”的加工過程簡化為二維正交切削過程模型。

為了便于力學分析，對單晶硅超精密切削過程做如下基本假設：

1）假設單晶硅為各向同性的連續固體介質，有等向硬化的彈塑性，并且材料的力學性能隨溫度變化而變化。

2）單晶硅的超精密切削二維切削為正交切削，簡化為平面應變問題；假設切削寬度遠遠大于切削深度，單晶硅在塑性域切削形成連續切屑，切削過程中無積屑瘤存在。

3）本書中單晶硅的超精密切削速度較低，在此條件下認為切削溫度不足以導致單晶硅發生晶相變化和其他一些化學變化。單晶硅在塑性域切削，發生變形符合Von Mises應力屈服準則。

2.4.1 建立超精密切削的幾何模型

幾何外形就是金剛石刀具和單晶硅片幾何形狀的轉換與簡化。本書是金剛石刀具超精密加工單晶體硅，確定最佳切削刻劃參數，得到最優表面質量和高精度的微納結構。利用大型商業化軟件Marc建立單晶硅正交超精密切削過程的有限元模型。在這個轉化后的超精密切削模型中假定單晶硅為具有一定厚度的長方形。長方體的右邊單元水平方向的位移設為零，底部單元所有位移和轉動均設置為零（表示工件的固定）。金剛石刀具定義為可傳熱剛體，且作為主運動件，按照需求施加一定的速度。假定刀具在切削過程中不產生變形，內部單元不參與計算，如此可加快求解速度。由于本課題模擬的切削為超精密切削，這時金剛石刀尖的鈍圓半徑在切削過程中不能忽略，這也是精密加工與普通加工最大的區別。根據實際中使用的金剛石刀具，其鈍圓半徑ρ采用不同的值，并以一定的切削速度從左向右運動。在模型中指定金剛石刀具的后角α為6°，鈍圓半徑ρ為40nm，前角γ為?20°，背吃刀量a_p為100nm，切削速度v為2μm/s，采用4節點實體單元對其進行網格劃分。工件總長度應該至少大于切削深度的10倍，這樣可以提供足夠的切削長度，保證切削過程持續到穩定狀態。

網格劃分后的超精密切削的幾何模型如圖2-8所示。

2.4.2 建立刀具和工件的材料模型

正確描述材料特性是能否成功模擬單晶硅超精密切削的關鍵。用于材料成形分析的材料模型有兩大類^[71]：剛塑性模型和彈塑性模型。剛塑性模型是采用小變形的計算方法處理大變形問題，相對于彈塑性模型，其計算的增量步長取得比較大，因此計算效率高一些；但是該模型沒有考慮材料的彈性變形，故計算精度比彈塑性模型低，且無法計算殘余應力。本書是在塑性域對單晶硅進行超精密切削，研究應力、應變和溫度分布，所以本書中單晶硅的材料采用的是基于Von Mises屈服準則彈塑性材料本構模型。

單晶硅和金剛石刀具的材料特性^[72，73]見表2-1，金剛石刀具與單晶硅之間的摩擦因數μ是0.07。單晶硅的精密切削是在塑性域進行的，所以把工件材料看作彈塑性材料，采用平面應變單元。切削過程中基于熱機耦合考慮了溫度對單晶硅晶體材料特性的影響。

2.4.3 建立接觸摩擦模型

接觸主要指刀具和工件，刀具和刀具，工件和工件接觸，以及熱量在工件與刀具間，工件、刀具和周圍環境間的轉移，變形功與切削變形熱之間的轉換關系，工件與刀具之間的摩擦生熱作用等。Marc中接觸有兩種基本類型^[74]：剛體對變形體的接觸，變形體對變形體的接觸。在單晶硅精密切削中，由于金剛石刀具的強度比單晶硅高得多，因此金剛石刀具一般被視為剛體，單晶硅被當作彈塑性變形體。因此本書將切削中的接觸定義為剛體對變形體的接觸問題，這與真實超精密切削單晶硅的過程是吻合的。在單晶硅的精密切削中，刀具和工件相互不能穿透。因此，刀具和工件間必須滿足無穿透的約束條件，即滿足下式：

式中 Δu_A——A點增量位移向量；

n——單位法向量；

D——接觸距離容限。

如果某一節點的空間位置位于接觸距離容限之內，就被當成節點與接觸段相接處。Marc軟件確定了接觸距離容限的默認值，對實體單元，它是系統最小單元尺寸的1/20^[75]，所以本書定義的接觸距離容限的值為0.0025。

由工件材料受到強烈擠壓產生的變形熱以及刀具和工件間摩擦而產生的摩擦熱將在切屑、刀具、工件中傳遞，引起溫度、應力、應變等物理量的重新分布，而這些物理量之間的相互耦合作用使工件產生塑性變形^[76]。變形熱在邊界條件中激活塑性變形熱選項即可。摩擦熱是由刀具和工件之間合理的摩擦模型所決定的，因此正確建立摩擦模型是切削加工模擬成功實現的關鍵因素之一。切削時切屑和前面之間有兩個接觸區域，如圖2-9所示，從刀尖O點到前面上的A點為黏著區，在黏著區刀屑接觸點處的臨界摩擦應力等于工件材料的剪應力，摩擦應力為常數^[77，78]。AB段為滑動區，在滑動區服從庫侖摩擦定律。兩種摩擦應力可分別由式（2-22）和式（2-23）表示^[79]。

式中 τ^*——工件材料的剪應力；

μ——刀-屑接觸表面摩擦因數；

p——刀-屑接觸表面的法向應力；

s——刀-屑接觸表面的摩擦應力。

在有限元中有限元模擬切削時采用MSC.Marc提供的修正庫侖摩擦模型。此模型的優點是，有限元程序可以根據刀具和工件接觸應力的實際情況，自動確定刀具和切屑間處于何種摩擦狀態。

Marc修正的庫侖摩擦模型公式為

式中 σ_n——接觸節點法向應力；

σ_fr——切向（摩擦）應力；

t——相對滑動速度方向上的切向單位矢量；

μ——摩擦因數；

v_r——相對滑動速度；

r_vcnst——修正系數，物理意義是發生滑動時接觸體之間的臨界相對速度。

另外，刀具與工件的運動都是有規律或限定條件的，例如固定位移、溫度邊界等。這些限定條件給出了已知的邊界條件，簡化了計算，一般有利于問題的解決。

2.4.4 邊界條件的定義

邊界條件是用來建立包含施加于模型上的載荷及約束邊界條件等的分析工況。設定模型的邊界條件，單晶硅底部所有位移完全固定，右側固定x方向位移。熱邊界條件中，工件和刀具表面以輻射、對流等方式與外界傳熱，定義熱輻射系數和導熱系數；在變形區內，考慮工件塑性變形生成熱；刀具與工件進行熱交換，即定義接觸傳熱系數，以及工件與刀具間的摩擦生熱。熱傳導云圖如圖2-10所示。

以上設定的邊界條件還要在載荷工況LOADCASE這一步驟中選擇添加后，用JOB提交運行，才能真正在分析過程中得到應用。

2.4.5 建立切屑的分離模型

在以往的有限元模擬中，學者們采用人為地設定分離線的方法實現切屑與工件的分離，而實際材料中是沒有分離線的。到目前為止，使用的分離線大致分為幾何準則和物理準則。幾何準則是基于刀尖與刀尖前工件單元節點距離，在切屑形成過程中的距離小于給定的某個值時，該節點被分成兩個：一個形成切屑，另一個形成已加工表面。而物理準則是基于刀尖前工件單元的某些物理量，例如應力、應變、應變能等。當單元中所選定物理量的值超過建立的材料模型中的相應物理條件時，即認為單元節點分離。

Marc提供的自適應網格重劃分準則，也稱為單元畸變準則。切削模型不依賴于分離準則，當單元達到畸變準則的，程序就會進行自動重劃分網格，網格不斷地自適應重劃分，實現材料的逐步去除。圖2-11所示為相同參數下Marc建立的切削有限元模型。本書是金剛石刀具超精密切削，Marc提供的自適應網格重劃分作為分離切-屑準則，使得模擬過程中可以考慮到切削刃鈍圓半徑對切削過程的影響。且刀尖處材料的流向并不是人為設定，而是在網格自適應重劃分的過程中自動實現^[30]。這也使得建立的切削有限元模型更能描述真實的加工過程。

Marc軟件的重劃分準則有以下幾種：

（1）單元畸變準則 如果單元畸變趨于嚴重，工件的網格自動調整重劃分。單元畸變量系統默認參照為單元內角，在當前增量步結束時檢查此時單元角度以及對下一個增量步單元角度變化的預測，如圖2-12所示。設X_n為增量步開始時的坐標、ΔU_n為本增量步的位移，因而有

（2）接觸穿透準則 當接觸體的曲率達到當前網格不能準確探測穿透時，物體的網格重劃分。

（3）增量步準則 在網格自適應重劃分設置中，按預先給定的增量步間隔，Marc軟件自動進行網格重劃分。

（4）內角偏差準則 當單元內角與理想角度的偏差大于一定值時，工件的網格重劃分。

（5）直接準則 在進行任何分析之前，首先對物體的網格進行重劃分。

這些準則可以單獨使用，也可以任意兩個或多個組合使用。本書是將單元畸變準則、接觸穿透準則、內角偏差準則組合使用的。

由于超精密切削過程模擬是一個典型的高梯度問題^[80]，在切削變形區域內材料產生高溫、大變形。切屑是產生塑性變形最大的部位，隨著切削變形的加劇，工件的初始網格會產生嚴重的畸變，會對求解產生影響，降低求解的精度，甚至無法求解。另一后果就是刀具會嵌入工件內部，與實際超精密切削情況不符。因此，自適應的網格重劃技術的另一個優點是能夠糾正因過度變形產生的網格畸變，自動重新生成保證后續計算的正常進行、形態良好的網格單元，提高計算精度。

2.4.6 熱機耦合

在切削過程變形分析中，切削熱通過改變本構關系的材料模型以及熱應變來實現與傳熱過程的耦合。在切削過程熱傳導分析過程中，切削三個變形區域形成的變形場通過改變熱傳導空間、邊界條件和能量轉化來實現和變形過程的耦合。Marc提供的熱機耦合分析可精確反應這兩種場耦合的影響。本書所考慮的是切屑-工件-刀具系統連續切削過程中的生熱傳熱過程。該系統具有以下特點：工件在第I變形區和第II變形區經受彈塑性變形，產生變形熱。此外，刀具前面和切屑的強烈摩擦，產生摩擦熱。本書對熱傳播進行有限元計算分析時，忽略了刀具和工件表面的熱輻射作用，這里假設刀具只發生熱傳導，刀具和工件的初始溫度也即環境溫度設置為20℃。

平面正交切削的熱傳導方程為

式中 T——溫度分布；

x，y——笛卡兒坐標系；

u_x，u_y——運動熱源在x、y方向的分量；

λ，C_p——導熱系數和比熱容；

Q.——單位體積內變形區塑性功轉換為熱量的微分。