1.引言

一個很吸引人的想法是通過幾何化的方式來描述物質，并用幾何中的拓撲性質來描述物質的那些守恒性質。開爾文（Kelvin）開創性地提出用理想流體中的紐結渦旋來描述原子[1]。每個原子類型對應于一個紐結，而紐結無法改變自身拓撲的特性決定原子在物理及化學過程中的守恒（正如人們在19世紀理解的那樣）。開爾文的模型沒能保留下來，因為我們現在知道原子有結構并且是可分的，即原子核由質子和中子構成，并被電子所包圍，在高能量下這些基本結構是可以被分開的。從原子里剝離一個電子需要的能量大約在1eV的數量級，但是從原子核里剝離一個質子或中子則需要若干MeV的能量。

在原子物理及核物理領域，質子、中子和電子通常被視為點狀的粒子，它們通過電磁場和強核力相互作用[2]。量子力學是一個至關重要的理論。在這個理論下，電子及核子都有離散的能譜。核子（質子和中子）本身由三個點狀的夸克構成，但是從夸克的理論，即量子色動力學（quantum chromodynamics，QCD）中，我們幾乎沒有得到任何對核結構及相互作用的認識。這些點狀的模型在理念上就令人非常不滿意，因為一個點顯然是一個非物理的理想化模型，是物質及電荷密度的奇點。無窮的電荷密度無論在經典的電動力學[3]還是在電子的量子場論里都會造成困難。用更加光滑的結構承載質子、中子和電子數這些離散的信息才是可取的。

在這篇文章里，我們為中性原子提出一個幾何模型。在這個模型里，質子數P和中子數N都是拓撲的，而且原子的組成粒子都不是點狀的。在一個中性原子里，電子數也是P，因為電子帶有和質子相比完全等量且相反的電荷。給定P，對應于不同N的原子（或者他們的原子核）被稱作同位素。

開爾文之后另一個相關的想法來源于斯格姆（Skyrme）。他在3+1維時空下提出了一個具有單個拓撲不變量的非線性波色介子場論。斯格姆指出這個不變量就是重子數（baryon number）[4，5]。重子數（也叫原子數）是質子數及中子數的和，B=P+N。斯格姆的重子在場論里是孤子（soliton），因此是光滑的、拓撲穩定的場結構。斯格姆的模型是用來描述原子核的，但是電子也可以被加進來，從而形成一個完整的原子模型。在斯格姆模型里，質子和中子是可以被區分的，但前提是他們內部的旋轉自由度先被量子化[6]。從這可以導出一個量子化的 “同位旋（isospin^[2]）”。質子的同位旋朝上（），中子的同位旋朝下（）。這里I₃是同位旋的第三個分量。這個模型和眾所周知的蓋爾曼-西島（Gell-Mann-Nishijima）方程是相容的[7]：

這里，Q是原子核的電荷數（以質子的電荷為單位），B是重子數。Q總是一個整數，這是因為當B為偶數（奇數）時，I₃取值為整數（半整數）。Q等于原子核的質子數，并且也等于一個中性原子的電子數。中子數是。斯格姆理論在為原子核建模上已經取得了可觀的成果[8-11]。盡管介子場是玻色的，當B是奇數時，這些量子化的斯格姆子（Skyrmion）仍具有半整數的自旋[12]。但這一模型中單獨的質子數或中子數都不具有拓撲性，同時電子應當被加進來。

斯格姆模型和四維場論之間聯系為本文中討論的想法提供了部分動機：一個斯格姆子可以被一個四維楊-米爾斯（Yang-Mils）場的投影很好地逼近。更確切地說，我們可以取一個SU（2）楊-米爾斯瞬子（instanton），并且計算它在（歐氏）時間方向沿著所有直線的和樂（holonomy）[13]。這樣將得到一個三維空間的斯格姆場，它的重子數B等于瞬子數。

因此，四維空間中的準幾何結構（例如平直中的一個楊-米爾斯瞬子）可以與核結構存在緊密的聯系，但這時仍只能獲得一個拓撲荷。下一步可以做的是把光滑的非平凡四維流形和原子中的基本粒子（質子、中子、電子）對應起來[14]。我們將提供一些適合的例子。這些流形并不都是緊致的，而且它們所對應的粒子也不都是電中性的。一個更吸引人的例子是作為電子模型的Taub-NUT空間。通過研究在Taub-NUT背景上的狄拉克（Dirac）算子，我們可以揭示電子的自旋是如何在這里出現的[15]。也有一些研究用multi-Taub-NUT空間來建模多電子系統[16，17]。然而，質子和中子的模型有一些技術層面的困難，現在還沒有找到將質子和中子幾何地組合起來形成（由電子環繞的）原子核的方法，而且在這個意義下也不清楚應該由什么拓撲不變量來表示質子數和中子數。

這些想法的一個變種為最簡單的原子提供了一個模型，即中性帶有一個質子和一個電子的氫原子。它可以看起來很好地被復射影平面CP²來建模^[3]。CP²有這樣一個基本拓撲性質：它有一個自相交數為1的生成2-閉鏈（cycle）^[4]。CP²的第二個貝蒂數是b²=1；它可以分解為和。這個閉鏈由CP²中的一條復直線表示，同時兩條不同的直線總是交于一點。這樣的一個閉鏈，以及它的正則鄰域，可以視為原子里的質子部分；而和它對偶的一個點的鄰域可以被視為電子。一個點的鄰域就是一個邊界為三維球面的四維球，而在Taub-NUT電子模型中也是如此：因為它在拓撲上就是。這個三維球面是二維球面上的一個“扭曲”的圓圈叢（霍普夫纖維化Hopf Fibration），而這可以解釋電子的電荷。

在這篇論文里，我們給出一個新穎的關于質子和中子數的提議。為了建模中性的原子，我們考慮緊致的四維流形。在以前的模型中我們總是要求帶電的粒子是非緊致的；這樣電通量（electric flux）就可以逸散到無窮遠，在新模型里我們同樣保留這個想法。我們也將考慮的流形局限于復代數曲面。它們的陳數會與質子數和中子數相聯系。存在足夠多的流形例子來建模所有已知的原子同位素。我們保留CP²來作為氫原子的模型。