前言
物理學中拓撲概念的早期示例^[1]

楊振寧（C.N.Yang）
高等研究院，清華大學，中國

在20世紀40年代中期，陳省身發表了將高斯-博內定理推廣至四維情況的“內蘊證明”的文章。這篇文章引出了陳類和陳數，引發了新的令人興奮的全局微分幾何領域，以及其他數學領域的重要拓撲新概念。數學家安德烈·韋伊(Andrei Weil)對其贊嘆不已。他為這篇文章寫了一篇熱情洋溢的評述，這篇評述極具影響力。

幾年之后，在1946—1949年，實驗物理學家發現了一些完全出人意料的新型基本粒子。他們不同于現有種類，具有非常不同的量子數，并迅速成為物理學家關注的焦點。

1948年的某一天，我參加一個午餐會，在那里韋伊告訴費米（Fermi），他推測這些新型粒子可能與幾何學中的某些拓撲分類思想有關，在場的所有人都沒有理解韋伊那跨越數學-物理學邊界的猜測所表達的意思。

多年以后，在20世紀70年代中期，當我從吉姆· 西蒙（Jim Simon）那里學到纖維叢幾何基礎以及相關概念之后，我才意識到那天韋伊也許在推測新型粒子(及其量子數)與拓撲概念（例如陳數） 之間可能存在的關系。有關詳細信息，請參閱參考文獻[1]^[2]。

在2012年的一篇文章中[2]，我詳細地討論了以下拓撲學早期進入物理領域的情況：

? 阿哈諾夫-玻姆實驗于1959年被理論預言，并由外村（Tonomura）于1983—1986年經實驗驗證。

? 20世紀50年代初期，物理學家們用新型計算機計算晶體的振動頻率分布，驚訝地發現在譜線中無法解釋的起伏。它們是真實的嗎？ 或僅僅是計算巧合？這個困惑在1953年范·霍夫（Van Hove）的一篇論文中得以解決，該論文將拓撲（莫爾斯理論）引入物理學。

現在我們知道那個拓撲概念在物理中非常重要，尤其是涉及阿貝爾或非阿貝爾相位的現象（或問題）。下面這個示例表明，在經典麥克斯韋理論的一個問題中，拓撲已經起到重要作用。

考慮

一個與電荷e和磁荷g均存在相互作用的電磁場。

這是狄拉克在1931年就考慮過的問題[3]。當電磁勢（即聯絡）滿足解析連續時，其形成復雜的非平凡流形。作用量積分a僅在模4πeg 的情況下才可定義[4]。

如果我們嘗試量子化這個理論，基于費曼路徑積分，我們將要處理如下的量：

只有滿足如下條件才具有物理意義：

這個條件，首先由狄拉克給出，因此是經典麥克斯韋理論中拓撲的結果。