2.4　交通優(yōu)化問題中的用戶選擇行為分析

2.4.1　交通流分配問題及用戶均衡的概念

交通流分配問題是在已知交通網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)各路段的阻抗函數(shù)和OD矩陣（各OD對之間的出行量）的情況下，研究如何將OD矩陣按照一定的準(zhǔn)則分配到交通網(wǎng)絡(luò)上，從而獲得每條路段上的交通流量，以便對各條路段的負(fù)荷水平和交通網(wǎng)絡(luò)的使用情況做出評價。交通流分配問題可以為交通網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃、設(shè)計和決策提供依據(jù)。顯然，對該問題的一個基本要求就是所得到的路段交通流量應(yīng)該盡可能地符合實際交通情況。

實際中，交通網(wǎng)絡(luò)上形成的交通流量分配狀況是兩種機制相互作用直至平衡的結(jié)果。一方面，出行者試圖通過選擇最佳出行線路來達到費用最少的目的；另一方面，出行者遇到的阻抗（即廣義費用）與系統(tǒng)被使用的情況密切相關(guān)，道路上的交通流量越大，對應(yīng)的行駛費用就越高。這里的費用可以被理解為包括所有影響出行的因素，如時間、成本、方便舒適程度等。但在實際研究或應(yīng)用中，時間通常是唯一的度量標(biāo)準(zhǔn)。這是因為：其一，經(jīng)驗研究表明，時間是影響流量的主要阻力；其二，幾乎所有其他因素都與時間正相關(guān)；其三，時間易于測量。因此，即使用到其他阻抗度量指標(biāo)，也常常是將這些指標(biāo)轉(zhuǎn)換成時間來度量。

人們在研究過程中逐漸認(rèn)識到，正確的交通流分配方法應(yīng)該能較好地再現(xiàn)真實的交通狀態(tài)，而這種真實的交通狀態(tài)正是交通網(wǎng)絡(luò)用戶在上述兩種機制相互作用下做出的出行路徑選擇的結(jié)果。基于這種認(rèn)識，以交通網(wǎng)絡(luò)出行者的路徑選擇行為分析基礎(chǔ)的用戶均衡配流理論逐漸發(fā)展起來，并得到了廣泛應(yīng)用。

交通流分配問題的一個關(guān)鍵點是假設(shè)出行者遵循什么樣的行為準(zhǔn)則。Wardrop于1952年提出的Wardrop均衡配流原則是最為廣泛使用的原則。該原則假設(shè)所有出行者都獨立做出決策，力圖選擇阻抗最小的路徑；所有出行者都能隨時掌握整個交通網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)，精確計算出每條路徑的阻抗，從而做出完全正確的路徑選擇決策；所有出行者的計算能力和計算水平相同。在上述行為準(zhǔn)則假設(shè)所導(dǎo)致的最終交通流量分配狀態(tài)里，同一OD對之間所有被使用的路徑（即有流量通過的路徑）的阻抗相等，且不大于任何未被使用的路徑（即沒有流量通過的路徑）的阻抗，沒有任何出行者能夠通過單方面改變自己的路徑來達到降低自己阻抗的目的。這種交通流量分配的狀態(tài)被稱為用戶均衡狀態(tài)。Beckmann采用如下數(shù)學(xué)形式來描述用戶均衡狀態(tài)：

其中，為用戶均衡狀態(tài)下OD對i, j之間的通行阻抗，為OD對i, j之間的第p條路徑上的通行阻抗，為該路徑上的流量，為OD對i, j之間的所有路徑的集合。

2.4.2　用戶均衡配流問題

基礎(chǔ)的用戶均衡配流問題，即在流量分配過程中，各OD對之間出行量固定的用戶均衡配流問題的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，如下所示：

s.t.

其中，是路段a上的交通流量；A是交通網(wǎng)絡(luò)的路段集合；I和J分別是交通網(wǎng)絡(luò)起始點和目的地的集合；是OD對i, j之間的出行量；表示路段a和連接OD對i, j的第p條路徑的關(guān)系，如果a在第p條路徑上，，否則是路段a的阻抗函數(shù)，表示路段a的阻抗隨著路段a的流量變化而變化的關(guān)系。當(dāng)流量增加時，由于車輛之間的相互影響（即擁擠）和路口的排隊等待時間變長，路段阻抗會單調(diào)上升，因此阻抗函數(shù)是流量的增函數(shù)。阻抗函數(shù)的具體形式和參數(shù)設(shè)定取決于路段的物理特征，如長度、寬度、容量、路面質(zhì)量、管理水平、路口交通燈的綠信比等。

上述模型又被稱為Beckmann變換式。約束條件式（2.9）表示路徑流量和OD對出行量之間的守恒關(guān)系。約束條件式（2.10）保證所有路徑上的流量非負(fù)。約束條件式（2.11）表示路段流量和路徑流量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。目標(biāo)函數(shù)式（2.8）是交通網(wǎng)絡(luò)上所有路段的阻抗函數(shù)的積分之和，其本身沒有直觀的經(jīng)濟含義。基于上述構(gòu)造，可以很容易地證明上述模型存在唯一解，且該唯一解等價于Wardrop均衡配流原則。

上述模型是一個凸規(guī)劃問題，常用的求解方法有Frank-Wolfe法和MSA法。本書后續(xù)章節(jié)將會應(yīng)用到該模型，并采用Frank-Wolfe法求解，算法具體過程如下。

第1步：初始化。令路段a的初始阻抗，?a∈A。用全有全無網(wǎng)絡(luò)加載方法將所有OD對的出行量加載到交通網(wǎng)絡(luò)上，即每一對OD對ij的出行量都全部被加載到其某一條最短路徑上，得到初始路段流量，令迭代次數(shù)n=1。

第2步：更新路段阻抗。令，?a∈A。

第3步：確定迭代方向。根據(jù)，用全有全無網(wǎng)絡(luò)加載方法將所有OD對的出行量加載到交通網(wǎng)絡(luò)上，得到一組輔助路段流量。

第4步：確定迭代步長。求解下方一維極小值問題：

得到迭代步長λn。

第5步：更新路段流量。令，?a∈A。

第6步：檢查算法是否收斂。如果（ω是預(yù)先給定的收斂誤差值），則滿足收斂條件，即為所求均衡狀態(tài)下各路段的流量，算法結(jié)束；否則，令n=n+1，轉(zhuǎn)至第2步。

2.4.3　均衡出行分布和交通配流組合問題

交通流分配問題研究的是出行者的路徑選擇行為，因此，大部分情況下，各OD對之間的出行量是預(yù)先給定不變的。即使是在需求變動的用戶均衡配流中，每個起始點的出行量分配到各個目的地的比例也是固定的，這意味著交通流分配問題不用考慮出行者的目的地選擇行為。而在現(xiàn)實生活中，出行者的日常出行需求具有多樣性。對于每個起始點，一部分出行需求，如工作、學(xué)習(xí)等，出行者的目的地相對固定，因此該起始點生成的這部分出行需求的目的地分布結(jié)構(gòu)也相對固定，即這部分出行需求分配到各個目的地的數(shù)量占這部分出行需求的比例固定不變；另一部分出行需求，如購物、娛樂等，出行者面臨多種目的地選擇，最終選擇取決于各個目的地對出行者的吸引程度，因此該起始點生成的這部分出行需求的目的地分布結(jié)構(gòu)并不固定。在這種情況下，如果想較好地再現(xiàn)實際交通狀態(tài)，就需要同時分析出行者的出行目的地選擇行為和路徑選擇行為。因此，一些學(xué)者提出了均衡出行分布和交通配流組合模型，該模型的具體形式如下：

s.t.

其中，是起始點i上目的地分布結(jié)構(gòu)不固定的出行量；是中選擇到達目的地j的出行量；是起始點i到目的地j之間目的地分布結(jié)構(gòu)固定的出行量；和分別表示和對應(yīng)的在OD對ij之間第p條路徑上的路徑流量；是目的地成本函數(shù)，自變量y表示該目的地吸引到的目的地分布結(jié)構(gòu)不固定的出行量；θ是分布參數(shù)，與用戶對目的地成本的感知誤差相關(guān)；其他參數(shù)含義與均衡配流模型相同。模型中的決策變量是中選擇到達目的地j的出行量，路段流量。

約束條件式（2.14）表明了決策變量和參數(shù)的關(guān)系，并和約束條件式（2.20）一起確定了決策變量的取值范圍。約束條件式（2.15）和式（2.16）分別表明了OD對之間目的地分布結(jié)構(gòu)固定和不固定的出行量與對應(yīng)的路徑流量之間的守恒關(guān)系。約束條件式（2.17）表明了路段流量和路徑流量之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。約束條件式（2.18）和式（2.19）保證所有路徑上的流量為非負(fù)。與用戶均衡配流模型類似，目標(biāo)函數(shù)式（2.13）本身也沒有直觀的經(jīng)濟含義。基于上述構(gòu)造，可以很容易地證明上述模型存在唯一解，且該唯一解符合均衡原則。

上述模型仍然是一個凸規(guī)劃問題，求解算法如下。

第1步：初始化。給出一組符合模型約束條件的的初始取值；令路段a的初始阻抗，?a∈A。用全有全無網(wǎng)絡(luò)加載方法將所有OD對的出行量加載到交通網(wǎng)絡(luò)上，得到初始路段流量，令迭代次數(shù)n=1。

第2步：更新路段阻抗和目的地成本。令，?a∈A；，?j∈J。

第3步：確定迭代方向。根據(jù)，計算OD對間的最短通行時間，進而計算對應(yīng)于的輔助變量，?i∈I，j∈J；根據(jù)，用全有全無網(wǎng)絡(luò)加載方法將所有OD對的出行量加載到交通網(wǎng)絡(luò)上，得到一組對應(yīng)于的輔助變量。

第4步：確定迭代步長。求解下方一維極小值問題：

得到迭代步長λn。

第5步：更新路段流量和目的地分布結(jié)構(gòu)不固定的出行量。令，?i∈I，j∈J。

第6步：檢查算法是否收斂。如果（ω是預(yù)先給定的收斂誤差值），則即分別為所求均衡狀態(tài)下各路段的流量和目的地分布結(jié)構(gòu)不固定的出行量，算法結(jié)束；否則，令n=n+1，轉(zhuǎn)至第2步。