《九章算術(shù)》問(wèn)世之后，我國(guó)的數(shù)學(xué)著述基本上采取兩種方式：一是為《九章算術(shù)》作注；二是以《九章算術(shù)》為楷模編纂新的著作。其中劉徽的《九章算術(shù)注》被認(rèn)為是我國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。

祖沖之的數(shù)學(xué)研究工作在南北朝時(shí)期最具代表性，他在劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。我國(guó)古典數(shù)學(xué)理論體系至此建立。

一位農(nóng)婦在河邊洗碗。她的鄰居閑來(lái)無(wú)事，就走過(guò)來(lái)問(wèn)：“你洗這么多碗，家里來(lái)了多少客人？”

農(nóng)婦笑了笑，答道：“客人每?jī)晌缓嫌靡恢伙埻耄?位合用一只湯碗，每4位合用一只菜碗，共用65只碗。”然后她又接著問(wèn)鄰居，“你算算看，我家里究竟來(lái)了多少位客人？”

這位鄰居也很聰明，很快就算了出來(lái)。

這是《孫子算經(jīng)》中有一道著名的數(shù)學(xué)題“河上蕩杯”。蕩杯在這里是洗碗的意思。

很明顯，這里要處理的是65個(gè)碗共有多少人的問(wèn)題。其中有能了解客數(shù)的信息是兩人共碗飯，3人共湯碗，4人共菜碗。通過(guò)這幾個(gè)數(shù)值，很自然就能解決客數(shù)問(wèn)題。

《孫子算經(jīng)》有3卷，常被誤認(rèn)為春秋軍事家孫武所著，實(shí)際上是魏晉南北朝時(shí)期前后的作品，作者不詳。這是一部數(shù)學(xué)入門讀物，通過(guò)許多有趣的題目，給出了籌算記數(shù)制度及乘除法則等預(yù)備知識(shí)。

“河上蕩杯”，包含了當(dāng)時(shí)人們?cè)跀?shù)學(xué)領(lǐng)域取得的成果。而“雞兔同籠”這個(gè)題目，同樣展示了當(dāng)時(shí)的研究成果。

雞兔同籠的題意是：有若干只雞兔同在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭；從下面數(shù)，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？

這道題其實(shí)有多種解法。

其中之一是：如果先假設(shè)它們?nèi)请u，于是根據(jù)雞兔的總數(shù)就可以算出在假設(shè)下共有幾只腳，把這樣得到的腳數(shù)與題中給出的腳數(shù)相比較，看看差多少，每差2只腳就說(shuō)明有1只兔，將所差的腳數(shù)除以2，就可以算出共有多少只兔。同理，也可以假設(shè)全是兔子。

《孫子算經(jīng)》還有許多有趣的問(wèn)題，比如“物不知數(shù)”等，在民間廣為流傳，向人們普及了數(shù)學(xué)知識(shí)。

其實(shí)，魏晉時(shí)期特殊的歷史背景，不僅激發(fā)了人們研究數(shù)學(xué)的興趣，普及了數(shù)學(xué)知識(shí)，也豐富了當(dāng)時(shí)的理論構(gòu)建，使我國(guó)古代數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。

在當(dāng)時(shí)，思想界開(kāi)始興起“清談”之風(fēng)，出現(xiàn)了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期“百家爭(zhēng)鳴”以來(lái)所未有過(guò)的生動(dòng)局面。與此相適應(yīng)，數(shù)學(xué)家重視理論研究，力圖把從先秦到兩漢積累起來(lái)的數(shù)學(xué)知識(shí)建立在必然的可靠的基礎(chǔ)之上。

而劉徽和他的《九章算術(shù)注》，則是這個(gè)時(shí)代造就的最偉大的數(shù)學(xué)家和最杰出的數(shù)學(xué)著作。

劉徽生活在“清談”之風(fēng)興起而尚未流入清談的魏晉之交，受思想界“析理”的影響，對(duì)《九章算術(shù)》中的各種算法進(jìn)行總結(jié)分析，認(rèn)為數(shù)學(xué)像一株枝條雖分而同本干的大樹(shù)，發(fā)自一端，形成了一個(gè)完整的理論體系。

劉徽的《九章算術(shù)注》作于263年，原10卷。

前9卷全面論證了《九章算術(shù)》的公式、解法，發(fā)展了出入相補(bǔ)原理、截面積原理、齊同原理和率的概念，首創(chuàng)了求圓周率的正確方法，指出并糾正了《九章算術(shù)》的某些不精確的或錯(cuò)誤的公式，探索出解決球體積的正確途徑，創(chuàng)造了解線性方程組的互乘相消法與方程新術(shù)。

用十進(jìn)分?jǐn)?shù)逼近無(wú)理根的近似值等，使用了大量類比、歸納推理及演繹推理，并且以后者為主。

第十卷原名“重差”，為劉徽自撰自注，發(fā)展完善了重差理論。此卷后來(lái)單行，因第一問(wèn)為測(cè)望海島的高遠(yuǎn)，名稱《海島算經(jīng)》。

我國(guó)古典數(shù)學(xué)理論體系的建立，除了劉徽及其《九章算術(shù)注》不世之功和《孫子算經(jīng)》的貢獻(xiàn)外，魏晉南北朝時(shí)期的《張丘建算經(jīng)》、《綴術(shù)》也豐富了這一時(shí)期的理論創(chuàng)建。

南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家張丘建著的《張丘建算經(jīng)》3卷，成書(shū)于北魏時(shí)期。此書(shū)補(bǔ)充了等差級(jí)數(shù)的若干公式，其百雞問(wèn)題導(dǎo)致三元不定方程組，其重要之處在于開(kāi)創(chuàng)“一問(wèn)多答”的先例，這是過(guò)去我國(guó)古算書(shū)中所沒(méi)有的。

百雞問(wèn)題的意思是：公雞每只值5文錢，母雞每只值3文錢，而3只小雞值1文錢。用100文錢買100只雞，問(wèn)：這100只雞中，公雞、母雞和小雞各有多少只？

這個(gè)問(wèn)題流傳很廣，解法很多，但從現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)來(lái)看，實(shí)際上是一個(gè)求不定方程整數(shù)解的問(wèn)題。

百雞問(wèn)題還有多種表達(dá)形式，如“百僧吃百饅”和“百錢買百禽”等。宋代數(shù)學(xué)家楊輝算書(shū)內(nèi)有類似問(wèn)題。此外，中古時(shí)近東各國(guó)也有相仿問(wèn)題流傳，而且與《張丘建算經(jīng)》的題目幾乎全同。可見(jiàn)其對(duì)后世的影響。

與上述幾位古典數(shù)學(xué)理論構(gòu)建者相比，祖沖之則重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理，他將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。

祖沖之寫(xiě)的《綴術(shù)》一書(shū)，被收入著名的《算經(jīng)十書(shū)》中，作為唐代國(guó)子監(jiān)算學(xué)課本。

祖沖之將圓周率的真值精確到3.1415926，是當(dāng)時(shí)世界上最先進(jìn)的成就。他還和兒子祖暅一起，利用“牟合方蓋”圓滿地解決了球體積的計(jì)算問(wèn)題，得到正確的球體積公式。

祖沖之還在462年編訂《大明歷》，使用歲差，改革閏制。他反對(duì)讖緯迷信，不虛推古人，用數(shù)學(xué)方法比較準(zhǔn)確地推算出相關(guān)的數(shù)值，堅(jiān)持了實(shí)事求是的科學(xué)精神。

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祖沖之的兒子祖暅從小愛(ài)好數(shù)學(xué)，巧思入神，極其精微。專心致志之時(shí)，雷霆不能入。

有一次，祖暅邊走路邊思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，走著走著，竟然一頭撞在了對(duì)面過(guò)來(lái)的仆射徐勉身上。“仆射”是很高的官，徐勉是朝廷要人，倒被這位年輕小伙子碰得夠戧，不禁大叫起來(lái)。這時(shí)祖暅之方才醒悟。

祖暅發(fā)現(xiàn)了著名的等冪等積定理，又名“祖暅原理”，是指所有等高處橫截面積相等的兩個(gè)同高立體，其體積也必然相等的定理。在當(dāng)時(shí)的世界上處于領(lǐng)先地位。