第2章 基于頻率分析的工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)方法研究

2.1 預(yù)應(yīng)力和恒載對(duì)結(jié)構(gòu)頻率的影響分析

2.1.1 受預(yù)應(yīng)力作用的梁動(dòng)力學(xué)方程

（1）無阻尼等截面受彎梁自由振動(dòng)平衡方程式為

式中 v（x，t）——梁橫向撓度；

——質(zhì)量分布集度；

EI——梁彎曲剛度。

（2）無阻尼等截面受彎梁考慮直線預(yù)應(yīng)力筋影響，預(yù)應(yīng)力可等效為軸向壓力N表示，包括軸向力影響的自由振動(dòng)平衡方程式，即

式中 N——梁所受的不變軸向壓力。

（3）無阻尼等截面受彎梁考慮預(yù)應(yīng)力筋偏心距的影響，預(yù)應(yīng)力可等效為軸力N和均布荷載q_e（圖2.1），包括等效荷載影響的自由振動(dòng)平衡方程式，即

式中 q_e——預(yù)應(yīng)力筋產(chǎn)生的等效荷載集度；

N——張拉力F的水平投影。

圖2.1 預(yù)應(yīng)力等效荷載

假定預(yù)應(yīng)力F對(duì)跨中截面軸線有e的偏心距，預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的彎矩為^［101］

預(yù)應(yīng)力筋偏心距產(chǎn)生的彎矩可由梁底均布荷載等效，等效荷載為

按照彎矩面積相等的原則，最大偏心距為e的直線形、單折線形和曲線形預(yù)應(yīng)力效應(yīng)等效荷載分別如下。

對(duì)于直線形預(yù)應(yīng)力筋，有

對(duì)于折線形預(yù)應(yīng)力筋，有

對(duì)于曲線形預(yù)應(yīng)力筋，有

2.1.2 受預(yù)應(yīng)力作用的梁動(dòng)力學(xué)方程求解

利用分離變量法，求方程式（2.1）與時(shí)間無關(guān)方程的理論解，即

式中 ω——結(jié)構(gòu)圓頻率；

A ₁～A₄——系數(shù)，由結(jié)構(gòu)邊界條件確定。

方程式（2.2）與時(shí)間無關(guān)方程的理論解為

式中 D₁～D₄——系數(shù)，由結(jié)構(gòu)邊界條件確定。

方程式（2.3）與時(shí)間無關(guān)方程的理論解推導(dǎo)以下。

泛定方程式（2.3）為非齊次方程，又因等效橫向力q_e與時(shí)間無關(guān)，利用疊加原理，先求出滿足齊次泛定方程函數(shù)w（x，t），使v（x，t）=u（x）+w（x，t）^［102］，再求出u（x）。w（x，t）的解同方程式（2.2）的解，u（x）滿足的微分方程為

微分方程式（2.12）的解為

方程式（2.3）與時(shí)間無關(guān)方程的理論解為

式中 D₁～D₄、A、B、C和D——系數(shù)，由結(jié)構(gòu)邊界條件確定。

2.1.3 受預(yù)應(yīng)力作用的梁動(dòng)力學(xué)方程有限元解法

1.僅有軸向壓力作用的梁

受壓分析：忽略平面梁的軸向變形，每個(gè)節(jié)點(diǎn)只有兩個(gè)自由度，一個(gè)梁單元共4個(gè)自由度。采用Hermite插值函數(shù)，位移函數(shù)為^［103］

由形函數(shù)推導(dǎo)出的單元?jiǎng)偠染仃嚍?/p>

幾何剛度矩陣為

綜合剛度矩陣為

式中 N——軸向壓力值。

2.僅有軸向拉力作用的梁

受拉分析：對(duì)于斜拉橋的索或拱橋吊桿，構(gòu)件所受軸向力為拉力。綜合剛度矩陣為

式中 N——軸向拉力值。

【例2.1】 有軸向壓力和軸向拉力Euler-Bernoulli梁對(duì)頻率影響。

某強(qiáng)度等級(jí)為C40的混凝土矩形簡支梁，梁寬為0.6m，梁高0.8m，跨度為8m。受到的軸向壓力為N的0倍、0.1倍、0.2倍、0.3倍、0.4倍、0.5倍；相應(yīng)的壓力變?yōu)槔?。求軸向力對(duì)頻率的影響，其中：N=P_cr/3=20420kN，P_cr為臨界荷載。壓力對(duì)頻率的影響如表2.1所列。拉力對(duì)頻率的影響如表2.2所列。軸向壓力和軸向拉力對(duì)前6階頻率的影響如圖2.2和圖2.3所示。

圖2.2 軸向壓力對(duì)頻率的影響

圖2.3 軸向拉力對(duì)頻率的影響

通過以上分析，可以得到以下兩點(diǎn)。

（1）軸向拉力和軸向壓力對(duì)各階頻率均有影響。拉力使頻率增大，壓力使頻率減小。

（2）利用頻率的改變量可間接求解軸向拉力或壓力值。

3.軸向壓力臨界荷載的求解

對(duì)一個(gè)結(jié)構(gòu)體系來說，結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)模態(tài)有無限多個(gè)，而對(duì)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)有用的僅為第一失穩(wěn)模態(tài)。因此，第一階臨界荷載值是結(jié)構(gòu)保持穩(wěn)定和失穩(wěn)的界限值，臨界力與基頻的關(guān)系由式（2.23）給出^［19］，即

式中 P——軸向壓力值；

f _p——軸向壓力P作用下結(jié)構(gòu)頻率；

f ₀——無軸向荷載時(shí)結(jié)構(gòu)頻率。

式（2.23）可變換為

從式（2.24）可以看出，臨界荷載P_cr與（f_p/f₀）²呈線性關(guān)系，當(dāng)已知任意結(jié)構(gòu)體系兩不同軸壓力作用下的頻率比的平方（f_p/f₀）²，則兩點(diǎn)連線在荷載軸上的截距就是臨界荷載值。如已知結(jié)構(gòu)的頻率值和任意軸向壓力下的頻率值，則可由式（2.24）求解結(jié)構(gòu)的臨界荷載。

【例2.2】 利用頻率求臨界荷載。

某強(qiáng)度等級(jí)為C40的混凝土矩形簡支梁，梁寬為0.6m，梁高0.8m，跨度為8m。受到的軸向壓力為臨界荷載P_cr的0倍、1/30倍、2/30倍。求軸向力對(duì)頻率的影響。軸力和頻率的關(guān)系如表2.3所列，利用頻率求臨界荷載如圖2.4所示。

圖2.4 臨界值的圖示解

已知兩點(diǎn)的值的連線與豎軸的交點(diǎn)即為臨界荷載值，實(shí)際上也是直線方程在豎軸上的截距，荷載值為63812kN，根據(jù)經(jīng)典Euler求穩(wěn)定荷載方程所求臨界力為61260kN，基本能夠滿足工程精度需要。

對(duì)于某結(jié)構(gòu)體系，如已知兩不同軸壓力作用下的頻率解，則可方便求出結(jié)構(gòu)的臨界荷載，對(duì)于簡單結(jié)構(gòu)，本方法優(yōu)勢(shì)并不明顯，如對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，此方法可方便、快速求解結(jié)構(gòu)臨界荷載，且安全可靠。

4.預(yù)應(yīng)力對(duì)頻率影響的有限元分析

假定動(dòng)力荷載和等效預(yù)應(yīng)力作用方向相同，如圖2.5所示。與等效均布預(yù)應(yīng)力荷載q_e對(duì)應(yīng)的位移為，與動(dòng)力荷載q對(duì)應(yīng)的位移用w表示。不計(jì)預(yù)應(yīng)力損失，預(yù)應(yīng)力一旦施加，結(jié)構(gòu)就受到縱向擠壓和 “上拱”變形的作用。結(jié)構(gòu)總的應(yīng)變能為

圖2.5 預(yù)應(yīng)力和動(dòng)力荷載作用下梁的變形圖

用有限元法表示總應(yīng)變能為

式中 δ——?jiǎng)恿奢d產(chǎn)生的位移；

——等效預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的位移；

［K_e］^e——結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣；

——等效預(yù)應(yīng)力引起的剛度矩陣，即

式中 E——材料的彈性模量；

A——結(jié)構(gòu)的截面面積；

l——單元長度；

——節(jié)點(diǎn)j和節(jié)點(diǎn)i的撓度。

作用在單元上的外荷載產(chǎn)生的勢(shì)能為

式中 {F}^*——等效預(yù)應(yīng)力和動(dòng)力荷載的節(jié)點(diǎn)力之和。

式（2.28）用有限元可表示為

式中。

單元的動(dòng)能T為

式中——對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。

用有限元表示的動(dòng)能表達(dá)式為

式中 ［M］——單元質(zhì)量矩陣，可以是一致質(zhì)量矩陣或集中質(zhì)量矩陣。

應(yīng)用Hamilton原理，自由振動(dòng)梁單元?jiǎng)恿W(xué)方程式為

因此，有效剛度為

考慮預(yù)應(yīng)力對(duì)特征參量影響的計(jì)算分為以下兩步：

（1）用靜力法求解結(jié)構(gòu)在等效預(yù)應(yīng)力作用下各節(jié)點(diǎn)位移值。

（2）利用已知的節(jié)點(diǎn)位移值，組集預(yù)應(yīng)力等效荷載影響的剛度矩陣，進(jìn)而形成綜合剛度矩陣，求解結(jié)構(gòu)的特征參量。

【例2.3】 預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對(duì)特征參量的影響。

某梁截面為70mm×140mm，梁的長度為3000mm，混凝土強(qiáng)度等級(jí)為C30，預(yù)應(yīng)力筋為兩根7φ^s5，橫截面積為139mm²?；炷恋膹椥阅Ａ繛?×10⁴MPa，鋼絞線的彈性模量為1.96×10⁵MPa。混凝土單位長度質(zhì)量為24.5kg，鋼絞線的單位質(zhì)量為2.2kg，偏心距隨工況而定。討論預(yù)應(yīng)力筋的布置形式和偏心距對(duì)頻率的影響^{［104-108］}。

計(jì)算工況包括：

（1） 軸向壓力，預(yù)加力為0、20kN、40kN，偏心距為0m。

（2） 直線筋，預(yù)加力為40kN，跨中偏心距為0.03m和0.06m。

（3） 單折線筋，預(yù)加力為40kN，跨中偏心距為0.03m和0.06m。

（4） 曲線筋，預(yù)加力為40kN，跨中偏心距為0.03m和0.06m。

（5） 曲線筋，預(yù)加力為40kN，跨中偏心距為0.06m，張拉端曲線筋與水平所成角度45°、60°和75°對(duì)頻率的影響。

5種工況前3階頻率計(jì)算值如表2.4至表2.8所列?？缰衅木酁?.03m和0.06m時(shí)3種預(yù)應(yīng)力線性前3階頻率值與無預(yù)應(yīng)力頻率偏差值如圖2.6和圖2.7所示。

圖2.6 跨中偏心距為0.03m時(shí)3種預(yù)應(yīng)力線形前3階頻率偏差值

圖2.7 跨中偏心距為0.06m時(shí)3種預(yù)應(yīng)力線形前3階頻率偏差值

通過預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對(duì)頻率的影響分析，可以得出以下結(jié)論。

（1）對(duì)比3種線形鋼筋對(duì)頻率的影響，直線形筋影響最小。曲線形筋和折線形筋對(duì)頻率的影響，總體上看，兩種鋼筋的影響趨勢(shì)相同，折線形筋對(duì)頻率的影響略微大于曲線形筋。

（2）綜合各種因素對(duì)頻率影響的階次來看，對(duì)低頻率影響略大，對(duì)高頻率影響較小。頻率增大與否取決于等效預(yù)應(yīng)力引起的剛度矩陣和幾何剛度矩陣[k_g]^e構(gòu)成的總剛行列式值的大?。寒?dāng)的總剛行列式的值大于 [k_g]^e 總剛行列式的值，頻率增大；否則減小。

（3）預(yù)應(yīng)力筋錨固端鋼筋的傾角影響剛度矩陣變化，傾角越大，幾何剛度矩陣形成的行列式值越小，結(jié)構(gòu)整體剛度變大。

（4）必須指出，以上分析基于各向同性材料假定，但對(duì)于混凝土結(jié)構(gòu)，材料的非均勻和各向異性結(jié)構(gòu)對(duì)剛度的影響十分顯著，因此，對(duì)計(jì)算得到的頻率必須進(jìn)行一定的修正^［109］，這樣才能反映結(jié)構(gòu)真實(shí)的動(dòng)力特性。

（5）本次分析沒有考慮預(yù)應(yīng)筋和混凝土之間的黏結(jié)效應(yīng)影響，故分析僅適用體外預(yù)應(yīng)力和無黏結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)。對(duì)于有黏結(jié)預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)，尚需考慮黏結(jié)效應(yīng)影響。

2.1.4 受恒載作用下梁動(dòng)力學(xué)方程

當(dāng)考慮恒載對(duì)結(jié)構(gòu)頻率影響時(shí)，結(jié)構(gòu)變形如圖2.8所示。日本學(xué)者Hideo Takabatake^［66-69］已推導(dǎo)出考慮恒載影響的梁的動(dòng)力學(xué)方程式為

圖2.8 恒載作用下梁的變形

式中 ρ——梁單位質(zhì)量密度；

A——梁的截面面積；

w _g——恒載q_g產(chǎn)生的撓度；

w——活載q產(chǎn)生的撓度，是以恒載撓度為參考起點(diǎn)；

q——活荷載。

書中分別利用Galerkin方法和閉合解兩種方法求解方程，并討論了影響恒載效應(yīng)的主要因素。

2.1.5 同時(shí)考慮恒載和預(yù)應(yīng)力效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)頻率影響分析

當(dāng)同時(shí)考慮恒載效應(yīng)和預(yù)應(yīng)力效應(yīng)，且預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生的撓度上拱時(shí)，恒載和預(yù)應(yīng)力效應(yīng)剛好相反，假定預(yù)應(yīng)力產(chǎn)生撓度大于恒載產(chǎn)生撓度，變形如圖2.9所示。預(yù)應(yīng)力和恒載的綜合力為q_c，綜合位移為w_c，則考慮恒載和預(yù)應(yīng)力影響的梁的動(dòng)力學(xué)方程式為

圖2.9 預(yù)應(yīng)力和恒載及動(dòng)力荷載作用下梁的變形圖

有限元求解可類似于式（2.34）。