無窮原則

為了幫助你理解我們討論的方向，我先說一下什么是微積分，它想要什么，以及它與其他數學學科的區別。幸運的是，有一個宏大而美麗的理念將貫穿這個話題的始終。一旦我們了解了這個理念，微積分的結構就可以被看作統一主題之下的變體。

遺憾的是，大多數微積分課程都將這個主題埋藏在大量的公式、步驟和計算技巧之中。仔細想來，盡管它是微積分文化的一部分，而且幾乎每位專家都知道它，但我從未見過它在哪里被闡明。我們不妨把它叫作“無窮原則”，無論是在概念上還是歷史上，它都會像引導微積分本身的發展那樣指引我們的討論過程。雖然此時此刻它聽起來好像胡言亂語，但通過我們一步步地探索微積分想要什么及其如何實現所想，理解無窮原則將變得越來越容易。

簡言之，微積分就是想讓復雜的難題簡單化，它十分癡迷于簡單性。這可能會讓你感到驚訝，因為微積分向來以復雜性著稱。而且，不可否認的是，一些權威的微積分教科書的篇幅都超過1 000頁，重得像磚頭一樣。但是，我們不要急著做判斷或下結論。微積分無法改變自己的樣子，它的龐大笨重是不可避免的。它看起來復雜，是因為它要設法解決復雜的問題。事實上，它已經處理和解決了人類有史以來面臨的一些最困難和最重要的問題。

微積分成功的方法是，把復雜的問題分解成多個更簡單的部分。當然，這種策略并不是微積分獨有的。所有善于解決問題的人都知道，當難題被分解后，就會變得更容易解決。微積分真正不同凡響和標新立異的做法在于，它把這種分而治之的策略發揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切分成有限的幾小塊，而是無休無止地切分下去，直到這個問題被切分成無窮多個最微小并且可以想象的部分。之后，它會逐一解決所有微小的問題，這些問題通常要比那個龐大的原始問題更容易解決。此時剩下的挑戰就是把所有微小問題的答案重新組合起來，這一步的難度往往會大一些，但至少不會像原始問題那么難。

因此，微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數學術語來說，切分過程總是涉及無限精細的減法運算，用于量化各部分之間的差異，這個部分叫作微分學。重組過程則總是涉及無限的加法運算，將各個部分整合成原來的整體，這個部分叫作積分學。

這種策略可用于我們能夠想象的做無盡切分的所有事物，這類事物被稱作連續體，據說它們是連續的。比如，正圓的邊緣，懸索橋上的鋼梁，餐桌上逐漸冷卻的一碗湯，飛行中標槍的拋物線軌跡，或者你活著的時光。形狀、物體、液體、運動和時間間隔等都是微積分的應用對象，它們全部或者幾乎都是連續的。

請注意這個創造性假設背后的真相。湯和鋼鐵實際上并不連續，盡管在日常生活的尺度上它們看起來是連續的，但在原子或超弦尺度上并非如此。微積分忽略了原子和其他不可切分實體造成的不便，這不是因為它們不存在，而是因為假裝它們不存在會大有幫助。正如我們將在后文中看到的那樣，微積分偏好有用的虛構。

更廣泛地說，被微積分建模為連續體的實體類型，包含了我們能想到的幾乎所有東西。微積分可以描述球如何不間斷地滾下斜坡，光束如何在水中連續地傳播，蜂鳥的翅膀或飛機機翼周圍的連續氣流如何使它們在空中飛行，以及患者開始采取藥物聯合療法后，他血液中的HIV（人體免疫缺陷病毒）顆粒濃度在接下來的日子里如何持續下降。在每種情況下，微積分采取的策略都一樣：先把一個復雜而連續的問題切分成無窮多個簡單的部分，然后分別求解，最后把結果組合在一起。

現在，我們終于可以闡明這個偉大的理念了。

無窮原則

為了探究任意一個連續的形狀、物體、運動、過程或現象（不管它看起來有多么狂野和復雜），把它重新想象成由無窮多個簡單部分組成的事物，分析這些部分，然后把結果加在一起，就能理解最初的那個整體。