不合理的有效性

微積分竟然能如此出色地模擬大自然，這實在是太奇怪了，畢竟它們屬于兩個不同的領域。微積分是一個由符號和邏輯構成的想象領域，大自然則是一個由力和現象構成的現實領域。但不知為何，如果從現實到符號的轉換足夠巧妙，微積分的邏輯就可以利用現實世界的一個真理生成另一個真理，即輸入一個真理，然后輸出另一個真理。我們先要有一個被經驗證明為真和用符號表述（就像麥克斯韋對電磁定律的改寫一樣）的真理，然后進行正確的邏輯操作，最后得出另一個經驗真理，這個真理有可能是新的，是從沒有人知道的關于宇宙的事實（比如電磁波的存在）。就這樣，微積分讓我們放眼未來，預測未知。正因為如此，它成了強大的科技工具。

但是，為什么宇宙要遵循各種邏輯，甚至包括渺小的人類也能發現的那種邏輯呢？當愛因斯坦寫下“世界的永恒之謎在于它的可理解性”時，讓他驚嘆不已的正是這個問題；當尤金·維格納在論文《論數學在自然科學中的不合理的有效性》中寫下“數學語言在表述物理定律方面的適當性是一個奇跡，是一份我們既不理解也不配擁有的奇妙禮物”時，他想要表達的也是這個意思。

這種敬畏感可追溯至數學形成時期。相傳公元前550年左右，當畢達哥拉斯及其信徒發現音樂由整數比支配時，他就產生了這種感覺。想象一下，你在彈撥一根吉他弦，當弦振動時，它會發出某個音調。現在，把你的手指放在恰好位于弦中間的品格上，再撥一次弦。這時弦的振動部分只有最初長度的一半，即1/2，而它發出的音調恰好比最初的音調高八度（指在do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音階中，從一個do到下一個do的音程）。如果弦的振動部分是最初長度的2/3，那么它發出的音調會比最初的音調高五度（從do到sol的音程，比如《星球大戰》主題曲的前兩個音調）。如果弦的振動部分是最初長度的3/4，那么它發出的音調會比最初的音調高四度（《婚禮進行曲》的前兩個音調之間的音程）。古希臘音樂家了解八度、四度和五度的旋律概念，并且認為它們很美妙。音樂（現實世界的和諧）與數字（想象世界的和諧）之間的這種出人意料的聯系，引領畢達哥拉斯學派形成了“萬物皆數”的神秘信念。據說他們始終認為，即使是在軌道上運行的行星也會演奏音樂——天體之音。

此后，歷史上許多偉大的數學家和科學家都染上了“畢達哥拉斯熱”。天文學家約翰尼斯·開普勒尤為嚴重，物理學家保羅·狄拉克亦然。我們將會看到，“萬物皆數”的信念驅使他們去探尋、想象和追求宇宙的和諧，并最終推動他們取得了改變世界的發現。